La trasformazione isoterma

Un gas compie una trasformazione isoterma quando fa o subisce lavoro di volume ricevendo o dissipando calore in modo da mantenere invariata la temperatura.
Quando un gas compie un'espansione effettuando perciò lavoro di volume, il volume aumenta mentre la pressione e la temperatura diminuiscono.
Fornendo calore dall'esterno si può impedire la variazione della temperatura, ma la pressione cala comunque anche se di una minore entità rispetto al caso in cui la temperatura non viene mantenuta costante.
Quando un gas viene compresso subendo perciò del lavoro di volume, il volume diminuisce mentre la pressione e la temperatura aumentano.
Dissipando calore verso l'esterno si può impedire la variazione della temperatura, ma la pressione cresce comunque anche se di una minore entità rispetto al caso in cui la temperatura non viene mantenuta costante.
In pratica, una trasformazione isoterma con immissione di calore è un'espansione a temperatura costante e al tempo stesso una depressurizzazione a temperatura costante; una trasformazione isoterma con perdita di calore è una compressione a temperatura costante e al tempo stesso una pressurizzazione a temperatura costante.

A parità di calore scambiato, la variazione di volume e di pressione non dipende dal tipo di gas, ma solo dai valori iniziali di P e V e dalla quantità di gas secondo le seguenti relazioni

Variazione di Volume = V_finale - V_iniziale = V_iniziale * { e ^{[ Q / ( n * R * T ) ]} - 1 }

Variazione di Pressione = P_finale - P_iniziale = P_iniziale * { e ^{[ - Q / ( n * R * T ) ]} - 1 }

in cui

V_finale è il volume alla fine della trasformazione espresso in m³
V_iniziale è il volume all'inizio della trasformazione espresso in m³
P_finale è la pressione alla fine della trasformazione espressa in Pa
P_iniziale è la pressione all'inizio della trasformazione espressa in Pa
Q è il calore scambiato espresso in J: un valore di Q positivo indica calore fornito al gas, un valore di Q negativo indica calore ceduto dal gas
n è la quantità di gas espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti (R = 8,314 J mol^-1 K^-1)
T è la temperatura a cui avviene la trasformazione espressa in K

Di seguito sono stati graficati i salti volumetrici e pressori in funzione del calore scambiato.
I valori sono riferiti a 1m³ di gas a T=300K, P=100kPa, n=40,09mol.

I punti in cui il calore scambiato è positivo sono relativi al calore fornito al gas, i punti in cui il calore scambiato è negativo sono relativi al calore perso dal gas.
Il primo grafico evidenzia il fatto che il volume non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale (del tipo y=e^x).
Il secondo grafico evidenzia il fatto che la pressione non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale inverso (del tipo y=e^-x).
I grafici presentati di seguito mostrano i valori effettivi del volume e della pressione.

Il primo grafico evidenzia nuovamente il fatto che il volume non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale (del tipo y=e^x+Costante).
Il secondo grafico evidenzia il fatto che la pressione non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale inverso (del tipo y=e^-x+Costante).

La trasformazione isoterma in un diagramma P-V è rappresentata da un tratto curvo di tipo iperbolico.
Partendo dall'equazione di stato dei gas perfetti

P * V = n * R * T

si arriva immediatamente a

P = n * R * T / V

dove il termine n * R * T è costante per le trasformazioni isoterme quindi l'equazione assume la forma semplificata

P = costante / V

A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, e a parità di calore scambiato, la lunghezza della curva è indipendente dal tipo di gas.
Di seguito sono state graficate due trasformazioni isoterme.
Quella che si sviluppa dal punto iniziale verso sinistra è una compressione isoterma con cessione di 100kJ di calore; l'altra è una espansione isoterma con assorbimento di 100kJ.

Una considerazione fondamentale è che nella trasformazione isoterma è presente il lavoro di volume (con segno positivo se lavoro fatto dal gas, con segno negativo se lavoro subito dal gas). Il suo valore nel diagramma P-V è rappresentato dall'area sottesa dalla curva di trasformazione (l'area rossa per la compressione isoterma, l'area verde per l'espansione isoterma).

Matematicamente, l'area sottesa da una curva si calcola con l'operazione di integrale e nel caso specifico si scrive come segue

L_{espansione isoterma} = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) = 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 300 K * ln ( 2,718 m ³/1 m ³ ) = 100kJ = Q

L_{compressione isoterma} = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) = 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 300 K * ln ( 0,368 m ³/1 m ³ ) = -100kJ = Q

In una espansione isoterma il calore fornito viene trasformato integralmente in lavoro fatto dal gas.
In una compressione isoterma è il lavoro fatto sul gas che viene convertito integralmente in calore dissipato.
Per quanto sopra deriva che l'energia termica di un gas è costante in una trasformazione isoterma.
L'isoterma è una trasformazione in cui le uniche forme di energia coinvolte sono il calore scambiato e il lavoro di volume.
Nell'espansione isoterma (o anche depressurizzazione isoterma), l'energia fornita al gas sottoforma di calore viene completamente convertita in lavoro di volume.
Nella compressione isoterma (o anche pressurizzazione isoterma), il gas riceve energia sottoforma di lavoro dall'esterno e la dissipa integralmente sottoforma di calore.

Trasformazioni isoterme e trasformazioni adiabatiche: considerazioni sugli scambi energetici

Nella tabella che segue viene confrontata la trasformazione isoterma con la trasformazione adiabatica.
Nell'isoterma la quantità di calore scambiato coincide con il lavoro di volume.
Nell'adiabatica lo scambio termico è nullo per definizione.
Mentre il lavoro compiuto da un gas in una trasformazione isoterma è indipendente dal tipo di gas, nel caso di una trasformazione adiabatica il lavoro di volume dipende dal tipo di gas attraverso il valore di Cv.
L'energia termica del gas (E_gas=n*Cv*T) non varia durante una trasformazione isotermica, quindi tutti i punti della curva isoterma sono isoenergetici.
In una trasformazione adiabatica l'energia termica del gas cambia e la sua variazione è pari al lavoro di volume cambiato di segno.

TRASFORMAZIONE ISOTERMA	TRASFORMAZIONE ADIABATICA
P*V=costante, T=costante, P e V variabili	P*VCp/Cv=costante, P, V e T variabili
Q = n*R*T*ln(Vfinale/Viniziale)	Q = 0
L = n*R*T*ln(Vfinale/Viniziale)	L = n*Cv*(Tiniziale-Tfinale)
Indipendente dal tipo di gas	Dipendente dal tipo di gas
Egas = costante	Egas,finale - Egas,iniziale = - L

E' pratica comune far riferimento al rapporto Cp/Cv come costante gamma.
Di seguito sono confrontate la curva che descrive l'isoterma e le tre curve adiabatiche nei piani P-V e T-V.

Una cosa importante da notare è che la minore variazione di pressione (temperatura) per una stessa variazione di volume si ha con l'isoterma, mentre la maggiore variazione di pressione (temperatura) si ha con l'adiabatica del gas monoatomico.
Nel caso di espansione questo significa che:

P_{Finale Isoterma} > P_{Finale Adiabatica Poliatomica} > P_{Finale Adiabatica Biatomica} > P_{Finale Adiabatica Monoatomica}
T_{Finale Isoterma} > T_{Finale Adiabatica Poliatomica} > T_{Finale Adiabatica Biatomica} > T_{Finale Adiabatica Monoatomica}

Nel caso di compressione questo significa che:

P_{Finale Isoterma} < P_{Finale Adiabatica Poliatomica} < P_{Finale Adiabatica Biatomica} < P_{Finale Adiabatica Monoatomica}
T_{Finale Isoterma} < T_{Finale Adiabatica Poliatomica} < T_{Finale Adiabatica Biatomica} < T_{Finale Adiabatica Monoatomica}

Spostando l'attenzione al lavoro di volume (rappresentato nel diagramma PV dall'area sottesa dalla curva di trasformazione) e limitando la discussione al caso dell'espansione:

L_Isoterma > L_{Adiabatica Gas Poliatomico} > L_{Adiabatica Gas Biatomico} > L_{Adiabatica Gas Monoatomico}

Quanto appena detto si può esprimere in un'altra chiave di lettura con questa considerazione: poichè il tipo di gas è caratterizzato da una particolare curva adiabatica, se determino la curva adiabatica individuo il tipo di gas.

Il gas che nella trasformazione adiabatica genera più lavoro (il poliatomico) è anche quello che varia meno di pressione e temperatura. Questo risultato apparentemente paradossale trova la sua spiegazione nel fatto che, a parità di temperatura, il gas poliatomico accumula una maggiore quantità di energia termica (Cv_{gas poliatomico} > Cv_{gas biatomico} > Cv_{gas monoatomico}).