From the electromagnetic paradox to the annihilation of the electric charge at the speed of light

Infinite linear distribution of charge

An infinite linear distribution of charge consists of an infinite wire on which there are static electric charges uniformly distributed over the length. Its electric charge linear density λ1, constant over the whole length of the distribution, is equal to the ratio between the charge Q1 present in a portion of wire and the length l1 of this portion.
The electric field vector at a point which is outside the charge distribution at the distance r from it has direction perpendicular to the wire and direction given by the sign of the charge (exiting for the positive charge, entering for the negative charge) and its module E in that point is given by the formula

E = λ1/2·π·ε0·r

where ε0 is the dielectric constant of the vacuum.
If a second infinite linear distribution of charge appears at the distance r from the first, the electric force per unit of length is equal to

Fe = λ1·λ2/(2·π·ε0·r)

This force is repulsive for charges of the same sign, attractive for charges of opposite sign.

Currents on infinite rectilinear wires

When a current i1 and a current i2 travel on two infinite rectilinear wires parallel at the distance r, an attractive force is generated when the currents have the same verse and repulsive when they have opposite verses. Its module per unit of wire length is given by the following relation (Biot-Savart's law)

Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r)

where µ0 is the magnetic permeability of the vacuum.
Since the current intensity i is defined as the amount of charge Q which passes through a cross-section of the wire in the unit of time

i = Q/t

assuming that the distribution of the moving charges is homogeneous along the conducting wire, so we can speak of linear charge density λ, the current i is given by the product of the linear charge density λ for the mean speed v of charges

i = Q/t = λ·v

The force equation can therefore be rewritten as follows

Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r) = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)

Electromagnetic paradox

Taking again the case of the two infinite linear distributions of charge, if the charges move in the same direction of their distribution instead of being static, so their speed v is different from zero, in addition to the force Fe also appears the force Fm. Taking into account the case in which the charges have the same sign and are moving in the same direction the first component is repulsive, while the second is attractive.
The resulting strength module is therefore equal to the Fe value decreased by the Fm component and therefore lower than that in which the charges were static.
As the speed increases, while Fe does not change as it is independent of speed, Fm continues to increase. When the velocity v assumes the value of the speed of light, the value of Fm is identical to that of Fe in that the equality c²=1/ε0·µ0 applies

Fm = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r) = µ0·λ1·c·λ2·c/(2·π·r) = µ0·c²·λ1· λ2 /(2·π·r) = λ1·λ2/(2·π·ε0·r) = Fe

This means that when the two charge distributions travel at the speed of light the resulting force to which they are subjected is null.
At the speed of light, Fe is exactly counterbalanced by Fm.

The absence of force between the two charge distributions traveling at the speed of light is equivalent to say that the linear charge density is zero. If until now the force of Coulomb has established what is allowed and what is not, at the speed of light everything becomes possible and the impossible becomes obvious.

Making the ratio between Fm and Fe we obtain the following equation

Fm/Fe = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)/[λ1·λ2/(2·π·ε0·r)] = µ0·ε0·v1·v2 = v1·v2/c²

Setting v1=v2=v, the equation is simplified into

Fm/Fe = v²/c²

The value of Fm/Fe expresses the effectiveness with which the Fm component is opposed to the Fe component. A value of Fm/Fe equal to 0.1 corresponds to a reduction of the linear density of electric charge equal to 10%. With Fm/Fe equal to 0.2 the linear density of electric charge is reduced by 20% and so on, up to Fm/Fe equal to 1 which corresponds to a 100% reduction of the linear density of electric charge or to his annihilation.
Its trend as a function of speed v is represented in the image below.

The graph shows that when v/c=0.5 (speed equal to half the speed of light), Fm/Fe is 0.25, ie the linear charge density is reduced by 25%. For v/c=0.95 Fm/Fe is equal to 0.9, ie the linear charge density is decreased by 90%.

Deepening

What has been written so far is valid in a reference system in which the motion of the charges is appreciable. When we adopt a reference system that moves together with the charges, their speed v is always null and therefore the value of Fm is also null. The force is only electrostatic and as seen above its value depends on the speed. Looking at the equation electrostatic force Fe, a decrease in Fe implies a decrease of the linear electric charge density λ. Since the linear electric charge density λ is the quantity of electric charge in the unit of length (λ=Q/l), or the unit of length increases (ie the space expands) or the amount of electric charge decreases.
In this way, when the charges are motionless the force is equal to Fe. When the charges move at the speed of light, since Fe is completely counterbalanced by Fm and their resultant is zero, the linear charge density λ must be null. The null value of λ is obtained either because the unit of length has increased to infinity (ie the space has extended to infinity) or because the electric charge has been cancelled.

Dal paradosso elettromagnetico all'annullamento della carica elettrica alla velocità della luce

Distribuzione lineare infinita di carica

Una distribuzione lineare infinita di carica è costituita da un filo infinito su cui si trovano delle cariche elettriche statiche distribuite uniformemente sulla lunghezza. La sua densità lineare di carica elettrica λ1, costante su tutta la lunghezza della distribuzione, è pari al rapporto tra la carica Q1 presente in una porzione di filo e la lunghezza l1 di tale porzione.
Il vettore campo elettrico in un punto che si trova esternamente alla distribuzione di carica alla distanza r da essa ha direzione perpendicolare al filo e verso dato dal segno della carica (uscente per la carica positiva, entrante per la carica negativa) e il suo modulo E in quel punto è dato dalla formula

E = λ1/2·π·ε0·r

dove ε0 è la costante dielettrica del vuoto.
Se una seconda distribuzione lineare infinita di carica compare alla distanza r dalla prima, la forza elettrica per unità di lunghezza è pari a

Fe = λ1·λ2/(2·π·ε0·r)

Questa forza è repulsiva per cariche dello stesso segno, attrattiva per cariche di segno opposto.

Correnti su fili rettilinei infiniti

Quando una corrente i1 e una corrente i2 percorrono due fili rettilinei infiniti paralleli alla distanza r si genera una forza attrattiva quando le correnti hanno lo stesso verso e repulsiva quando hanno versi opposti e il suo modulo per unità di lunghezza del filo è dato dalla seguente relazione (legge di Biot-Savart)

Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r)

dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto.
Poiché l’intensità di corrente è definita come la quantità di carica Q che attraversa una sezione trasversale del filo nell’unità di tempo

i = Q/t

Assumendo che la distribuzione delle cariche in moto sia omogenea lungo il filo conduttore, e allora si può parlare di densità lineare di carica λ, la quantità di carica che attraversa la sezione trasversale del filo nell’unità di tempo ovvero la corrente è data dal prodotto della densità lineare di carica per la velocità media v delle cariche

i = Q/t = λ·v

L’equazione della forza può essere pertanto essere riscritta come segue

Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r) = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)

Paradosso elettromagnetico

Riprendendo il caso delle due distribuzioni lineari infinite di carica, se le cariche invece di essere statiche si spostano nella stessa direzione della loro distribuzione, quindi quando la loro velocità v è diversa da zero, oltre alla forza Fe compare anche la forza Fm. Prendendo in considerazione il caso in cui le cariche abbiano lo stesso segno e si stiano spostando nello stesso verso la prima componente è di tipo repulsivo, mentre la seconda è di tipo attrattivo.
Il modulo della forza risultante risulta perciò pari al valore di Fe diminuito della componente Fm e pertanto inferiore a quello in cui le cariche erano immobili.
A mano a mano che la velocità aumenta, mentre Fe non varia in quanto indipendente dalla velocità, Fm continua ad aumentare. Quando la velocità v assume il valore della velocità della luce, il valore di Fm è identico a quello di Fe in quanto vale l’uguaglianza c²=1/ε0·µ0 e quindi µ0·c²=1/ε0

Fm = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r) = µ0·λ1·c·λ2·c/(2·π·r) = µ0·c²·λ1· λ2 /(2·π·r) = λ1·λ2/(2·π·ε0·r) = Fe

Questo significa che quando le due distribuzioni di carica viaggiano alla velocità della luce, la forza risultante a cui sono soggette è nulla.
Alla velocità della luce, Fe è esattamente controbilanciata da Fm.

L'assenza di forza tra le due distribuzioni di carica quando viaggiano alla velocità della luce è equivalente a dire che la densità lineare di carica è nulla. Per questo motivo, se fino ad oggi la forza di Coulomb ha stabilito cosa è permesso e cosa non lo è, alla velocità della luce tutto diventa possibile e l’impossibile diventa ovvio.

Facendo il rapporto fra Fm ed Fe si ottiene la seguente equazione

Fm/Fe = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)/[λ1·λ2/(2·π·ε0·r)] = µ0·ε0·v1·v2 = v1·v2/c²

Ponendo per semplicità v1=v2=v, l’equazione si semplifica in

Fm/Fe = v²/c²

Il valore di Fm/Fe esprime l’efficacia con cui la componente Fm si contrappone alla componente Fe. Un valore di Fm/Fe pari a 0,1 corrisponde ad una riduzione della densità lineare di carica elettrica pari al 10%. Con Fm/Fe pari a 0,2 la densità lineare di carica elettrica si riduce del 20% e così via, fino ad arrivare a Fm/Fe pari a 1 che corrisponde ad una riduzione del 100% della densità lineare di carica elettrica ovvero al suo annullamento.
Il suo andamento in funzione della velocità v è rappresentato nell’immagine sottostante.

Il grafico mostra che quando v/c=0,5 (velocità uguale a metà della velocità della luce), Fm/Fe vale 0,25 cioè la densità lineare di carica è ridotta del 25%. Per v/c=0,95 Fm/Fe vale 0,9 cioè la densità lineare di carica è diminuita del 90%.

Approfondimento

Quanto scritto finora vale in un sistema di riferimento in cui risulta apprezzabile il moto delle cariche. Nel momento in cui si sceglie di adottare un sistema di riferimento solidale alle cariche, la loro velocità v è sempre nulla e di conseguenza è nullo anche il valore di Fm. La forza che si manifesta è soltanto elettrostatica e come visto sopra il suo valore dipende dalla velocità. Guardando all’equazione della forza elettrostatica Fe, una sua diminuzione implica una diminuzione della densità di carica elettrica ed essendo la densità lineare di carica elettrica λ la quantità di carica elettrica nell'unità di lunghezza, o aumenta l’unità di lunghezza (cioè lo spazio si espande) oppure diminuisce la quantità di carica elettrica.
In questo modo, quando le cariche sono ferme la forza è pari a Fe. Quando le cariche si spostano alla velocità della luce, siccome Fe viene completamente controbilanciata da Fm e la loro risultante è nulla, nulla deve essere la densità lineare di carica elettrica λ. Il valore nullo di λ si ottiene o perché l’unità di lunghezza è cresciuta all’infinito (lo spazio si è esteso all'infinito) oppure perchè la carica elettrica si è azzerata.