La storia del motore di Cayley inizia nel 1807 per merito di Sir George Cayley.
Nella sua versione originale costituisce un esempio di motore a combustione interna.
In questo e nei successivi post non verrà discussa tale versione, ma delle varianti a combustione esterna di tipo free piston decisamente più interessanti e che potrebbero essere addirittura inedite.
I motori presentati sono frutto di innumerevoli ragionamenti fatti assieme alla persona che mi ha fatto avvicinare al mondo dei motori a combustione esterna.
Verranno presentate versioni di crescente complessità teorica (ma non costruttiva) per poter discutere i principi di funzionamento in maniera più agevole.
A dire il vero non ho la certezza che la catalogazione come motore di Cayley sia corretta perchè in effetti è presente una certa somiglianza anche con il motore di Ericsson.
Se qualcuno se la sente di sciogliere il dilemma può farlo scrivendo nei commenti al post.
Una caratteristica comune dei motori di Cayley è la presenza di due pistoni di diverso diametro che si muovono in sincronia e per questo motivo normalmente uniti fra loro in modo da costituire un corpo unico.
In figura è presentata l'animazione della prima variante.
Nella sua versione originale costituisce un esempio di motore a combustione interna.
In questo e nei successivi post non verrà discussa tale versione, ma delle varianti a combustione esterna di tipo free piston decisamente più interessanti e che potrebbero essere addirittura inedite.
I motori presentati sono frutto di innumerevoli ragionamenti fatti assieme alla persona che mi ha fatto avvicinare al mondo dei motori a combustione esterna.
Verranno presentate versioni di crescente complessità teorica (ma non costruttiva) per poter discutere i principi di funzionamento in maniera più agevole.
A dire il vero non ho la certezza che la catalogazione come motore di Cayley sia corretta perchè in effetti è presente una certa somiglianza anche con il motore di Ericsson.
Se qualcuno se la sente di sciogliere il dilemma può farlo scrivendo nei commenti al post.
Una caratteristica comune dei motori di Cayley è la presenza di due pistoni di diverso diametro che si muovono in sincronia e per questo motivo normalmente uniti fra loro in modo da costituire un corpo unico.
In figura è presentata l'animazione della prima variante.
Il motore è costituito da due pistoni solidali di diverso diametro.
Il pistone con il diametro inferiore si muove in un cilindro le cui pareti vengono mantenute fredde (indicate di colore azzurro). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone freddo.
Il pistone con il diametro maggiore lavora in un cilindro le cui pareti vengono mantenute calde (indicate di colore rosso). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone caldo.
Per effetto dei diversi diametri il movimento del pistone verso l'alto determina un incremento del volume, il movimento verso il basso ne determina una riduzione.
Per un dato spostamento del pistone la variazione di volume caldo e di volume freddo possono essere espressi come
DeltaVcaldo = Scalda * x
DeltaVfreddo = Sfreddo * (-x)
in cui
DeltaVcaldo è la variazione di volume caldo espressa in m3
Scalda è la superficie del pistone caldo espressa in m2
DeltaVfreddo è la variazione di volume freddo espressa in m3
Sfredda è la superficie del pistone freddo espressa in m2
x è lo spostamento espresso in m
Per semplicità di trattazione si assume che il gas si trovi a due diverse temperature.
Il gas nella camera superiore alla temperatura calda, il gas nella camera inferiore alla temperatura fredda.
La pressione è la stessa in ogni punto fra i due pistoni in quanto le due camere sono in comunicazione fra loro ed è data dalla seguente relazione:
P = n * R / [ ( Vcaldo / Tcalda ) + ( Vfreddo / Tfredda) ]
in cui
P è la pressione espressa in Pa
n è la quantità di gas contenuta nel motore durante la trasformazione espressa in moli
R è la costante dei gas e vale 8,314 J mol-1 K-1
Vcaldo è il volume di gas contenuto nel cilindro caldo espresso in m3
Vfreddo è il volume di gas contenuto nel cilindro freddo espresso in m3
Tcalda è la temperatura del cilindro caldo espressa in K
Tfredda è la temperatura del cilindro freddo espressa in K
Affinchè il motore possa funzionare è necessario che durante l'espansione, cioè quando il pistone sale, la pressione aumenti.
Viceversa, durante la compressione, cioè quando il pistone scende, la pressione deve diminuire.
Per garantire questo comportamento è sufficiente rispettare la condizione che segue
Scalda / Sfredda < Tcalda / Tfredda
In pratica il movimento del pistone dal basso verso l'alto deve generare una espansione con pressurizzazione (aumenta sia il volume che la pressione), mentre il movimento inverso deve produrre una compressione con depressurizzazione (diminuisce sia il volume che la pressione).
I due processi non sono sovrapposti nel piano P-V perchè avvengono con quantità di gas diverse.
Nel motore è contenuta una quantità maggiore di gas quando effettua il movimento verso l'alto, minore quando si muove verso il basso.
Di seguito è stato riportato il ciclo nel diagramma P-V relativo ad un motore in cui il rapporto fra la superficie calda e la superficie fredda è pari ad 1,5 e le temperature operative sono Tfredda=300K e Tcalda=600K.
Subito sotto è stata graficata la quantità di gas in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.
Il pistone con il diametro inferiore si muove in un cilindro le cui pareti vengono mantenute fredde (indicate di colore azzurro). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone freddo.
Il pistone con il diametro maggiore lavora in un cilindro le cui pareti vengono mantenute calde (indicate di colore rosso). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone caldo.
Per effetto dei diversi diametri il movimento del pistone verso l'alto determina un incremento del volume, il movimento verso il basso ne determina una riduzione.
Per un dato spostamento del pistone la variazione di volume caldo e di volume freddo possono essere espressi come
DeltaVcaldo = Scalda * x
DeltaVfreddo = Sfreddo * (-x)
in cui
DeltaVcaldo è la variazione di volume caldo espressa in m3
Scalda è la superficie del pistone caldo espressa in m2
DeltaVfreddo è la variazione di volume freddo espressa in m3
Sfredda è la superficie del pistone freddo espressa in m2
x è lo spostamento espresso in m
Per semplicità di trattazione si assume che il gas si trovi a due diverse temperature.
Il gas nella camera superiore alla temperatura calda, il gas nella camera inferiore alla temperatura fredda.
La pressione è la stessa in ogni punto fra i due pistoni in quanto le due camere sono in comunicazione fra loro ed è data dalla seguente relazione:
P = n * R / [ ( Vcaldo / Tcalda ) + ( Vfreddo / Tfredda) ]
in cui
P è la pressione espressa in Pa
n è la quantità di gas contenuta nel motore durante la trasformazione espressa in moli
R è la costante dei gas e vale 8,314 J mol-1 K-1
Vcaldo è il volume di gas contenuto nel cilindro caldo espresso in m3
Vfreddo è il volume di gas contenuto nel cilindro freddo espresso in m3
Tcalda è la temperatura del cilindro caldo espressa in K
Tfredda è la temperatura del cilindro freddo espressa in K
Affinchè il motore possa funzionare è necessario che durante l'espansione, cioè quando il pistone sale, la pressione aumenti.
Viceversa, durante la compressione, cioè quando il pistone scende, la pressione deve diminuire.
Per garantire questo comportamento è sufficiente rispettare la condizione che segue
Scalda / Sfredda < Tcalda / Tfredda
In pratica il movimento del pistone dal basso verso l'alto deve generare una espansione con pressurizzazione (aumenta sia il volume che la pressione), mentre il movimento inverso deve produrre una compressione con depressurizzazione (diminuisce sia il volume che la pressione).
I due processi non sono sovrapposti nel piano P-V perchè avvengono con quantità di gas diverse.
Nel motore è contenuta una quantità maggiore di gas quando effettua il movimento verso l'alto, minore quando si muove verso il basso.
Di seguito è stato riportato il ciclo nel diagramma P-V relativo ad un motore in cui il rapporto fra la superficie calda e la superficie fredda è pari ad 1,5 e le temperature operative sono Tfredda=300K e Tcalda=600K.
Subito sotto è stata graficata la quantità di gas in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.
Il ciclo si compone di 4 fasi.
Fase AB: espansione con pressurizzazione
Fase BC: depressurizzazione isocora mediante scarico del gas verso l'esterno
Fase CD: compressione con depressurizzazione
Fase DA: pressurizzazione isocora mediante aspirazione di gas dall'esterno
Per quanto riguarda la temperatura è interessante vedere cosa succede al suo valore medio calcolato come segue
Tmedia = ( ncalde * Tcalda + nfredde * Tfredda ) / n
in cui
Tmedia è la temperatura media del gas all'interno del motore espressa in K
ncalde è la quantità di gas alla temperatura calda espressa in moli
nfredde è la quantità di gas alla temperatura fredda espressa in moli
Tcalda è la temperatura calda espressa in K
Tfredda è la temperatura fredda espressa in K
n è la quantità di gas all'interno del motore espressa in moli
Nella figura seguente è riportato l'andamento della temperatura in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.
Fase AB: espansione con pressurizzazione
Fase BC: depressurizzazione isocora mediante scarico del gas verso l'esterno
Fase CD: compressione con depressurizzazione
Fase DA: pressurizzazione isocora mediante aspirazione di gas dall'esterno
Per quanto riguarda la temperatura è interessante vedere cosa succede al suo valore medio calcolato come segue
Tmedia = ( ncalde * Tcalda + nfredde * Tfredda ) / n
in cui
Tmedia è la temperatura media del gas all'interno del motore espressa in K
ncalde è la quantità di gas alla temperatura calda espressa in moli
nfredde è la quantità di gas alla temperatura fredda espressa in moli
Tcalda è la temperatura calda espressa in K
Tfredda è la temperatura fredda espressa in K
n è la quantità di gas all'interno del motore espressa in moli
Nella figura seguente è riportato l'andamento della temperatura in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.
Il grafico mostra che in realtà la temperatura non genera un vero e proprio ciclo nel piano T-V.
La temperatura media nel punto B coincide con la temperatura media nel punto C, la temperatura media nel punto A coincide con la temperatura media nel punto D e l'andamento della temperatura media in funzione del volume passando dal punto A al punto B coincide con l'andamento della temperatura media dal punto C al punto D.
Come ultima considerazione riporto il valore del lavoro utile per il ciclo illustrato più sopra (in pratica il valore dell'area delimitata dal ciclo nel piano P-V).
Lavoro utile: 14 kJ
Il valore in sé è ovviamente quasi sterile in mancanza del dato relativo al calore assorbito dalla macchina per ottenerlo.
Ma il calcolo dei calori scambiati è piuttosto laborioso e verrà affrontato appositamente nel prossimo post.
A titolo di confronto, riporto il lavoro utile per un ciclo Stirling operante fra le stesse temperature calda e fredda e con gli stessi volumi minimo e massimo:
LStirling = n * R * ( Tcalda - Tfredda ) * ln ( Vmassimo / Vminimo ) =
= 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^1 * ( 600K - 300K) * ln ( 1,5 m3 / 1 m3 ) = 40,5 kJ
Il motore di Cayley free piston è in svantaggio rispetto al ciclo di Stirling teorico. Non bisogna però dimenticare che le macchine Stirling reali non riescono a far compiere al gas il ciclo ideale e in pratica il lavoro utile risulta sensibilmente inferiore a quello teorico.
Pertanto in un confronto fra motori reali, lo svantaggio del Cayley rispetto allo Stirling diventa molto meno marcato.
La temperatura media nel punto B coincide con la temperatura media nel punto C, la temperatura media nel punto A coincide con la temperatura media nel punto D e l'andamento della temperatura media in funzione del volume passando dal punto A al punto B coincide con l'andamento della temperatura media dal punto C al punto D.
Come ultima considerazione riporto il valore del lavoro utile per il ciclo illustrato più sopra (in pratica il valore dell'area delimitata dal ciclo nel piano P-V).
Lavoro utile: 14 kJ
Il valore in sé è ovviamente quasi sterile in mancanza del dato relativo al calore assorbito dalla macchina per ottenerlo.
Ma il calcolo dei calori scambiati è piuttosto laborioso e verrà affrontato appositamente nel prossimo post.
A titolo di confronto, riporto il lavoro utile per un ciclo Stirling operante fra le stesse temperature calda e fredda e con gli stessi volumi minimo e massimo:
LStirling = n * R * ( Tcalda - Tfredda ) * ln ( Vmassimo / Vminimo ) =
= 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^1 * ( 600K - 300K) * ln ( 1,5 m3 / 1 m3 ) = 40,5 kJ
Il motore di Cayley free piston è in svantaggio rispetto al ciclo di Stirling teorico. Non bisogna però dimenticare che le macchine Stirling reali non riescono a far compiere al gas il ciclo ideale e in pratica il lavoro utile risulta sensibilmente inferiore a quello teorico.
Pertanto in un confronto fra motori reali, lo svantaggio del Cayley rispetto allo Stirling diventa molto meno marcato.
Pasquale: Ciao Yuz, ho visto il tuo blog e credo che sia un esempio di concretezza numerica, utile senza alcun dubbio!
RispondiEliminaPerò magari possiamo discutere sullarealizzazione pratica ad esempio del ciclo isobaro isocoro, come è possibile realizzarlo in pratica, oltre naturalmente al comprimete manualmente i pistoni, ovvero calcolare il rendimento nel caso di un imbiellamento.
Ci sono altri argomenti su cui discutere, ma per ora mi fermo per sapere anche se il mio messaggio lo hai ricevuto.
Ciao
Ciao Pasquale,
Eliminabenvenuto sul blog.
Parlando di ciclo isobaro-isocoro è fondamentale stabilire se il fluido di lavoro è un gas come l'aria oppure se si tratta di vapore.
Nel caso dei gas, il ciclo isobaro-isocoro è un ciclo molto interessante dal punto di vista teorico, ma di difficile realizzazione pratica e forse addirittura impossibile.
Trovi un esempio numerico al post Trasformazioni isocore e trasformazioni isobare: considerazioni sugli scambi energetici.
I calcoli presentati al post appena linkato mostrano che il ciclo isobaro-isocoro dei gas è caratterizzato da un rendimento piuttosto scarso.
Nel caso del vapore invece la costruzione è decisamente più fattibile anche se il rendimento resta sempre piuttosto modesto. Trovi alcune informazioni teoriche sul post Il ciclo isobaro-isocoro del vapore e una realizzazione pratica al post Motore a vapore con distributore a cassetto.
Ciao Yuz, in effetti la realizzazione pratica è un bel grattacapo...
RispondiEliminaPer quanto riguarda i rendimenti lo Stirling alfa ed il Cayley sono circa uguali, però il Cayley è più semplice e non necessita di meccanismo biella manovella.
Tra questi due motori pare che il Cayley sia migliore (intendendo il Cayley con la U ed il rigeneratore), tu che ne pensi dovendo fare un paragone tra questi due? (se c'è da tirarne in ballo altri fai pure :-) )
Ciao Pasquale,
Eliminadai tuoi interventi mi pare di capire che tu sia un grande appassionato dei motori a combustione esterna a gas.
Non sapendo da quanto tempo segui il mio blog, preferisco chiarire prima alcune cose.
Innanzitutto sono costretto a frenare il tuo entusiasmo perchè non so che idea ti sei fatto dei motori a combustione esterna.
Motori come quelli di Striling o di Brayton vengono spesso acclamati in internet come possibili soluzioni al problema dell'energia, ma la realtà è invece ben diversa: sono motori costosi che nel loro tempo di vita operativa non riescono nemmeno a ripagarsi. Questo è il vero motivo per cui non si sono mai diffusi su larga scala.
Valutare costi e durata di qualunque macchina è il primo passo. E' rischioso iniziare a costruire senza fare prima queste due valutazioni.
Detto questo non voglio certo demotivarti, ma meglio essere chiari per evitare spiacevoli incomprensioni in seguito.
A mio avviso, nell'ambito dei motori a gas, l'unico che potrebbe avere dei costi contenuti e un tempo di vita abbastanza lungo è quello di Manson. Questo perchè il Manson rispetto al Cayley non ha il problema della tenuta "calda".
Se invece parliamo di motori a vapore, per il momento l'unico motore che potrebbe avere qualche possibilità è il Colibrì. Nel blog puoi trovare diverse pubblicazioni dedicate a questo motore e altre sono in cantiere.
Prossimamente spero di iniziare in collaborazione con alcuni amici (tempo libero permettendo) la costruzione di un prototipo di Colibrì.
Ero convinto che si chiamasse motore di Stirling, non di Striling, ma potrei sbagliarmi.
RispondiEliminaCiao Federico,
Eliminanon ti sbagli. Striling è un refuso. Il nome corretto è Stirling.