Motore di Cayley e motore di Manson: considerazioni laterali

Il motore di Cayley esotermico e il motore di Manson, presentati, analizzati e discussi in diversi post di questo blog, hanno la caratteristica di sfruttare lo stesso ciclo termodinamico.
La scelta di adottare due nomi distinti nasce dalla necessità di rimarcare la diversità costruttiva che li caratterizza.
Tuttavia, a distanza di tempo dal primo post sul motore di Cayley ho focalizzato meglio questa variante e ora devo ammettere che la scelta fatta in quel frangente non è stata la migliore fra quelle possibili e in questo post ne spiegherò il motivo.

Nel motore di Cayley esotermico la camera calda e la camera fredda sono fisicamente distinte.
Le due camere possono essere distanziate senza difficoltà e questo rende possibile l'isolamento termico fra la zona calda e la zona fredda.

Nel motore di Manson è il dislocatore che fa cambiare la stessa camera dalla configurazione calda alla configurazione fredda.
Non esistono una camera calda e una camera fredda distinte, bensì una sola camera dotata di due configurazioni (calda e fredda) in funzione della posizione del dislocatore.
La separazione termica fra parete calda e parete fredda è data dal dislocatore.
Aumentare la separazione termica nel motore di Manson significa incrementare lo spessore del dislocatore. Questo comporta però un aumento di massa della parte mobile che a sua volta influisce negativamente sulla frequenza di pulsazione del motore.

La somiglianza con il motore di Stirling di tipo Alfa e di tipo Beta è lampante.
Nello Stirling Alfa, la camera calda è distinta dalla camera fredda come nel motore di Cayley, nello Stirling Beta la stessa camera cambia di configurazione (calda e fredda) in funzione della posizione del dislocatore come nel motore di Manson.

Per rendere più chiaro il concetto, propongo la seguente proporzione

Cayley : Manson = Stirling Alfa : Stirling Beta

da leggere come

Cayley sta a Manson come Stirling Alfa sta a Stirling Beta.

Estendendo le regole di nomenclatura Stirling al motore di Cayley esotermico e al motore di Manson, il primo diventa Cayley Alfa oppure Manson Alfa, il secondo Cayley Beta o Manson Beta.

Poichè il motore di Cayley del 1807 (versione originale) è un motore a combustione interna mentre il motore di Manson del 1952 è un motore a combustione esterna, credo che sarebbe più corretto parlare di motore di Manson di tipo Alfa e di tipo Beta.

Il motore di Cayley free piston a doppio effetto - Seconda versione

Nel post precedente è stata presentata una prima versione di motore di Cayley esotermico free piston a doppio effetto.
Nell'animazione che segue viene proposta una seconda variante, più semplice e compatta.

Le due camere calde di colore rosso si trovano nella parte alta. Quella sopra al pistone verrà identificata come camera calda superiore, quella sotto al pistone come camera calda inferiore. Le due camere fredde, superiore e inferiore, sono collocate nella parte bassa e sono di colore blu.
La camera calda superiore è collegata alla camera fredda inferiore attraverso lo stelo tubolare.
La camera calda inferiore è collegata alla camera fredda superiore tramite l'intercapedine fra la zona grigia e lo stelo tubolare.
In pratica, un motore è composto dalla camera calda superiore e dalla camera fredda inferiore (motore esterno), l'altro motore è formato dalla camera calda inferiore e dalla camera fredda superiore (motore interno).
Si notino le scanalature presenti nel cilindro rosso che permettono lo scambio di gas fra i due motori quando il pistone si trova ai punti morti.
L'elemento di colore grigio isola termicamente la zona calda dalla zona fredda.

Quando il pistone è nel punto più basso (punto morto inferiore), la molla elicoidale inferiore è compressa e pertanto è presente una spinta sul pistone che tende a muoverlo verso l'alto. La pressione nei due motori è uguale perchè le scanalature sul cilindro rosso effettuano il by-pass del pistone. Il pistone perciò inizia a muoversi verso l'alto.

Dopo l'interruzione del by-pass il motore interno inizia il processo di espansione con pressurizzazione, quello esterno la fase di compressione con depressurizzazione. Compare pertanto una differenza di pressione fra i due motori che dà ulteriore spinta verso l'alto al pistone.

Il pistone sale e prima di raggiungere il punto morto superiore comprime la molla superiore.

All'apertura del by-pass superiore, il motore interno scarica gas in quello esterno attraverso il by-pass, e il gas passa attraverso il rigeneratore di calore contenuto nello stelo tubolare.
L'annullamento della differenza di pressione permette alla molla superiore compressa di frenare prima e invertire poi il moto del pistone.

Dopo l'interruzione del by-pass il motore esterno inizia il processo di espansione con pressurizzazione, quello interno la fase di compressione con depressurizzazione. Compare pertanto una differenza di pressione fra i due motori che dà ulteriore spinta verso il basso al pistone.

Il pistone scende e prima di raggiungere il punto morto inferiore comprime la molla inferiore.

All'apertura del by-pass inferiore, il motore esterno scarica gas in quello interno attraverso il by-pass, e il gas passa attraverso il rigeneratore contenuto nell'intercapedine fra la zona grigia e lo stelo tubolare.
L'annullamento della differenza di pressione permette alla molla inferiore di frenare e invertire nuovamente il moto del pistone e il ciclo si ripete.

E' importante notare che, come già visto nella prima versione a doppio effetto, il problema della tenuta sul pistone caldo caratteristica del motore di Cayley monoeffetto si ridimensiona notevolmente in quanto eventuali trafilamenti di gas non vengono persi nell'ambiente, ma si riversano nell'altro motore.

Rispetto alla prima versione in cui il pistone era formato da un pistone caldo, due steli tubolari contenenti i rigeneratori di calore e due pistoni freddi, questa versione può vantare di un corpo mobile più leggero perchè composto da un pistone caldo, un pistone freddo e uno stelo tubolare contenente un rigeneratore.

Un altro vantaggio è la possibilità di lavorare in configurazione verticale che permette sia una migliore gestione termica (zona calda in alto, zona fredda in basso) sia di evitare che la forza di gravità agisca come spinta laterale sul pistone, tipica delle configurazioni con movimento orizzontale.

Un difetto di questa configurazione è la mancanza di simmetria dei due motori.
L'asimmetria riguarda per esempio le superfici di scambio termico, le cilindrate, la forma dei rigeneratori, i flussi di gas.

Concludiamo osservando che questa versione, come diverse altre già proposte in questo blog, non ha tenute dinamiche in contatto con l'esterno e presenta pertanto il vantaggio di essere pressurizzabile a piacere.

Il motore di Cayley free piston a doppio effetto

Nei post precedenti abbiamo visto che il motore di Manson free piston può essere realizzato in configurazione a doppio effetto.
Interessanti varianti a doppio effetto sono naturalmente possibili anche per il motore di Cayley esotermico.
L'animazione che segue ne illustra una versione.

Al centro si trovano le due camere calde di colore rosso. Le camere fredde si trovano ai lati e sono di colore blu.
Si notino le scanalature presenti nel cilindro rosso che permettono lo scambio di gas fra i due motori quando il pistone si trova ai punti morti.
I rigeneratori di calore sono contenuti nei due steli tubolari che collegano i pistoni freddi al pistone caldo. Il gas entra ed esce dai rigeneratori passando per i fori sullo stelo in vicinanza dei pistoni.
I due elementi di colore grigio hanno due funzioni. La prima è quella di isolare termicamente la zona centrale calda dalle zone laterali fredde. La seconda è quella di dare tenuta pneumatica fra stelo tubolare ed elemento grigio che non è comunque critica in quanto separa due zone alla stessa pressione (poichè sono in comunicazione attraverso lo stelo tubolare).

Quando il pistone è completamente a sinistra, la molla a gas di sinistra è compressa mentre quella di destra è espansa e pertanto è presente una spinta sul pistone che tende a spostarlo verso destra. La pressione nei due motori è uguale perchè le scanalature sul cilindro rosso effettuano il by-pass del pistone. Il pistone perciò inizia a muoversi verso destra.

Dopo l'interruzione del by-pass il motore di sinistra inizia il processo di espansione con pressurizzazione, quello di destra la fase di compressione con depressurizzazione. Compare pertanto una differenza di pressione fra i due motori che dà ulteriore spinta verso destra al pistone.

A metà corsa le due molle a gas sono alla stessa pressione e pertanto non hanno effetto sul pistone, ma la differenza di pressione fra i due motori consente al pistone di proseguire il suo movimento verso destra.
La molla a gas di destra si comprime, quella di sinistra si espande e compare una forza opposta a quella pressoria del gas contenuto nei due motori.

All'apertura del by-pass di destra, il motore di sinistra scarica gas in quello di destra attraverso il by-pass, e il gas passa attraverso il rigeneratore di destra.
L'annullamento della differenza di pressione permette alle molle a gas di frenare prima e invertire poi il moto del pistone.

Dopo l'interruzione del by-pass il motore di destra inizia il processo di espansione con pressurizzazione, quello di sinistra la fase di compressione con depressurizzazione. Compare pertanto una differenza di pressione fra i due motori che dà ulteriore spinta verso sinistra al pistone.

A metà corsa le due molle a gas sono alla stessa pressione e pertanto non hanno effetto sul pistone, ma la differenza di pressione fra i due motori consente al pistone di proseguire il suo movimento verso sinistra.
La molla a gas di sinistra si comprime, quella di destra si espande e compare una forza opposta a quella pressoria del gas contenuto nei due motori.

All'apertura del by-pass di sinistra, il motore di destra scarica gas in quello di sinistra attraverso il by-pass, e il gas passa attraverso il rigeneratore di sinistra.
L'annullamento della differenza di pressione permette alle molle a gas di frenare e invertire nuovamente il moto del pistone e il ciclo si ripete.

E' importante notare che il problema della tenuta sul pistone caldo caratteristica del motore di Cayley monoeffetto si ridimensiona notevolmente nella versione a doppio effetto in quanto eventuali trafilamenti di gas non vengono persi nell'ambiente, ma si riversano nell'altro motore.

Concludiamo osservando che questa versione, come diverse altre già proposte in questo blog, non ha tenute dinamiche in contatto con l'esterno e presenta pertanto il vantaggio di essere pressurizzabile a piacere.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 06

Nel precedente post abbiamo visto che il rapporto fra la superficie del pistone caldo e la superficie del pistone freddo (S_calda/S_fredda) determina il rendimento e il lavoro utile del ciclo Cayley.
Fra le altre cose abbiamo scoperto che spingendo il rapporto S_calda/S_fredda verso il valore del rapporto T_calda/T_fredda, il rendimento si avvicina al rendimento di Carnot, ma contemporaneamente il lavoro utile diminuisce fino ad annullarsi.

Ora vediamo cosa accade quando viene variata la temperatura calda tenendo costante il rapporto S_calda/S_fredda, cioè modificando la temperatura operativa calda a parità di macchina.

Nella figura che segue sono rappresentati i cicli Cayley a varie temperature per un rapporto S_calda/S_fredda di 1,5.

Prima di tutto consideriamo il caso estremo in cui T_calda=450K.
In figura corrisponde alla linea orizzontale rossa.
Questa temperatura calda fa corrispondere il rapporto T_calda/T_fredda al rapporto S_calda/S_fredda.
Abbiamo già visto che in questo caso il gas compie una trasformazione di tipo isobaro e non può funzionare.
Se il rapporto fra la superficie calda e la superficie fredda è pari a 1,5 e la temperatura fredda è di 300K (circa 27°C), il motore può funzionare soltanto se la temperatura calda supera i 450K (circa 177°C).

Gli altri cicli in figura mostrano che oltre i 450K è presente un vero e proprio ciclo di Cayley.
Dal grafico si estrapola che le pressioni massima e minima del ciclo dipendono dalla temperatura calda.
Al crescere della temperatura calda, la pressione massima aumenta, la pressione minima diminuisce.

La figura evidenzia anche un'altra cosa molto importante.
L'area del ciclo e quindi il lavoro utile crescono all'aumentare della temperatura calda: la potenza specifica del motore dipende dalla temperatura calda.

Ora che abbiamo le idee un po' più chiare su quello che accade alla potenza specifica variando la temperatura calda, è il momento di analizzare anche cosa accade al rendimento.

In figura è stato riportato l'andamento del rendimento e del lavoro utile per una temperatura calda variabile da 450K, circa 177°C (limite inferiore di funzionamento), a 900K (circa 627°C).

Il grafico mostra che il rendimento non cambia al variare di T_calda (linea azzurra orizzontale).
Nel ciclo Cayley è la costruzione del motore, cioè il rapporto fra superficie calda e superficie fredda, a stabilire il rendimento.
Questo comportamento appare come un'anomalia nel contesto dei motori esotermici.
La formula seguente fornisce la relazione fra rendimento e rapporto fra le superfici

rendimento = 1 - ( S_fredda / S_calda )

Questa equazione nel caso in cui

S_calda/S_fredda = T_calda/T_fredda

diventa

rendimento = 1 - ( T_fredda / T_calda )

che è la formula del rendimento di Carnot.

Non va dimenticato che il rapporto fra le superfici vincola anche la temperatura calda minima per il funzionamento

T_{calda, minima} > T_fredda * S_calda / S_fredda

Viceversa, se si è interessati ad una macchina con un rendimento definito basta regolare il rapporto fra le superfici sul valore dato dalla seguente relazione

S_calda / S_fredda = 1 / ( 1 - rendimento )

Per esempio, se si è interessati a una macchina con rendimento del 20%, il rapporto fra la superficie calda e la superficie fredda deve essere

S_calda / S_fredda = 1 / ( 1 - 0,20 ) = 1 / 0,80 = 1,25

Se la temperatura fredda è pari a 300K, il motore potrà funzionare quando la temperatura calda supera il valore di

T_{calda, minima} > T_fredda * S_calda / S_fredda = 300 K * 1,25 = 375 K

In prossimità di questa temperatura la potenza specifica sarà bassa, ma può essere aumentata operando con T_calda più elevata.

Con questo post si conclude la prima parte del capitolo dedicato al motore di Cayley esotermico.
A livello costruttivo il punto debole più evidente di questo motore è la necessità della tenuta in corrispondenza del pistone caldo.
Nel prossimo post vedremo come è possibile risolvere elegantemente anche questo problema mantenendo contemporaneamente tutti i benefici a livello di rendimento raggiunti con l'introduzione della rigenerazione termica.
Se finora sono state presentate versioni semplici sulla carta, ma difficilmente realizzabili in pratica, le prossime proposte avranno tutte le carte in regola per poter essere costruite.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 05

La seconda modifica introdotta nel precedente post, cioè l'aggiunta del collegamento a U che consente lo scarico di gas freddo e la completa rigenerazione termica, ha permesso di migliorare sensibilmente il rendimento del motore di Cayley free piston.
L'efficienza termomeccanica è salita al 32,5% ed è indipendente dal tipo di gas.

Forse è passato inosservato che le valutazioni fatte fino a questo punto sono state riferite al caso particolare in cui il rapporto fra superficie del pistone caldo e superficie del pistone freddo è pari a 1,5.
Abbiamo già visto che per il funzionamento di questo motore bisogna rispettare il vincolo

S_calda / S_fredda < T_calda / T_fredda

in cui

S_calda è la superficie del pistone caldo espressa in m²
S_fredda è la superficie del pistone freddo espressa in m²
T_calda è la temperatura del cilindro caldo espressa in K
T_fredda è la temperatura del cilindro freddo espressa in K

Poichè le temperature operative adottate per l'analisi erano

T_calda = 600K
T_fredda = 300K

un qualunque valore compreso fra 1 e T_calda/T_fredda = 600K/300K = 2 sarebbe stato accettabile.
La scelta di utilizzare il valore di 1,5 per le valutazioni non è stata casuale: in questo post ne scopriremo il motivo.

Come prima cosa consideriamo i due casi estremi: S_calda/S_fredda = 1 e S_calda/S_fredda = 2.
Quando S_calda/S_fredda = 1 il gas compie una trasformazione isocora.
Il lavoro è nullo perchè non c'è variazione di volume.
Nel secondo caso, quando il rapporto fra le superfici vale 2, ovvero quando uguaglia il rapporto delle temperature, l'area del ciclo scompare (il lavoro utile si annulla) e il gas compie una trasformazione isobara con la stessa pressione sia all'andata che al ritorno.
All'apertura delle valvole non accade nulla perchè non c'è differenza di pressione fra l'interno e l'esterno del motore.
Il diagramma P-V aiuta meglio a chiarire il concetto.

Nel grafico il tratto verticale di colore rosso rappresenta il caso isocoro (S_calda/S_fredda = 1) e il tratto orizzontale di colore verde il caso isobaro (S_calda/S_fredda = 2).
Per completezza è stato riportato in colore azzurro anche il ciclo di Cayley analizzato nei precedenti episodi (S_calda/S_fredda = 1,5).

Ora vediamo cosa accade al ciclo quando i valori di S_calda/S_fredda sono compresi fra 1 e 2.
Nel grafico sono riportati i cicli relativi a rapporti fra le superfici che vanno da 1 a 2 per salti di 0,1.

I grafici in figura mostrano che all'aumentare del rapporto fra le superfici, diminuisce la pressione massima e aumenta la pressione minima. Abbiamo già detto che quando S_calda/S_fredda è pari a 2 la pressione massima uguaglia la pressione minima.

Nel grafico che segue sono riportati gli andamenti del rendimento e del lavoro utile in funzione del rapporto S_calda/S_fredda.

Il grafico mostra due cose estremamente importanti.
La prima è che il rendimento è nullo quando S_calda/S_fredda = 1.
La seconda è che il rendimento migliora all'aumentare del rapporto S_calda/S_fredda e al limite uguaglia quello di Carnot (pari al 50% alle temperature adottate) quando S_calda/S_fredda = T_calda/T_fredda.
Il lavoro utile ha invece un andamento crescente per S_calda/S_fredda che varia da 0 fino a circa 1,45 e decrescente fino ad annullarsi per S_calda/S_fredda che varia da 1,45 a 2. L'annullamento del lavoro utile al raggiungimento del rendimento di Carnot è una caratteristica che il ciclo Cayley ha in comune con il ciclo Brayton.

Nei calcoli dei precedenti episodi è stato adottato il valore di S_calda/S_fredda pari a 1,5 per massimizzare il lavoro utile.
Perchè se da un lato è importante il rendimento, dall'altro è fondamentale che il motore sviluppi una potenza specifica significativa: un motore che sviluppa un basso lavoro utile potrebbe perfino non muoversi perchè non riesce a vincere gli attriti fra le sue parti mobili.

In questo post è stato mostrato che con il motore Cayley è possibile incrementare il rendimento fino a valori estremamente elevati spingendo il rapporto S_calda/S_fredda a valori prossimi a T_calda/T_fredda.
Va comunque sempre tenuto presente che avvicinarsi a tale limite comporta sempre una perdita di potenza specifica.

Nel prossimo post verrà aggiunto un altro tassello per comprendere più a fondo le potenzialità di questo motore.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 04

La prima modifica costruttiva introdotta nel precedente post, cioè la rigenerazione termica sulla frazione di gas non scaricata attraverso la luce calda, ha permesso di migliorare sensibilmente il rendimento del motore di Cayley free piston.
L'efficienza termomeccanica in caso di gas monoatomico è passata dal 5,3% al 12,8%, quella del gas biatomico dal 3,8% al 10,4% e quella del gas poliatomico dal 3,0% all'8,8%.

In questo post discutiamo una seconda modifica che permette di innalzare il rendimento a un livello di tutto rispetto.
L'animazione di seguito illustra una variante che permette di scaricare gas freddo invece di gas caldo.

Come nella versione precendente, la camera calda scambia gas con la camera fredda attraverso il collegamento presente sulla sinistra.
Lo scarico freddo è permesso grazie al tubo a U in basso a destra che genera il by-pass del pistone.
Il volume nei due tubi di collegamento non viene spazzato da nessuno dei due pistoni e nei motori a combustione esterna viene classificato come spazio morto.
Assumendolo trascurabile rispetto al volume delle due camere, questa nuova versione presentata è termodinamicamente equivalente a quelle già viste nell'episodio 01, nell'episodio 02 e nell'episodio 03.
L'equivalenza termodinamica deriva dal fatto che il ciclo nel diagramma P-V è lo stesso; invariati sono anche i calori scambiati nelle varie fasi.

Nella versione con rigeneratore di calore presentata nell'episodio 03 veniva scaricato gas alla temperatura calda; solo il gas non scaricato passava attraverso il rigeneratore di calore.
In questa nuova versione viene scaricato gas freddo e tutto il gas passa attraverso il rigeneratore di calore.
In pratica nel rigeneratore si scambia una quantità di energia termica pari a

E = n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) + ( Q_BC - L_perso ) - L_CD

in cui

E è l'energia termica scambiata nel rigeneratore espressa in J
n è la quantità di gas che passa attraverso il rigeneratore di calore espressa in moli
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico, 5*R/2 per il gas biatomico, 7*R/2 per il gas poliatomico con R pari a 8,314 J mol^-1 K^-1
T_calda è la temperatura calda espressa in K
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K
Q_BC è il calore scambiato durante il processo di depressurizzazione isocora mediante scarico di gas verso l'esterno (fase BC) espresso in J
L_perso è il lavoro che sarebbe stato possibile estrarre sfruttando la differenza di pressione presente un istante prima dell'apertura del by-pass sul cilindro freddo espresso in J
L_CD è il lavoro di volume durante il processo di compressione con depressurizzazione (fase CD) espresso in J

L'unica grandezza non ancora quantificata per il ciclo in esame è L_perso.
Il suo valore è indipendente dal tipo di gas e risulta pari a

L_perso = 29kJ

L'energia termica scambiata nel rigeneratore cambia in funzione del tipo di gas e risulta più elevata nel caso del gas poliatomico, intermedia per il gas biatomico, più bassa con il gas monoatomico.
Il calore netto assorbito per ciclo risulta quindi ridotto della quantità di calore calcolata con la precedente relazione.
Naturalmente questo è il caso di rigenerazione termica ideale (efficienza del 100%).
In caso di rigenerazione non ideale (efficienza inferiore al 100%) il valore da sottrarre viene ridimensionato.
Nella tabella che segue sono stati raccolti i risultati nel caso di rigenerazione termica ideale.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
QCD	- 43kJ - 112,5kJ	- 43kJ - 187,5kJ	- 43kJ - 262,5kJ
QDA	- 22kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Lperso	29kJ
Calore rigenerato	150kJ + ( 58kJ - 29kJ ) + 43kJ	250kJ + ( 58kJ - 29kJ ) + 43kJ	350kJ + ( 58kJ - 29kJ ) + 43kJ
Calore netto fornito	43kJ
Rendimento	32,5%

I dati in tabella mostrano che il rendimento di questa versione è indipendente dal tipo di gas e pari al 32,5%, un risultato notevole considerata la semplicità costruttiva di questa macchina.
L'aver modificato il motore in modo da poter scaricare gas freddo ha aperto la strada alla completa rigenerazione del gas, consentendo di ottenere un decisivo incremento di rendimento rispetto alla versione con rigenerazione parziale vista nell'episodio 03.
A questo punto è importante far notare che anche se il calore assorbito durante la fase di depressurizzazione isocora mediante scarico di gas, cioè Q_BC, era stato calcolato con una procedura che forniva un dato certamente sovrastimato (si rimanda all'episodio 02 per i dettagli) il suo effetto penalizzante sul rendimento viene azzerato nella valutazione corrente.

Le sorprese non sono terminate. C'è un altro modo per incrementare ancora il rendimento, ma lo vedremo nel prossimo post.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 03

La prima versione proposta nei precedenti capitoli dedicati al motore di Cayley free piston si è rivelata di rendimento piuttosto modesto: 5,3% con il gas monoatomico, 3,8% con il gas biatomico, 3,0% con il gas poliatomico.
Iniziamo con questo post ad introdurre alcune modifiche costruttive che permettono di ottenere rendimenti decisamente superiori.
Valuteremo l'effetto della rigenerazione di calore sugli scambi termici e sulla resa del ciclo.
Come primo passo presentiamo una versione diversa ma equivalente a quella già vista

In questa versione la camera calda scambia gas con la camera fredda attraverso il collegamento presente sulla sinistra.
Il volume del tubo di collegamento non viene spazzato da nessuno dei due pistoni e nei motori a combustione esterna viene classificato come spazio morto.
Assumendolo trascurabile rispetto al volume delle due camere, questa nuova versione presentata è termodinamicamente equivalente a quella già vista nell'episodio 01 e nell'episodio 02.
L'equivalenza termodinamica deriva dal fatto che il ciclo nel diagramma P-V è lo stesso; invariati sono anche i calori scambiati nelle varie fasi.
Questa versione si differenzia dalla precedente solo perchè la pressione e il volume aumentano quando il pistone scende, diminuiscono quando il pistone sale.

Dall'episodio 01 sappiamo che al ciclo mostrato in figura risulta associato un lavoro utile pari a

L = 14kJ

Per quanto concerne gli scambi termici, il gas assorbe calore dall'esterno nelle trasformazioni dal punto A al punto B e dal punto B al punto C mentre nelle restanti due trasformazioni il gas cede calore verso l'esterno.
Abbiamo già valutato i calori scambiati nelle prime due trasformazioni.
Focalizzeremo ora l'attenzione sui restanti due processi per stimare il calore ceduto dal gas al serbatoio freddo.

Nella fase che va dal punto C al punto D, cioè nel processo di compressione con depressurizzazione, viene ceduto calore all'esterno e la sua quantità è calcolabile usando la seguente relazione

Q_CD = L_CD + n * Cv * ( T_fredda - T_calda )

in cui

Q_CD è il calore scambiato dal gas durante la trasformazione CD espresso in J
L_CD è il lavoro durante la trasformazione CD espresso in J
n è la quantità di gas contenuta nel motore espressa in moli
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico, 5*R/2 per il gas biatomico, 7*R/2 per il gas poliatomico con R pari a 8,314 J mol^-1 K^-1
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K
T_calda è la temperatura calda espressa in K

Il calore scambiato dal gas durante la fase CD è dato dalla somma del lavoro con la variazione di energia termica del gas.
Il suo valore è inferiore a zero e infatti è calore ceduto dal gas.
Nel grafico sopra, il valore di L_CD corrisponde all'area sottesa alla curva di trasformazione CD.
Il valore di L_CD è indipendente dal tipo di gas e per la trasformazione rappresentata vale

L_CD = -43kJ

Il segno meno indica che si tratta di lavoro subito dal gas.

Il secondo termine invece dipende dal tipo di gas.

Per il gas monoatomico vale

n * Cv * ( T_fredda - T_calda ) = 30,07mol * 3*R/2 * (300K-600K) = -112,5kJ

Per il gas biatomico vale

n * Cv * ( T_fredda - T_calda ) = 30,07mol * 5*R/2 * (300K-600K) = -187,5kJ

Per il gas poliatomico vale

n * Cv * ( T_fredda - T_calda ) = 30,07mol * 7*R/2 * (300K-600K) = -262,5kJ

I valori sono tutti e tre negativi e indicano pertanto un abbassamento dell'energia termica.

Analizziamo ora l'ultima trasformazione che va dal punto D al punto A, cioè la pressurizzazione isocora mediante aspirazione del gas dall'esterno.
Il calore scambiato durante questo processo è uguale a quello relativo al processo di compressione isotermica alla temperatura fredda. La quantità di gas compressa isotermicamente è quella contenuta nel motore un istante prima dell'apertura della valvola di aspirazione.
Tale processo inizia nel punto D e finisce quando la pressione raggiunge il valore di 100kPa (che è il valore della pressione all'esterno del motore).

Abbiamo già visto che in una trasformazione isoterma il calore scambiato è uguale al lavoro di volume quindi

Q_DA = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) =
= n * R * T * ln ( V_finale / V_D ) =
= n * R * T * ln [ T_fredda*V_C / (T_calda * V_D ) ] =
= 30,07 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 300 K * ln [ 300K * 1,5 m³ / ( 600 K * 1m³ ) ] =
= -22kJ

Ancora una volta il calore scambiato risulta negativo quindi si tratta di calore perso dal sistema.

Nella tabella che segue sono stati raccolti i dati relativi alle quattro trasformazioni per i tre tipi di gas.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
QCD	- 43kJ - 112,5kJ	- 43kJ - 187,5kJ	- 43kJ - 262,5kJ
QDA	- 22kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Rendimento	5,3%	3,8%	3,0%

Ora interveniamo per ottenere un primo miglioramento delle prestazioni.

Nel tubo che collega la camera fredda con la camera calda, gas freddo si sposta dal basso verso l'alto quando il pistone scende, gas caldo si sposta dall'alto verso il basso quando il pistone sale.
Inserendo un rigeneratore di calore nel tubo di collegamento il motore si presenta come segue

Prima di tutto è importante osservare che la quantità di gas che risale lungo il tubo è maggiore di quella che lo discende. Pertanto non tutto il gas che risale il condotto viene rigenerato alla temperatura calda, ma solo una quantità pari a quella che era discesa durante la precedente fase di compressione con depressurizzazione.
In pratica nel rigeneratore si scambia una quantità di energia termica pari a

E = - Q_CD

in cui

E è l'energia termica scambiata nel rigeneratore espressa in J
Q_CD è il calore scambiato durante il processo di compressione con depressurizzazione (fase CD) espresso in J

Questa quantità di calore cambia in funzione del tipo di gas e risulta più elevata nel caso del gas poliatomico, intermedia per il gas biatomico, più bassa con il gas monoatomico.

Il calore netto assorbito per ciclo risulta quindi ridotto della quantità di calore calcolata con la precedente relazione.
Naturalmente questo è il caso di rigenerazione termica ideale (efficienza del 100%).
In caso di rigenerazione non ideale (efficienza inferiore al 100%) il valore da sottrarre viene ridimensionato.
Nella tabella che segue sono stati raccolti i risultati nel caso di rigenerazione termica ideale.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
QCD	- 43kJ - 112,5kJ	- 43kJ - 187,5kJ	- 43kJ - 262,5kJ
QDA	- 22kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Calore rigenerato	43kJ + 112,5kJ	43kJ + 187,5kJ	43kJ + 262,5kJ
Calore netto fornito	109,5kJ	134,5kJ	159,5kJ
Rendimento	12,8%	10,4%	8,8%

I dati in tabella mostrano che il miglior rendimento si ottiene con il gas monoatomico (12,8%), intermedio con il gas biatomico (10,4%), il peggiore con quello poliatomico (8,8%).
L'inserimento della rigenerazione termica permette di ottenere un'apprezzabile innalzamento del rendimento del motore.
Un passo è stato fatto ma è solo il primo.
Varianti dello stesso motore, ma con rendimenti ancora superiori, saranno l'oggetto dei prossimi post.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 02

Continua la trattazione del motore di Cayley free piston iniziata qualche giorno fa con l'Episodio 01.
In questo post verranno discussi gli scambi termici della prima versione di cui riportiamo di seguito per comodità l'animazione e il diagramma P-V già proposti

Dall'Episodio 01 sappiamo che al ciclo mostrato in figura risulta associato un lavoro utile pari a

L = 14kJ

Per quanto concerne gli scambi termici, calore viene assorbito dall'esterno nelle trasformazioni dal punto A al punto B e dal punto B al punto C mentre nelle restanti due trasformazioni è il gas che cede calore all'esterno.
Focalizzeremo pertanto l'attenzione sui primi due processi per stimare il calore fornito al sistema e quindi stabilire l'efficienza termomeccanica di questa variante costruttiva.

Nella fase che va dal punto A al punto B, cioè nel processo di espansione con pressurizzazione, viene assorbito calore dall'esterno e la sua quantità è calcolabile usando la seguente relazione

Q_AB = L_AB + n * Cv * ( T_calda - T_fredda )

in cui

Q_AB è il calore assorbito dal gas durante la trasformazione AB espresso in J
L_AB è il lavoro fatto dal gas durante la trasformazione AB espresso in J
n è la quantità di gas contenuta nel motore espressa in moli
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico, 5*R/2 per il gas biatomico, 7*R/2 per il gas poliatomico con R pari a 8,314 J mol^-1 K^-1
T_calda è la temperatura calda espressa in K
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K

Il calore assorbito dal gas durante la fase AB è dato dalla somma del lavoro fatto dal gas con la sua variazione di energia termica.
Nel grafico sopra, il valore di L_AB corrisponde all'area sottesa alla curva di trasformazione AB.
Il valore di L_AB è indipendente dal tipo di gas e per la trasformazione rappresentata vale

L_AB = 57kJ

Il secondo termine invece dipende dal tipo di gas.

Per il gas monoatomico vale

n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) = 40,09 * 3*R/2 * (600K-300K) = 150kJ

Per il gas biatomico vale

n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) = 40,09 * 5*R/2 * (600K-300K) = 250kJ

Per il gas poliatomico vale

n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) = 40,09 * 7*R/2 * (600K-300K) = 350kJ

Analizziamo ora la seconda trasformazione che va dal punto B al punto C, cioè la depressurizzazione isocora mediante scarico del gas verso l'esterno.
Il calore scambiato durante questo processo è molto difficile da determinare in modo esatto, ma è possibile stabilire un valore che è sempre sicuramente superiore a quello effettivo e per gli scopi attuali è più che adeguato.
Tale valore è quello valutato su un processo di espansione isotermica alla temperatura calda che inizia nel punto B e finisce quando la pressione raggiunge il valore di 100kPa (che è il valore della pressione all'esterno del motore).
Abbiamo già visto che in una trasformazione isoterma il calore scambiato è uguale al lavoro di volume quindi

Q_{espansione isoterma} = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) =
= n * R * T * ln ( V_finale / V_B ) =
= n * R * T * ln [ T_calda*V_A / (T_fredda * V_B ) ] =
= 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 600 K * ln [ 600K * 1 m³ / ( 300 K * 1,5m³ ) ] =
= 58kJ

Il calore complessivo fornito al sistema risulta

Q_fornito = Q_AB + Q_BC

e assumendo

Q_BC = Q_{espansione isoterma}

si trovano i risultati raccolti in tabella.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Rendimento	5,3%	3,8%	3,0%

I dati in tabella mostrano che il miglior rendimento si ottiene con il gas monoatomico (5,3%), intermedio con il gas biatomico (3,8%), il peggiore con quello poliatomico (3,0%).
Questi rendimenti se confrontati con il rendimento di Carnot, che alle temperature considerate è pari al 50%, costringono ad ammettere che questa prima versione offre delle prestazioni piuttosto scarse.
Tuttavia, considerata la semplicità costruttiva, un rendimento anche di pochi punti percentuali è un buon punto di partenza.
Infatti il rendimento di questa prima versione analizzata risulta fortemente penalizzato dallo scarico del gas caldo e dalla mancanza di rigenerazione di calore e di recupero termico.

Nei prossimi post verranno presentate versioni con rendimenti nettamente superiori.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 01

La storia del motore di Cayley inizia nel 1807 per merito di Sir George Cayley.
Nella sua versione originale costituisce un esempio di motore a combustione interna.

In questo e nei successivi post non verrà discussa tale versione, ma delle varianti a combustione esterna di tipo free piston decisamente più interessanti e che potrebbero essere addirittura inedite.
I motori presentati sono frutto di innumerevoli ragionamenti fatti assieme alla persona che mi ha fatto avvicinare al mondo dei motori a combustione esterna.
Verranno presentate versioni di crescente complessità teorica (ma non costruttiva) per poter discutere i principi di funzionamento in maniera più agevole.
A dire il vero non ho la certezza che la catalogazione come motore di Cayley sia corretta perchè in effetti è presente una certa somiglianza anche con il motore di Ericsson.
Se qualcuno se la sente di sciogliere il dilemma può farlo scrivendo nei commenti al post.

Una caratteristica comune dei motori di Cayley è la presenza di due pistoni di diverso diametro che si muovono in sincronia e per questo motivo normalmente uniti fra loro in modo da costituire un corpo unico.

In figura è presentata l'animazione della prima variante.

Il motore è costituito da due pistoni solidali di diverso diametro.
Il pistone con il diametro inferiore si muove in un cilindro le cui pareti vengono mantenute fredde (indicate di colore azzurro). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone freddo.
Il pistone con il diametro maggiore lavora in un cilindro le cui pareti vengono mantenute calde (indicate di colore rosso). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone caldo.
Per effetto dei diversi diametri il movimento del pistone verso l'alto determina un incremento del volume, il movimento verso il basso ne determina una riduzione.
Per un dato spostamento del pistone la variazione di volume caldo e di volume freddo possono essere espressi come

DeltaV_caldo = S_calda * x
DeltaV_freddo = S_freddo * (-x)

in cui

DeltaV_caldo è la variazione di volume caldo espressa in m³
S_calda è la superficie del pistone caldo espressa in m²
DeltaV_freddo è la variazione di volume freddo espressa in m³
S_fredda è la superficie del pistone freddo espressa in m²
x è lo spostamento espresso in m

Per semplicità di trattazione si assume che il gas si trovi a due diverse temperature.
Il gas nella camera superiore alla temperatura calda, il gas nella camera inferiore alla temperatura fredda.
La pressione è la stessa in ogni punto fra i due pistoni in quanto le due camere sono in comunicazione fra loro ed è data dalla seguente relazione:

P = n * R / [ ( V_caldo / T_calda ) + ( V_freddo / T_fredda) ]

in cui

P è la pressione espressa in Pa
n è la quantità di gas contenuta nel motore durante la trasformazione espressa in moli
R è la costante dei gas e vale 8,314 J mol^-1 K^-1
V_caldo è il volume di gas contenuto nel cilindro caldo espresso in m³
V_freddo è il volume di gas contenuto nel cilindro freddo espresso in m³
T_calda è la temperatura del cilindro caldo espressa in K
T_fredda è la temperatura del cilindro freddo espressa in K

Affinchè il motore possa funzionare è necessario che durante l'espansione, cioè quando il pistone sale, la pressione aumenti.
Viceversa, durante la compressione, cioè quando il pistone scende, la pressione deve diminuire.
Per garantire questo comportamento è sufficiente rispettare la condizione che segue

S_calda / S_fredda < T_calda / T_fredda

In pratica il movimento del pistone dal basso verso l'alto deve generare una espansione con pressurizzazione (aumenta sia il volume che la pressione), mentre il movimento inverso deve produrre una compressione con depressurizzazione (diminuisce sia il volume che la pressione).
I due processi non sono sovrapposti nel piano P-V perchè avvengono con quantità di gas diverse.
Nel motore è contenuta una quantità maggiore di gas quando effettua il movimento verso l'alto, minore quando si muove verso il basso.
Di seguito è stato riportato il ciclo nel diagramma P-V relativo ad un motore in cui il rapporto fra la superficie calda e la superficie fredda è pari ad 1,5 e le temperature operative sono T_fredda=300K e T_calda=600K.
Subito sotto è stata graficata la quantità di gas in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.

Il ciclo si compone di 4 fasi.
Fase AB: espansione con pressurizzazione
Fase BC: depressurizzazione isocora mediante scarico del gas verso l'esterno
Fase CD: compressione con depressurizzazione
Fase DA: pressurizzazione isocora mediante aspirazione di gas dall'esterno

Per quanto riguarda la temperatura è interessante vedere cosa succede al suo valore medio calcolato come segue

T_media = ( n_calde * T_calda + n_fredde * T_fredda ) / n

in cui

T_media è la temperatura media del gas all'interno del motore espressa in K
n_calde è la quantità di gas alla temperatura calda espressa in moli
n_fredde è la quantità di gas alla temperatura fredda espressa in moli
T_calda è la temperatura calda espressa in K
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K
n è la quantità di gas all'interno del motore espressa in moli

Nella figura seguente è riportato l'andamento della temperatura in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.

Il grafico mostra che in realtà la temperatura non genera un vero e proprio ciclo nel piano T-V.
La temperatura media nel punto B coincide con la temperatura media nel punto C, la temperatura media nel punto A coincide con la temperatura media nel punto D e l'andamento della temperatura media in funzione del volume passando dal punto A al punto B coincide con l'andamento della temperatura media dal punto C al punto D.

Come ultima considerazione riporto il valore del lavoro utile per il ciclo illustrato più sopra (in pratica il valore dell'area delimitata dal ciclo nel piano P-V).

Lavoro utile: 14 kJ

Il valore in sé è ovviamente quasi sterile in mancanza del dato relativo al calore assorbito dalla macchina per ottenerlo.
Ma il calcolo dei calori scambiati è piuttosto laborioso e verrà affrontato appositamente nel prossimo post.
A titolo di confronto, riporto il lavoro utile per un ciclo Stirling operante fra le stesse temperature calda e fredda e con gli stessi volumi minimo e massimo:

L_Stirling = n * R * ( T_calda - T_fredda ) * ln ( V_massimo / V_minimo ) =
= 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^1 * ( 600K - 300K) * ln ( 1,5 m³ / 1 m³ ) = 40,5 kJ

Il motore di Cayley free piston è in svantaggio rispetto al ciclo di Stirling teorico. Non bisogna però dimenticare che le macchine Stirling reali non riescono a far compiere al gas il ciclo ideale e in pratica il lavoro utile risulta sensibilmente inferiore a quello teorico.
Pertanto in un confronto fra motori reali, lo svantaggio del Cayley rispetto allo Stirling diventa molto meno marcato.