La trasformazione isoterma

Un gas compie una trasformazione isoterma quando fa o subisce lavoro di volume ricevendo o dissipando calore in modo da mantenere invariata la temperatura.
Quando un gas compie un'espansione effettuando perciò lavoro di volume, il volume aumenta mentre la pressione e la temperatura diminuiscono.
Fornendo calore dall'esterno si può impedire la variazione della temperatura, ma la pressione cala comunque anche se di una minore entità rispetto al caso in cui la temperatura non viene mantenuta costante.
Quando un gas viene compresso subendo perciò del lavoro di volume, il volume diminuisce mentre la pressione e la temperatura aumentano.
Dissipando calore verso l'esterno si può impedire la variazione della temperatura, ma la pressione cresce comunque anche se di una minore entità rispetto al caso in cui la temperatura non viene mantenuta costante.
In pratica, una trasformazione isoterma con immissione di calore è un'espansione a temperatura costante e al tempo stesso una depressurizzazione a temperatura costante; una trasformazione isoterma con perdita di calore è una compressione a temperatura costante e al tempo stesso una pressurizzazione a temperatura costante.

A parità di calore scambiato, la variazione di volume e di pressione non dipende dal tipo di gas, ma solo dai valori iniziali di P e V e dalla quantità di gas secondo le seguenti relazioni

Variazione di Volume = Vfinale - Viniziale = Viniziale * { e [ Q / ( n * R * T ) ] - 1 }

Variazione di Pressione = Pfinale - Piniziale = Piniziale * { e [ - Q / ( n * R * T ) ] - 1 }

in cui

Vfinale è il volume alla fine della trasformazione espresso in m3
Viniziale è il volume all'inizio della trasformazione espresso in m3
Pfinale è la pressione alla fine della trasformazione espressa in Pa
Piniziale è la pressione all'inizio della trasformazione espressa in Pa
Q è il calore scambiato espresso in J: un valore di Q positivo indica calore fornito al gas, un valore di Q negativo indica calore ceduto dal gas
n è la quantità di gas espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti (R = 8,314 J mol-1 K-1)
T è la temperatura a cui avviene la trasformazione espressa in K

Di seguito sono stati graficati i salti volumetrici e pressori in funzione del calore scambiato.
I valori sono riferiti a 1m3 di gas a T=300K, P=100kPa, n=40,09mol.



I punti in cui il calore scambiato è positivo sono relativi al calore fornito al gas, i punti in cui il calore scambiato è negativo sono relativi al calore perso dal gas.
Il primo grafico evidenzia il fatto che il volume non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale (del tipo y=ex).
Il secondo grafico evidenzia il fatto che la pressione non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale inverso (del tipo y=e-x).
I grafici presentati di seguito mostrano i valori effettivi del volume e della pressione.



Il primo grafico evidenzia nuovamente il fatto che il volume non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale (del tipo y=ex+Costante).
Il secondo grafico evidenzia il fatto che la pressione non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale inverso (del tipo y=e-x+Costante).

La trasformazione isoterma in un diagramma P-V è rappresentata da un tratto curvo di tipo iperbolico.
Partendo dall'equazione di stato dei gas perfetti

P * V = n * R * T

si arriva immediatamente a

P = n * R * T / V

dove il termine n * R * T è costante per le trasformazioni isoterme quindi l'equazione assume la forma semplificata

P = costante / V

A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, e a parità di calore scambiato, la lunghezza della curva è indipendente dal tipo di gas.
Di seguito sono state graficate due trasformazioni isoterme.
Quella che si sviluppa dal punto iniziale verso sinistra è una compressione isoterma con cessione di 100kJ di calore; l'altra è una espansione isoterma con assorbimento di 100kJ.


Una considerazione fondamentale è che nella trasformazione isoterma è presente il lavoro di volume (con segno positivo se lavoro fatto dal gas, con segno negativo se lavoro subito dal gas). Il suo valore nel diagramma P-V è rappresentato dall'area sottesa dalla curva di trasformazione (l'area rossa per la compressione isoterma, l'area verde per l'espansione isoterma).


Matematicamente, l'area sottesa da una curva si calcola con l'operazione di integrale e nel caso specifico si scrive come segue


Lespansione isoterma = n * R * T * ln ( Vfinale / Viniziale ) = 40,09 mol * 8,314 J mol-1 K-1 * 300 K * ln ( 2,718 m 3/1 m 3 ) = 100kJ = Q

Lcompressione isoterma = n * R * T * ln ( Vfinale / Viniziale ) = 40,09 mol * 8,314 J mol-1 K-1 * 300 K * ln ( 0,368 m 3/1 m 3 ) = -100kJ = Q

In una espansione isoterma il calore fornito viene trasformato integralmente in lavoro fatto dal gas.
In una compressione isoterma è il lavoro fatto sul gas che viene convertito integralmente in calore dissipato.
Per quanto sopra deriva che l'energia termica di un gas è costante in una trasformazione isoterma.
L'isoterma è una trasformazione in cui le uniche forme di energia coinvolte sono il calore scambiato e il lavoro di volume.
Nell'espansione isoterma (o anche depressurizzazione isoterma), l'energia fornita al gas sottoforma di calore viene completamente convertita in lavoro di volume.
Nella compressione isoterma (o anche pressurizzazione isoterma), il gas riceve energia sottoforma di lavoro dall'esterno e la dissipa integralmente sottoforma di calore.

La trasformazione isocora

Un gas subisce una trasformazione isocora quando riceve o dissipa calore senza variazione di volume.
Quando il calore viene assorbito dal gas, la sua temperatura aumenta e di conseguenza aumenta la pressione.
Quando il calore viene ceduto dal gas, la sua temperatura diminuisce e di conseguenza diminuisce la pressione.
In pratica una trasformazione isocora con immissione di calore è un riscaldamento a volume costante e al tempo stesso una pressurizzazione a volume costante; una trasformazione isocora con perdita di calore è un raffreddamento a volume costante e al tempo stesso una depressurizzazione a volume costante.

La variazione di temperatura dipende dal tipo di gas e dalla sua quantità secondo la seguente relazione

Variazione di Temperatura = Tfinale - Tiniziale = Q / ( n * Cv )

in cui

Tfinale è la temperatura alla fine della trasformazione espressa in K
Tiniziale è la temperatura all'inizio della trasformazione espressa in K
Q è il calore scambiato espresso in J: un valore di Q positivo indica calore fornito al gas, un valore di Q negativo indica calore ceduto dal gas
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico ideale, 5*R/2 per il gas biatomico ideale, 7*R/2 per il gas poliatomico ideale con R = 8,314 J mol-1 K-1
n è la quantità di gas espressa in moli

Di seguito sono stati graficati i salti termici dei tre tipi di gas in funzione del calore scambiato.
I valori sono riferiti a una quantità di gas pari a 40,09 moli. Tale quantità di gas è contenuta in V=1m3 a P=100kPa e T=300K.


I punti in cui il calore scambiato è positivo sono relativi al calore fornito al gas, i punti in cui il calore scambiato è negativo sono relativi al calore perso dal gas.
Il grafico evidenzia il fatto che a parità di calore scambiato (per esempio 100kJ), la variazione di temperatura è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico, minima col gas poliatomico.
Assumendo che la temperatura iniziale del gas sia pari a 300K, le temperature finali in funzione del calore scambiato per i tre tipi di gas sono quelle graficate di seguito.


Unendo la precedente relazione per il calcolo della variazione di temperatura a quella dei gas perfetti si ottiene l'equazione che lega la variazione di pressione allo scambio di calore.

DeltaP = Pfinale - Piniziale = n * R * DeltaT / V = n * R * Q / (n * Cv * V ) = R * Q / ( Cv * V )

in cui

Pfinale è la pressione alla fine della trasformazione espressa in Pa
Piniziale è la pressione all'inizio della trasformazione espressa in Pa
V è il volume occupato dal gas espresso in m3

Di seguito sono stati graficati i salti di pressione per i tre tipi di gas in funzione del calore scambiato.


Dai grafici si vede che a parità di calore scambiato (per esempio 100kJ), la variazione di pressione è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico, minima col gas poliatomico.

La trasformazione isocora in un diagramma P-V è rappresentata da un segmento verticale la cui lunghezza indica la variazione di pressione.
A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, e a parità di calore scambiato, la lunghezza del segmento cambia in funzione del tipo di gas e, per quanto già visto sopra, la lunghezza è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per quello biatomico, minima per quello poliatomico.

Di seguito sono state graficate le trasformazioni isocore per i tre tipi di gas in cui lo stato iniziale è il medesimo. Il grafico mostra sia le trasformazioni nel caso in cui sono forniti 100kJ al gas, sia le trasformazioni nel caso in cui vengono prelevati 100kJ dal gas.



Una considerazione fondamentale è che nella trasformazione isocora il lavoro di volume è assente perchè non c'è variazione di volume.
In pratica in una trasformazione isocora il calore che viene fornito al gas si accumula integralmente sotto forma di energia termica del gas.
Viceversa, quando il calore viene dissipato è l'energia termica del gas che si riduce e si converte integralmente in calore.
L'isocora è una trasformazione in cui le uniche forme di energia coinvolte sono il calore scambiato e l'energia termica del gas.
Nel raffreddamento isocoro (o anche depressurizzazione isocora), l'energia termica del gas si riduce e il gas cede calore all'esterno.
Nel riscaldamento isocoro (o anche pressurizzazione isocora), il gas assorbe calore e lo accumula sottoforma di energia termica.
Una trasformazione isocora anomala è stata già discussa in precedenza nel post dedicato al rigeneratore di calore.
In tale sede viene trattata una trasformazione isocora in cui lo scambio termico avviene fra il gas e il rigeneratore di calore.

Il trasferimento del calore

Fino a questo punto i motori esotermici sono stati presentati e valutati dal punto di vista termodinamico trascurando completamente l'aspetto cinetico relativo al processo di trasferimento del calore.
Il calore si trasferisce spontaneamente da una zona a temperatura più elevata a una zona a temperatura più bassa.
Il gradiente termico, cioè la presenza di una differenza di temperatura, è la condizione necessaria affinchè avvenga un trasferimento spontaneo di calore e il calore si sposta sempre dalla zona a temperatura più alta alla zona a temperatura più bassa.
In assenza di gradiente termico non può avvenire alcun trasferimento spontaneo di calore.

Dal punto di vista del trasferimento di calore i liquidi e i gas hanno un comportamento analogo mentre i solidi sono un caso a parte.
Nei solidi il trasferimento di calore avviene per conduzione e per irraggiamento, nei liquidi e nei gas è possibile anche la convezione.
Esistono due tipologie di convezione: quella naturale e quella forzata.
La convezione naturale è un fenomeno che si manifesta per effetto della forza di gravità: il gas (o il liquido) caldo, più rarefatto quindi più leggero, tende a salire, il gas (o il liquido) freddo, più denso e quindi più pesante, tende a portarsi in basso.
Si parla invece di convezione forzata quando facendo lavoro meccanico dall'esterno si provoca un flusso di materiale (per esempio con una pompa o una ventola).

La convezione è una modalità opzionale per il trasferimento di calore, nel senso che essa può essere o non essere presente.
Mentre è scontato il motivo della presenza o assenza della convezione forzata, potrebbe non esserlo per quella naturale.
La convenzione naturale è assente quando la temperatura aumenta spostandosi dal basso verso l'alto perchè in questa situazione la forza di gravità non ha effetti sulla posizione del fluido.
In assenza di convezione, i liquidi e i gas trasferiscono calore solo per conduzione e irraggiamento e pertanto assumono un comportamento analogo a quello dei solidi.
La possibilità di impedire la convezione rende significativo il confronto della conducibilità termica fra sostanze in qualunque stato fisico.

La potenza termica trasmessa per conduzione è calcolabile con la seguente relazione

Pt = Ct * S * (Tcalda - Tfredda) / L

dove

Pt è la potenza termica espressa in [W]
Ct è la conducibilità termica espressa in [W K-1 m-1]
S è la sezione o superficie di conduzione espressa in [m2]
Tcalda è la temperatura più calda espressa in [K]
Tfredda è la temperatura più fredda espressa in [K]
L è la distanza fra la temperatura calda e la temperatura fredda espressa in [m]

Mentre per i solidi e i liquidi la Ct dipende solo dalla sostanza, nei gas dipende anche dalla pressione.
Per questo motivo per i gas i valori di conducibilità vengono normalmente riferiti alla pressione di 1 atmosfera.
Nel grafico sono riportati i valori di alcune sostanze.


Concludiamo con una considerazione.
L'elio è un fluido utilizzato molto spesso nei motori a combustione esterna perchè rispetto ad altri gas è caratterizzato da una migliore conducibilità (rispetto all'azoto è circa 6 volte più conduttivo).
Ma l'elio confrontato con i metalli riportati nel grafico fa prepotentemente realizzare che è sempre un gas e in quanto tale un buon isolante (l'elio rispetto al rame conduce 2500 volte peggio).
L'unica scappatoia per migliorare lo scambio termico quando si ha a che fare con i gas (e in generale con tutti i fluidi) è lavorare in presenza di convezione (meglio se forzata).

Ciclo di Brayton: considerazioni su rendimento e lavoro utile

Per quanto già trattato, il rendimento del ciclo Brayton può essere valutato utilizzando la seguente relazione

Rendimento = 1 - (Pminima/Pmassima)[ (gamma - 1) / gamma ]

La formula necessita però di alcune indicazioni per l'uso perchè altrimenti induce a delle conclusioni errate.
Dal punto di vista algebrico il rapporto Pminima/Pmassima può assumere un qualunque valore compreso fra 0 e 1.
Il rapporto vale 1 quando Pminima = Pmassima e si riduce progressivamente a 0 al crescere di Pmassima (o anche al diminuire di Pminima).
In figura è stato stato graficato l'andamento del rendimento in funzione di Pminima/Pmassima per i tre tipi di gas.


Le curve mostrano che il rendimento aumenta al diminuire del rapporto Pminima/Pmassima.
In pratica, a parità di Pminima, aumentare Pmassima significa ottenere rendimenti migliori.
I grafici confermano la considerazione già fatta in precendenza che il miglior rendimento si ha con il gas monoatomico, poi con quello biatomico e a seguire con il poliatomico.
La formula fa erroneamente ritenere accessibili rendimenti prossimi al 100% o almeno di rendere possibili rendimenti superiori a quello di Carnot.
Nessuna delle due possibilità corrisponde a verità.
Vediamo cosa accade al ciclo di Brayton vincolando alcuni parametri operativi e facendo variare esclusivamente il rapporto di pressioni Pminima/Pmassima.
Prendiamo come riferimento i parametri utilizzati nell'esempio presentato alla fine del precedente post, e consideriamo costanti

TA = 300K
TC = 600K
VD = 3m3
Pminima = 100kPa

Di seguito sono raccolti nello stesso diagramma PV i cicli di Brayton a diversi rapporti di pressione.


Nel grafico si passa da una situazione estrema in cui

Pminima/Pmassima = 1

che è rappresentata dal tratto orizzontale a P = 100kPa (assenza delle trasformazioni adiabatiche e presenza di due trasformazioni isobare sovrapposte) ad un'altra situazione estrema in cui

Pmassima = 550kPa

che viene rappresentata dalla linea curva di colore marrone (assenza delle trasformazioni isobare e presenza di due trasformazioni adiabatiche sovrapposte).
Fra queste due situazioni estreme, tre posizioni intermedie in cui è presente il classico ciclo di Brayton.
Il ciclo azzurro che si trova al di sopra della curva marrone è sempre un ciclo Brayton ma sostanzialmente diverso precedenti: il lavoro utile di questo ciclo è negativo.
Si tratta cioè di un esempio in cui il ciclo di Brayton funge da pompa di calore e non da motore termico.

La formula che calcola il rendimento del ciclo Brayton in funzione del rapporto Pminima / Pmassima è valida fintantochè il valore di Pminima / Pmassima è maggiore del valore a cui si osserva la scomparsa delle trasformazioni isobare.

Tale valore limite dipende dalle condizioni operative e dal tipo di gas.
Per chiarire il concetto, consideriamo un grafico che presenta assieme rendimento e lavoro utile per i tre tipi di gas.


La figura permette di fare alcune importanti considerazioni.
Il lavoro utile ha un andamento diverso da quello del rendimento.
Ha valore nullo quando il rapporto di pressioni ha un valore unitario e aumenta progressivamente fino ad un massimo al diminuire del rapporto di pressioni.
Il valore del rapporto di pressioni a cui corrisponde il massimo del lavoro utile è maggiore del punto in cui avviene la scomparsa delle isobare.
Oltre il massimo, riducendo ancora il rapporto di pressione, il lavoro utile diminuisce rapidamente fino ad annullarsi al raggiungimento del valore del rapporto di pressioni a cui scompaiono le isobare.
E' curioso che la formula del rendimento applicata al caso del ciclo Brayton in cui sono assenti le isobare fornisce come risultato il rendimento di Carnot

Rendimento = 1 - (Pminima/Pmassima)[ (gamma - 1) / gamma ] = 1 - TA / TC

Si noti che nel grafico sono presenti tre frecce nere che indicano il punto delle tre curve di rendimento in cui viene raggiunto il 50% (che è pari al rendimento di Carnot alle condizioni operative considerate per l'analisi eseguita in questo post).

DIMOSTRAZIONE
Poichè il ciclo è composto da due adiabatiche sovrapposte vale

Pminima*VDgamma = Pminima*VAgamma = Pmassima*VCgamma = Pmassima*VBgamma

Pminima*VAgamma = Pmassima*VCgamma

VCgamma / VAgamma = Pminima/Pmassima

(VC / VA)gamma = Pminima/Pmassima

VC / VA = (Pminima/Pmassima)1/gamma

Inoltre

Pminima*VAgamma = Pmassima*VCgamma

Pminima*VA*VA(gamma - 1) = Pmassima*VC*VC(gamma - 1)

n*R*TA*VA(gamma - 1) = n*R*TC*VC(gamma - 1)

TA*VA(gamma - 1) = TC*VC(gamma - 1)

TA/TC = VC(gamma - 1) / VA(gamma - 1) = (VC / VA)(gamma - 1)

Per quanto visto sopra

VC / VA = (Pminima/Pmassima)1/gamma

quindi

TA/TC = [(Pminima/Pmassima)1/gamma](gamma - 1) = (Pminima/Pmassima)[ (gamma - 1) / gamma ]

Sostituendo quest'ultima relazione in quella per il rendimento si ottiene

Rendimento = 1 - TA / TC

che è il rendimento di Carnot dal momento che TA e TC sono rispettivamente le temperature minima e massima del ciclo.

APPROFONDIMENTI CONSIGLIATI
Sullo stesso argomento si segnala la discussione intitolata "Ragionamenti sul ciclo di Brayton-Joule" presente sul forum Scienza Laterale.

Il ciclo di Brayton

Il ciclo di Brayton è un ciclo composto da due trasformazioni isobare e da due trasformazioni adiabatiche. Di seguito la sua rappresentazione nei diagrammi P-V e T-V.



Poichè PA=PD e PB=PC è conveniente riferirsi alle prime con Pminima e alle seconde con Pmassima.

FASE LAVORO DI VOLUME CALORE SCAMBIATO
Adiabatica AB n*Cv*(TB-TA) 0
Isobara BC Pmassima*(VC-VB) n*Cp*(TC-TB)
Adiabatica CD n*Cv*(TD-TC) 0
Isobara DA Pminima*(VA-VD)n*Cp*(TA-TD)

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e, utilizzando il primo metodo alternativo già discusso, risulta essere

L = LAB + LBC + LCD + LDA = n*Cv*(TB-TA) + Pmassima*(VC-VB) + n*Cv*(TD-TC) + Pminima*(VA-VD)

In effetti, anche se l'equazione si esprime come somma di quattro termini, LAB e LDA hanno valori inferiori a zero.
Il lavoro utile può essere calcolato anche come somma dei calori scambiati nelle varie fasi.

L = QAB + QBC + QCD + QDA = 0 + QBC + 0 + QDA = n*Cp*(TC-TB) + n*Cp*(TA-TD)

Ancora una volta, anche se l'equazione si esprime come somma di due termini (perchè dei quattro iniziali due sono nulli), QDA è negativo (è calore che esce dal sistema).
In altre parole, il lavoro è pari alla differenza fra calore fornito e calore dissipato.
Dal momento che il calore fornito al sistema dall'esterno è solo quello relativo all'isobara BC

QBC = n*Cp*(TC-TB)

il rendimento del ciclo risulta

Rendimento = (QBC + QDA) / QBC =
= 1 + QDA / QBC =
= 1 + n*Cp*(TA-TD) / [ n*Cp*(TC-TB) ] =
= 1 + (TA-TD) / (TC-TB) =
= 1 - (TA/TB) * [ (TD/TA) - 1 ] / [ (TC/TB) - 1 ]

Una caratteristica del ciclo di Brayton è che i volumi e le temperature dei quattro punti che lo individuano non sono arbitrari ma risultano vincolati fra loro dalle seguenti uguaglianze

VD / VA = VC / VB

TD / TA = TC / TB

Tenendo conto della seconda relazione nell'equazione del rendimento, il contenuto fra le parentesi quadre risulta uguale a 1 e l'equazione si semplifica in

Rendimento = 1 - (TA/TB)

E' importante notare che l'equazione è solo in apparenza uguale a quella di Carnot: TB NON è la temperatura massima raggiunta dal sistema (che invece è TC).
Questo significa che il rendimento del ciclo di Brayton è SEMPRE minore del rendimento di Carnot (che rappresenta il rendimento massimo teorico).

Rendimento di Brayton = 1 - (TA/TB) < 1 - (TA/TC) = Rendimento di Carnot

Un'equazione alternativa per il rendimento di Brayton è la seguente

Rendimento = 1 - (Pminima/Pmassima)[ (gamma - 1) / gamma ]

Tipo di gas gamma = Cp/Cv(gamma - 1) / gamma
Gas Monoatomico5/32/5 = 0,400
Gas Biatomico7/52/7 = 0,286
Gas Poliatomico9/72/9 = 0,222

Va notato che rendimento e lavoro di volume dipendono dal tipo di gas.
Il rendimento migliore si ottiene nel caso del gas monoatomico. Segue il gas biatomico e poi il poliatomico.
Per quanto riguarda il lavoro utile la generalizzazione è più complessa perchè la graduatoria dipende dalle grandezze fisiche che vengono mantenute costanti per fare il confronto.
Ci sono casi in cui il maggior lavoro di volume si ha con il gas monoatomico, seguito dal quello biatomico e poi da quello poliatomico.
Ma ce ne sono altri in cui il maggior lavoro di volume si ha con il gas poliatomico, seguito dal quello biatomico e poi da quello monoatomico.
Per qualche chiarimento sul coefficiente gamma si rimanda a quanto già scritto.

APPROFONDIMENTI CONSIGLIATI
Sullo stesso argomento si segnala la discussione intitolata "Ragionamenti sul ciclo di Brayton-Joule" presente sul forum Scienza Laterale.

Esaminiamo in dettaglio un esempio con dei numeri.
Nelle prime tre tabelle sono raccolte le coordinate dei 4 punti A,B,C,D per i gas monoatomico, biatomico e poliatomico.
Nella quarta tabella sono riassunte le trasformazioni e le energie scambiate per i tre tipi di gas (monoatomico, biatomico e poliatomico) e poi, nel riepilogo, il lavoro utile, i calori scambiati e il rendimento.
I numeri nella quarta tabella mostrano che a parità di ingombro, cioè a parità di VD (che è il volume massimo), e di condizioni operative, cioè a parità di TC, TA, Pmassima e Pminima, il lavoro e rendimento dipendono dal tipo di gas.
Per quanto riguarda il rendimento, esso risulta il più elevato nel caso del gas monoatomico (24,2%), un po' più basso per il biatomico (18%), il più basso per quello poliatomico (14,3%). Per confronto, il rendimento di Carnot fra la temperatura massima TC=600K e la temperatura minima TA=300K è pari al 50%.
Per quanto riguarda il lavoro utile, esso risulta il più basso nel caso del gas monoatomico (81kJ), un po' più alto per il biatomico (90kJ), il più elevato per quello poliatomico (94kJ).



GAS MONOATOMICO
PUNTO PressioneVolume TemperaturaQuantità di gas
A 100kPa 1,98 m3 300K (27°C) 79,4 mol
B 200kPa 1,31 m3 396K (123°C) 79,4 mol
C 200kPa 1,98 m3 600K (327°C) 79,4 mol
D 100kPa 3,00 m3 455K (182°C) 79,4 mol

GAS BIATOMICO
PUNTO Pressione Volume Temperatura Quantità di gas
A 100kPa 1,83 m3 300K (27°C) 73,3 mol
B 200kPa 1,11 m3 366K (93°C) 73,3 mol
C 200kPa 1,83 m3 600K (327°C) 73,3 mol
D 100kPa 3,00 m3 492K (219°C) 73,3 mol

GAS POLIATOMICO
PUNTO Pressione Volume Temperatura Quantità di gas
A 100kPa 1,75 m3 300K (27°C) 70,2 mol
B 200kPa 1,02 m3 350K (77°C) 70,2 mol
C 200kPa 1,75 m3 600K (327°C) 70,2 mol
D 100kPa 3,00 m3 514K (241°C) 70,2 mol

TRASFORMAZIONE L,Q MONOATOMICO L,Q BIATOMICO L,Q POLIATOMICO
Adiabatica AB -95kJ, 0kJ -100kJ, 0kJ -102kJ, 0kJ
Isobara BC 135kJ, 337kJ 143kJ, 500kJ 146kJ, 656kJ
Adiabatica CD 144kJ, 0kJ 164kJ, 0kJ 175kJ, 0kJ
Isobara DA -102kJ, -255kJ -117kJ, -410kJ -125kJ, -563kJ
RIEPILOGO
Calore fornito (QBC) 337kJ 500kJ 656kJ
Calore dissipato (QDA) -255kJ -410kJ -563kJ
Lavoro Utile 81kJ 90kJ94kJ
Rendimento 24,2% 18,0% 14,3%

Efficienza del rigeneratore di calore e rendimento del ciclo di Stirling

Il rendimento del ciclo di Stirling uguaglia quello del ciclo di Carnot solo in presenza di una rigenerazione termica ideale, intendendo con questo termine un'efficienza del rigeneratore di calore del 100%.
E' stato già dimostrato che in tale situazione il rendimento risulta indipendente dal tipo di gas.
Riprendiamo per comodità la tabella riepilogativa già presentata in tale occasione per esaminare cosa accade nel caso in cui il rigeneratore presenti delle inefficienze.

PUNTO Pressione Volume Temperatura Quantità di gas
A 100kPa 1m3 300K (27°C) 40,1 mol
B 200kPa 1m3 600K (327°C) 40,1 mol
C 100kPa 2m3 600K (327°C) 40,1 mol
D 50kPa 2m3 300K (27°C) 40,1 mol

TRASFORMAZIONE L,Q MONOATOMICO L,Q BIATOMICO L,Q POLIATOMICO
Isocora AB 0kJ,150kJ 0kJ, 250kJ 0kJ, 350kJ
Isoterma BC 138kJ, 138kJ
Isocora CD 0kJ, -150kJ 0kJ, -250kJ 0kJ, -350kJ
Isoterma DA -69kJ, -69kJ
RIEPILOGO
Calore netto fornito (QBC) 139kJ
Calore netto dissipato (QDA) -69kJ
Calore rigenerato (QAB= - QCD) 150kJ 250kJ 350kJ
Lavoro Utile (LBC + LDA) 69kJ
Rendimento 50%

Consideriamo il caso in cui l'efficienza del rigeneratore sia dell'80%.
In pratica, l'80% dell'energia termica scambiata nelle isoterme viene rigenerata mentre il restante 20% viene prelevato dalla parete calda e ceduto alla parete fredda.
Il calore complessivo immesso nel sistema viene individuato ora da due contributi.
Oltre al calore scambiato nell'isoterma alla Tcalda

Qideale = n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo)

compare il contributo dovuto all'inefficienza del rigeneratore pari a

Qper inefficienza rigenerazione = (1-0,8) * calore rigenerato = (1-0,8) * n*Cv*(Tcalda-Tfredda)

Q = Qideale + Qper inefficienza rigenerazione

In tabella sono raccolti i valori per i tre casi e i rendimenti corretti.

Gas MonoatomicoGas BiatomicoGas Poliatomico
Lavoro utile69kJ
Qideale138kJ
Rendimentoideale50%
Qper inefficienza rigeneratore30kJ50kJ70kJ
Rendimentocorretto41,1%36,7%33,2%

La casistica completa delle efficienze del rigeneratore dallo 0% al 100% e i corrispondenti rendimenti del ciclo sono stati rappresentati nel grafico di seguito.


Il grafico mostra che a parità di efficienza di rigenerazione il maggior rendimento del ciclo di Stirling compete al gas monoatomico, seguito dal gas biatomico e poi dal gas poliatomico.
Concludiamo puntualizzando che, mentre i numeri e le curve sono relativi ad una situazione specifica (i parametri operativi sono indicati nella prima tabella del post), la considerazione che il gas monoatomico permette migliori prestazioni rispetto agli altri tipi di gas ha validità generale.

Il ciclo di Stirling

Il ciclo di Stirling è un ciclo composto da due trasformazioni isoterme e da due trasformazioni isocore in presenza di rigenerazione termica. Di seguito le sue rappresentazioni nei diagrammi P-V e T-V.



Poichè TA=TD e TB=TC è conveniente riferirsi alle prime con Tfredda e alle seconde con Tcalda.
Inoltre, poichè VA=VB e VC=VD è conveniente riferirsi ai primi con Vminimo e ai secondi con Vmassimo.

FASE LAVORO DI VOLUME CALORE SCAMBIATO
Isocora AB 0 n*Cv*(Tcalda-Tfredda)
Isoterma BC n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo)
Isocora CD 0 n*Cv*(Tfredda-Tcalda)
Isoterma DA n*R*Tfredda*ln(Vminimo/Vmassimo)

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e, utilizzando il primo metodo alternativo già discusso, risulta essere

L = LBC + LDA = n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo) + n*R*Tfredda*ln(Vminimo/Vmassimo)

In effetti, anche se l'equazione si esprime come somma di due termini, LDA ha un valore inferiore a zero.
Sfruttando una delle proprietà dell'operatore logaritmo, ovvero

ln(A/B) = - ln(B/A)

l'equazione del lavoro può essere riscritta come

L = n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo) + n*R*Tfredda*ln(Vminimo/Vmassimo) =
= n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo) - n*R*Tfredda*ln(Vmassimo/Vminimo) =
= n*R*ln(Vmassimo/Vminimo)*(Tcalda-Tfredda)

Per quanto riguarda gli scambi termici, il gas assorbe calore nell'isocora AB e nell'isoterma BC mentre cede calore nell'isocora CD e nell'isoterma DA.
Essendo

QAB = n*Cv*(TCalda-TFredda) = - n*Cv*(TFredda-TCalda) = - QCD

cioè il calore assorbito dal gas nell'isocora AB è uguale a quello ceduto nell'isocora CD, la rigenerazione termica fa in modo che questi due contributi si elidano a vicenda e pertanto il calore fornito al sistema dall'esterno è solo quello relativo all'isoterma BC

QBC = n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo)

Il rendimento del ciclo risulta

Rendimento = L/QBC = n*R*ln(Vmassimo/Vminimo)*(Tcalda-Tfredda) / n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo) = 1 - Tfredda / Tcalda

Il rendimento del ciclo di Stirling in presenza di rigenerazione coincide con quello del ciclo di Carnot. Come il ciclo di Carnot, anche il ciclo di Stirling in presenza di rigenerazione termica ottiene il rendimento massimo ottenibile scambiando calore fra Tcalda e Tfredda.
Va notato che sia il rendimento che il lavoro di volume sono indipendenti dal tipo di gas.


Esaminiamo in dettaglio un esempio con dei numeri.
Nella prima tabella sono raccolte le coordinate dei 4 punti A,B,C,D.
Nella seconda tabella sono riassunte le trasformazioni e le energie scambiate per i tre tipi di gas (monoatomico, biatomico e poliatomico) e poi, nel riepilogo, il lavoro utile, i calori scambiati e il rendimento.
I numeri in tabella mostrano che a parità di macchina, cioè a parità di VA,VB,VC e VD, e di condizioni operative, cioè a parità di n, Tfredda, Tcalda (e quindi anche a parità di pressioni), il lavoro e rendimento sono invariati, mentre cambia il calore scambiato nelle isocore AB e CD.
Tale calore non ha effetti sul rendimento per la presenza della rigenerazione termica (rigenerazione termica ideale cioè con efficienza del 100%); il calore scambiato risulta massimo per il gas poliatomico e minimo per il monoatomico e questo naturalmente comporta una crescente sollecitazione del rigeneratore nel passare dal gas monoatomico al gas biatomico e dal gas biatomico al gas poliatomico.

PUNTO Pressione Volume Temperatura Quantità di gas
A 100kPa 1m3 300K (27°C) 40,1 mol
B 200kPa 1m3 600K (327°C) 40,1 mol
C 100kPa 2m3 600K (327°C) 40,1 mol
D 50kPa 2m3 300K (27°C) 40,1 mol

TRASFORMAZIONE L,Q MONOATOMICO L,Q BIATOMICO L,Q POLIATOMICO
Isocora AB 0kJ,150kJ 0kJ, 250kJ 0kJ, 350kJ
Isoterma BC 138kJ, 138kJ
Isocora CD 0kJ, -150kJ 0kJ, -250kJ 0kJ, -350kJ
Isoterma DA -69kJ, -69kJ
RIEPILOGO
Calore netto fornito (QBC) 139kJ
Calore netto dissipato (QDA) -69kJ
Calore rigenerato (QAB= - QCD) 150kJ 250kJ 350kJ
Lavoro Utile (LBC + LDA) 69kJ
Rendimento 50%

Ultima pubblicazione

Experimentation summary of July-October 2021

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