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lunedì 4 giugno 2012

L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 01

Il primo post dedicato al mondo dei motori a transizione di fase liquido-vapore è stato quello relativo alla tensione di vapore dell'acqua.
Il grafico P-T mostrato in quel frangente può essere utilizzato per stabilire se il vapore acqueo si trova nel suo stato di saturazione: il vapore è saturo quando la sua temperatura e la sua pressione sono quelle di un punto appartenente alla curva della tensione di vapore in funzione della temperatura.
Per comodità viene riportato di seguito il grafico citato.


Per quanto già visto, l'espansione adiabatica di un gas ideale provoca un abbassamento della sua pressione e della sua temperatura.
Il vapore saturo ha un comportamento similare in quanto pressione e temperatura diminuiscono nell'espansione adiabatica, ma presenta una differenza fondamentale: al processo di espansione adiabatica del vapore saturo si accompagna una condensazione parziale del vapore.
Questo fenomeno libera calore e fa in modo che la pressione e la temperatura diminuiscano meno rapidamente rispetto ad un'analoga espansione di un gas.
In questo post viene presentato un approccio numerico/sperimentale che permette di stabilire l'andamento della pressione e della frazione condensata in funzione del grado di espansione del vapore.

STATO INIZIALE
Lo stato di partenza da cui comincia l'espansione è noto ed è costituito da una certa quantità di vapore saturo a pressione e temperatura definiti (Piniziale e Tiniziale).
Le equazioni riportate di seguito sono valide per il caso più generale in cui siano presenti entrambe le fasi (liquido e vapore) e vengono poi riportate al caso specifico in cui la frazione condensata sia assente nello stato iniziale.

m = mvapore saturo iniziale + mliquido iniziale
mvapore saturo iniziale = ( 1 - Frazione condensatainiziale ) * m = ( 1 - FCin ) * m
mliquido iniziale = Frazione condensatainiziale * m = FCin * m

Hvapore saturo @Piniziale(Tiniziale) = Hvap sat in = TABULATO
ρvapore saturo @Piniziale(Tiniziale) = ρvap sat in = TABULATO
Hliquido @Piniziale(Tiniziale) = Hliq in = TABULATO
ρliquido @Piniziale(Tiniziale) = ρliq in = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale risultano essere

Hin = Hvap sat in * mvapore saturo iniziale + Hliq in * mliquido iniziale =
= Hvap sat in * m * ( 1 - FCin ) + Hliq in * m * FCin

Uin = Hin + Pin * Vin =
= Hin + Pin * ( mvapore saturo iniziale / ρvap sat in + mliquido iniziale / ρliq in ) =
= Hin + Pin * [ ( 1 - FCin ) * m / ρvap sat in + FCin * m / ρliq in ]

Nel caso in cui lo stato iniziale sia costituito solo da vapore, la frazione condensata è nulla e le equazioni generali riportate appena incontrate si semplificano in

Hin = Hvap sat in * m

Uin = Hin + Pin * Vin = Hin + P * m / ρvap sat in

STATO FINALE
Per effetto del processo di espansione adiabatica una parte del vapore si condensa. Il liquido formato si va ad aggiungere all'eventuale frazione condensata già presente nello stato iniziale. Lo stato finale può quindi essere rappresentato come segue.

m = mvapore saturo iniziale + mliquido finale
mvapore saturo finale = ( 1 - Frazione condensatafinale ) * m = ( 1 - FCfin ) * m
mliquido finale = Frazione condensatafinale * m = FCfin * m

Hvapore saturo @Pfinale(Tfinale) = Hvap sat fin = TABULATO
ρvapore saturo @Pfinale(Tfinale) = ρvap sat fin = TABULATO
Hliquido @Pfinale(Tfinale) = Hliq fin = TABULATO
ρliquido @Pfinale(Tfinale) = ρliq fin = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato finale diventano

Hfin = Hvap sat fin * m * ( 1 - FCfin) + Hliq fin * m * FCfin

Ufin = Hfin + Pfin * Vfin =
= Hfin + Pfin * ( mvap sat fin / ρvap sat fin + mliq fin / ρliq fin ) =
= Hfin + Pfin * [ ( 1 - FCfinale ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin ]

Poichè in un'espansione adiabatica vale la relazione

L = -ΔU = - ( Ufin - Uin ) = Uin - Ufin

conoscendo il valore del lavoro diventa possibile determinare l'ammontare della frazione condensata.

Dal punto di vista matematico è conveniente adottare l'approssimazione lineare che consiste nell'assumere la curva di trasformazione sul piano P-V uguale ad un segmento che congiunge lo stato iniziale a quello finale. In questo caso il lavoro di volume è l'area di un trapezio rettangolo in cui l'altezza è data dalla variazione di volume, la base maggiore dalla pressione iniziale e la base minore dalla pressione finale

L = ( Pin + Pfin ) * ( Vfin - Vin ) / 2 =
= ( Pin + Pfin ) * [ ( mvap sat fin / ρvap sat fin + mliq fin / ρliq fin ) - ( mvap sat in / ρvap sat in + mliq in / ρliq in ) ] / 2 =
= ( Pin + Pfin ) * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin - ( 1 - FCin ) * m / ρvap sat in + FCin * m / ρliq in ] / 2

Unendo quest'ultima equazione alle precedenti e con alcuni passaggi algebrici è possibile ottenere l'equazione per calcolare la frazione condensata


Di seguito viene proposto un esempio in cui vengono applicate le equazioni discusse.

ESEMPIO NUMERICO

STATO INIZIALE: 1kg di vapore saturo a 10bar (179,9°C)

m = mvapore = 1kg
mliquido = 0kg (la fase liquida è assente)
FCin = 0

L'entalpia specifica e la densità tabulati risultano essere

Hvapore saturo, @10bar(179,9°C) = 2.777,1 kJ kg-1
ρvapore saturo, @10bar(179,9°C) = 5,1451 kg m-3

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale diventano

Hin = Hvapore saturo, @10bar(179,9°C) * m =
= 2.777,1 kJ kg-1 * 1kg =
= 2.777,1kJ

Uin = Hin - Pin * m / ρvapore saturo, @10bar(179,9°C) =
2.777,1 kJ kg-1 * 1kg - 1.000kPa * 1kg / ( 5,1451 kg m-3 ) =
= 2.777,1kJ - 194,4kJ =
= 2.582,7kJ

STATO FINALE: Vapore saturo a 1 bar (99,6°C) e liquido a 1 bar e 99,6°C per una massa complessiva pari a 1kg

Le entalpie specifiche e le densità tabulate risultano essere

Hvapore saturo, @1bar(99,6°C) = 2.674,9 kJ kg-1
ρvapore saturo, @1bar(99,6°C) = 0,5904 kg m-3

Hliquido, @1bar e 99,6°C = 417,50 kJ kg-1
ρliquido, @1bar e 99,6°C = 958,63 kg m-3

Applicando l'equazione riportata sopra per il calcolo della frazione condensata si ottiene

Frazione condensata finale = FCfin = 0,2476 (24,76%)

da cui a cascata è possibile calcolare tutti gli altri valori

Hfin = Hvap saturo, @1bar(99,6°C) * ( 1 - Frazione condensata ) * m + Hliquido, @1bar e 99,6°C * Frazione condensata * m =
= 2.674,9 kJ kg-1 * ( 1 - 0,2476 ) * 1kg + 417,50 kJ kg-1 * 0,2476 * 1kg =
= 2.116,0kJ

Ufin = Hfin - P * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvapore saturo, @1bar(99,6°C) + FCfinale * m / ρvapore saturo, @1bar e 99,6°C ] =
= 2.116,0 kJ - 100kPa * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m-3 ) ] =
= 1.988,5kJ

L = ( Pin + Pfin ) * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin - ( 1 - FCin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin ] / 2

Poichè lo stato iniziale è costituito solo da vapore, la frazione condensata iniziale è nulla e l'equazione generale sopra riportata si semplifica in

L = ( Pin + Pfin ) * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin - m / ρvap sat fin ] / 2 =
= ( 1.000kPa + 100kPa ) * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m-3 ) - 1kg / ( 5,1451 kg m-3 ) ] / 2 =
= 594,2kJ

Il lavoro risulta ovviamente identico alla variazione di energia interna

L = -ΔU = - ( Ufin - Uin ) = Uin - Ufin =
= 2.582,7kJ - 1.988,5kJ = 594,2kJ

Il diagramma P-V che segue rappresenta i punti relativi agli stati iniziale e finale della trasformazione e l'approssimazione lineare adottata per il calcolo del lavoro di volume. Il valore di quest'ultimo corrisponde a quello dell'area di colore verde.



Si segnala che l'esempio numerico proposto ha una funzione dimostrativa/didattica della metodologia ma non deve essere considerato la soluzione definitiva. In tal senso si anticipa che il metodo proposto è tanto più preciso quanto minore è la differenza di pressione fra lo stato iniziale e quello finale e quindi per migliorare l'attendibilità dei risultati è necessario suddividere l'espansione in più passaggi (step).
Nel prossimo post scopriremo che valutare un'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar in un solo step come fatto nell'esempio genera una stima errata per eccesso sia sul lavoro (+73%) che sulla frazione condensata (+93%) e che per ottenere un risultato più realistico è indispensabile suddividere l'espansione in più step.

2 commenti:

  1. Ciao Yuz! vorrei porti un dubbio che ho avuto leggendo tale post.
    Supponiamo di avere una portata di 150 mol/s di vapor d'acqua saturo a titolo x=1 alla pressione di 3 bar e quindi ad una T*=133 °C. Supponiamo che tale vapore incontri una valvola di laminazione tarata a 1.5 bar. A valle di tale valvola dunque cosa avrò? se utilizzo mollier considerando tale espansione isoentalpica otterrò in uscita un vapore surriscaldato a una T leggermente minore di 133 °C. Tuttavia mi è venuto il dubbio che sia un approccio sbagliato leggendo questo post, in quanto magari potrei considerare tale espansione come adiabatica ed avere allora in uscita un vapore saturo ad un'altra T e del liquido saturo evaporato a causa del raffreddamento dovuto all'espansione.
    Grazie mille|!

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Ciao Ale_Nonno,
      i processi adiabatici sono quelli che avvengono senza scambio di calore con l’esterno. Si identificano due trasformazione estreme: l’isoentropica, in cui il processo avviene in maniera reversibile producendo o subendo lavoro di volume, e l’isoentalpica, in cui il processo avviene in maniera irreversibile senza alcun lavoro di volume.
      In questo post ci si è uniformati alla tendenza molto diffusa di identificare il processo adiabatico con quello isoentropico, ma si tratta di una pratica deprecabile.
      Lo scenario di cui parli è senza dubbio quello relativo a un processo isoentalpico.
      Sull'argomento posso consigliarti questi due post:
      La trasformazione isoentalpica
      La trasformazione isoentalpica del vapore

      Elimina

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INDICE DEI CONTENUTI

I. GENERAZIONE DI ENERGIA ELETTRICA
30. Considerazioni sulla generazione elettrica
90. Analisi economica sulla cogenerazione domestica
26. L'alternatore lineare

II. GAS IDEALI: DALLE TRASFORMAZIONI AI MOTORI
1. L'equazione di stato dei gas perfetti: istruzioni per l'uso
3. P·V=n·R·T: considerazioni laterali
13. La trasformazione isocora
14. La trasformazione isoterma
15. La trasformazione isobara
16. La trasformazione adiabatica
65. La trasformazione isoentalpica
83. Confronto fra i processi isotermici e i processi isoentropici
2. Trasformazioni isocore e trasformazioni isobare: considerazioni sugli scambi energetici
4. Trasformazioni isoterme e trasformazioni adiabatiche: considerazioni sugli scambi energetici
74. Efficienza di un compressore commerciale - Episodio 1
75. Efficienza di un compressore commerciale - Episodio 2
76. Lavoro massimo ottenibile dall'aria compressa
91. Energia potenziale meccanica di un gas
5. Il ciclo di Carnot
12. Il trasferimento del calore
6. Il rigeneratore di calore
7. Il rigeneratore di calore - Parte seconda
28. Il rigeneratore di calore: basi teoriche
29. Dimensionamento del rigeneratore di calore
8. Il ciclo di Stirling
9. Efficienza del rigeneratore di calore e rendimento del ciclo di Stirling
10. Il ciclo di Brayton
11. Ciclo di Brayton: considerazioni su rendimento e lavoro utile
17. Il motore di Cayley free piston - Episodio 01
18. Il motore di Cayley free piston - Episodio 02
19. Il motore di Cayley free piston - Episodio 03
20. Il motore di Cayley free piston - Episodio 04
21. Il motore di Cayley free piston - Episodio 05
22. Il motore di Cayley free piston - Episodio 06
23. Il motore di Manson free piston - Episodio 07
24. Il motore di Manson free piston - Episodio 08
25. Il motore di Manson free piston - Episodio 09
27. Efficienza del rigeneratore e rendimento del motore di Manson
31. Il motore di Manson free piston - Episodio 10
32. Il motore di Manson free piston - Episodio 11
33. Il motore di Manson free piston a doppio effetto
34. Il motore di Manson LTD
35. Stufa con recupero termico
37. Il motore di Cayley free piston a doppio effetto
38. Il motore di Cayley free piston a doppio effetto - Seconda versione
39. Motore di Cayley e motore di Manson: considerazioni laterali
85. Falsi motori

III. DALL'ACQUA AL VAPORE
36. L'heat pipe
40. La tensione di vapore dell'acqua
41. Gli scambi termici dell'acqua liquida
42. Gli scambi termici nella vaporizzazione dell'acqua
43. Gli scambi termici dell'acqua a pressione costante
44. Cp dell'acqua vaporizzata: considerazioni laterali
45. La densità dell'acqua
46. Densità del vapore acqueo: considerazioni laterali
47. Il ciclo isobaro-isocoro del vapore
48. Entalpia ed energia interna
49. L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 01
50. L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 02
51. Il ciclo Rankine del vapore saturo
52. Il ciclo Rankine del vapore surriscaldato
53. L'espansione adiabatica del vapore nel diagramma di Mollier
54. Il Colibrì
55. Raccolta di link sui motori Uniflow
56. Motore a vapore con distributore a cassetto
58. Colibrì free piston a doppio effetto di tipo A
59. Colibrì free piston a doppio effetto di tipo B
60. Il ciclo termodinamico del Colibrì
61. Il Colibrì a vapore
62. Il lavoro di pompaggio nel Colibrì a vapore
63. Colibrì Vs Uniflow Vs Rankine
64. Colibrì Vs Uniflow Vs Rankine: considerazioni laterali
66. La trasformazione isoentalpica del vapore
67. Energia potenziale meccanica dei gas
68. Energia potenziale meccanica dei gas - Seconda Parte
69. L'energia potenziale meccanica del vapore saturo
70. Efficienza termomeccanica del vapore saturo
71. Efficienza termomeccanica del vapore surriscaldato
72. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 1
73. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 2
77. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 3
86. Il Colibrì è in realtà un leone
88. Ricerche sull'anteriorità del lion-Powerblock
89. The Una-flow Steam-engine (1912)
92. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 4
93. The Una-flow Steam-engine - Capitolo I
94. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 5
97. Il Colibrì – Descrizione dell’Idea
98. Il Colibrì – Contesto Commerciale
99. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE I
100. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE II
101. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE III
102. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE IV
103. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE V
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IV. RICERCA DI FRONTIERA
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78. Dal compressore elettrochimico al catodo cavo di Arata/Celani
84. Il mondo non viene assimilato; viene fatto - Sir Karl Raimund Popper (1902 - 1994)
87. Speculazioni, azzardi e previsioni sulla fusione fredda
96. E-Cat e dintorni
107. E-Cat e dintorni
109. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Introduzione
110. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Il ciclo operativo
111. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Contributo al COP delle varie fasi del ciclo
112. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Sulla termodinamica e sulla cinetica
113. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Sui requisiti termici e sulle tempistiche
114. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Sull’importanza del rapporto fra la superficie e il volume del metallo
115. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Sulle critiche al COP>2 e alla perdita di controllo della reazione
116. Teoria per l'unificazione della materia e della radiazione
117. Considerazioni laterali sulla radiazione elettromagnetica
118. Il propulsore fotonico
119. Materia e radiazione elettromagnetica: consigli per la ricerca
120. Scienza Laterale e Spazionica uniti nella ricerca
121. Dalla relazione di Einstein alla massa radiante
122. Considerazioni sulla relazione di Einstein
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125. Stima del cammino libero medio
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