Ciclo di Brayton: considerazioni su rendimento e lavoro utile

Per quanto già trattato, il rendimento del ciclo Brayton può essere valutato utilizzando la seguente relazione

Rendimento = 1 - (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]}

La formula necessita però di alcune indicazioni per l'uso perchè altrimenti induce a delle conclusioni errate.
Dal punto di vista algebrico il rapporto P_minima/P_massima può assumere un qualunque valore compreso fra 0 e 1.
Il rapporto vale 1 quando P_minima = P_massima e si riduce progressivamente a 0 al crescere di P_massima (o anche al diminuire di P_minima).
In figura è stato stato graficato l'andamento del rendimento in funzione di P_minima/P_massima per i tre tipi di gas.

Le curve mostrano che il rendimento aumenta al diminuire del rapporto P_minima/P_massima.
In pratica, a parità di P_minima, aumentare P_massima significa ottenere rendimenti migliori.
I grafici confermano la considerazione già fatta in precendenza che il miglior rendimento si ha con il gas monoatomico, poi con quello biatomico e a seguire con il poliatomico.
La formula fa erroneamente ritenere accessibili rendimenti prossimi al 100% o almeno di rendere possibili rendimenti superiori a quello di Carnot.
Nessuna delle due possibilità corrisponde a verità.
Vediamo cosa accade al ciclo di Brayton vincolando alcuni parametri operativi e facendo variare esclusivamente il rapporto di pressioni P_minima/P_massima.
Prendiamo come riferimento i parametri utilizzati nell'esempio presentato alla fine del precedente post, e consideriamo costanti

T_A = 300K
T_C = 600K
V_D = 3m³
P_minima = 100kPa

Di seguito sono raccolti nello stesso diagramma PV i cicli di Brayton a diversi rapporti di pressione.

Nel grafico si passa da una situazione estrema in cui

P_minima/P_massima = 1

che è rappresentata dal tratto orizzontale a P = 100kPa (assenza delle trasformazioni adiabatiche e presenza di due trasformazioni isobare sovrapposte) ad un'altra situazione estrema in cui

P_massima = 550kPa

che viene rappresentata dalla linea curva di colore marrone (assenza delle trasformazioni isobare e presenza di due trasformazioni adiabatiche sovrapposte).
Fra queste due situazioni estreme, tre posizioni intermedie in cui è presente il classico ciclo di Brayton.
Il ciclo azzurro che si trova al di sopra della curva marrone è sempre un ciclo Brayton ma sostanzialmente diverso precedenti: il lavoro utile di questo ciclo è negativo.
Si tratta cioè di un esempio in cui il ciclo di Brayton funge da pompa di calore e non da motore termico.

La formula che calcola il rendimento del ciclo Brayton in funzione del rapporto P_minima / P_massima è valida fintantochè il valore di P_minima / P_massima è maggiore del valore a cui si osserva la scomparsa delle trasformazioni isobare.

Tale valore limite dipende dalle condizioni operative e dal tipo di gas.
Per chiarire il concetto, consideriamo un grafico che presenta assieme rendimento e lavoro utile per i tre tipi di gas.

La figura permette di fare alcune importanti considerazioni.
Il lavoro utile ha un andamento diverso da quello del rendimento.
Ha valore nullo quando il rapporto di pressioni ha un valore unitario e aumenta progressivamente fino ad un massimo al diminuire del rapporto di pressioni.
Il valore del rapporto di pressioni a cui corrisponde il massimo del lavoro utile è maggiore del punto in cui avviene la scomparsa delle isobare.
Oltre il massimo, riducendo ancora il rapporto di pressione, il lavoro utile diminuisce rapidamente fino ad annullarsi al raggiungimento del valore del rapporto di pressioni a cui scompaiono le isobare.
E' curioso che la formula del rendimento applicata al caso del ciclo Brayton in cui sono assenti le isobare fornisce come risultato il rendimento di Carnot

Rendimento = 1 - (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]} = 1 - T_A / T_C

Si noti che nel grafico sono presenti tre frecce nere che indicano il punto delle tre curve di rendimento in cui viene raggiunto il 50% (che è pari al rendimento di Carnot alle condizioni operative considerate per l'analisi eseguita in questo post).

DIMOSTRAZIONE
Poichè il ciclo è composto da due adiabatiche sovrapposte vale

P_minima*V_D^gamma = P_minima*V_A^gamma = P_massima*V_C^gamma = P_massima*V_B^gamma

P_minima*V_A^gamma = P_massima*V_C^gamma

V_C^gamma / V_A^gamma = P_minima/P_massima

(V_C / V_A)^gamma = P_minima/P_massima

V_C / V_A = (P_minima/P_massima)^1/gamma

Inoltre

P_minima*V_A^gamma = P_massima*V_C^gamma

P_minima*V_A*V_A^{(gamma - 1)} = P_massima*V_C*V_C^{(gamma - 1)}

n*R*T_A*V_A^{(gamma - 1)} = n*R*T_C*V_C^{(gamma - 1)}

T_A*V_A^{(gamma - 1)} = T_C*V_C^{(gamma - 1)}

T_A/T_C = V_C^{(gamma - 1)} / V_A^{(gamma - 1)} = (V_C / V_A)^{(gamma - 1)}

Per quanto visto sopra

V_C / V_A = (P_minima/P_massima)^1/gamma

quindi

T_A/T_C = [(P_minima/P_massima)^1/gamma]^{(gamma - 1)} = (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]}

Sostituendo quest'ultima relazione in quella per il rendimento si ottiene

Rendimento = 1 - T_A / T_C

che è il rendimento di Carnot dal momento che T_A e T_C sono rispettivamente le temperature minima e massima del ciclo.

APPROFONDIMENTI CONSIGLIATI
Sullo stesso argomento si segnala la discussione intitolata "Ragionamenti sul ciclo di Brayton-Joule" presente sul forum Scienza Laterale.

Il ciclo di Brayton

Il ciclo di Brayton è un ciclo composto da due trasformazioni isobare e da due trasformazioni adiabatiche. Di seguito la sua rappresentazione nei diagrammi P-V e T-V.

Poichè P_A=P_D e P_B=P_C è conveniente riferirsi alle prime con P_minima e alle seconde con P_massima.

FASE	LAVORO DI VOLUME	CALORE SCAMBIATO
Adiabatica AB	n*Cv*(TB-TA)	0
Isobara BC	Pmassima*(VC-VB)	n*Cp*(TC-TB)
Adiabatica CD	n*Cv*(TD-TC)	0
Isobara DA	Pminima*(VA-VD)	n*Cp*(TA-TD)

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e, utilizzando il primo metodo alternativo già discusso, risulta essere

L = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA = n*Cv*(T_B-T_A) + P_massima*(V_C-V_B) + n*Cv*(T_D-T_C) + P_minima*(V_A-V_D)

In effetti, anche se l'equazione si esprime come somma di quattro termini, L_AB e L_DA hanno valori inferiori a zero.
Il lavoro utile può essere calcolato anche come somma dei calori scambiati nelle varie fasi.

L = Q_AB + Q_BC + Q_CD + Q_DA = 0 + Q_BC + 0 + Q_DA = n*Cp*(T_C-T_B) + n*Cp*(T_A-T_D)

Ancora una volta, anche se l'equazione si esprime come somma di due termini (perchè dei quattro iniziali due sono nulli), Q_DA è negativo (è calore che esce dal sistema).
In altre parole, il lavoro è pari alla differenza fra calore fornito e calore dissipato.
Dal momento che il calore fornito al sistema dall'esterno è solo quello relativo all'isobara BC

Q_BC = n*Cp*(T_C-T_B)

il rendimento del ciclo risulta

Rendimento = (Q_BC + Q_DA) / Q_BC =
= 1 + Q_DA / Q_BC =
= 1 + n*Cp*(T_A-T_D) / [ n*Cp*(T_C-T_B) ] =
= 1 + (T_A-T_D) / (T_C-T_B) =
= 1 - (T_A/T_B) * [ (T_D/T_A) - 1 ] / [ (T_C/T_B) - 1 ]

Una caratteristica del ciclo di Brayton è che i volumi e le temperature dei quattro punti che lo individuano non sono arbitrari ma risultano vincolati fra loro dalle seguenti uguaglianze

V_D / V_A = V_C / V_B

T_D / T_A = T_C / T_B

Tenendo conto della seconda relazione nell'equazione del rendimento, il contenuto fra le parentesi quadre risulta uguale a 1 e l'equazione si semplifica in

Rendimento = 1 - (T_A/T_B)

E' importante notare che l'equazione è solo in apparenza uguale a quella di Carnot: T_B NON è la temperatura massima raggiunta dal sistema (che invece è T_C).
Questo significa che il rendimento del ciclo di Brayton è SEMPRE minore del rendimento di Carnot (che rappresenta il rendimento massimo teorico).

Rendimento di Brayton = 1 - (T_A/T_B) < 1 - (T_A/T_C) = Rendimento di Carnot

Un'equazione alternativa per il rendimento di Brayton è la seguente

Rendimento = 1 - (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]}

Tipo di gas	gamma = Cp/Cv	(gamma - 1) / gamma
Gas Monoatomico	5/3	2/5 = 0,400
Gas Biatomico	7/5	2/7 = 0,286
Gas Poliatomico	9/7	2/9 = 0,222

Va notato che rendimento e lavoro di volume dipendono dal tipo di gas.
Il rendimento migliore si ottiene nel caso del gas monoatomico. Segue il gas biatomico e poi il poliatomico.
Per quanto riguarda il lavoro utile la generalizzazione è più complessa perchè la graduatoria dipende dalle grandezze fisiche che vengono mantenute costanti per fare il confronto.
Ci sono casi in cui il maggior lavoro di volume si ha con il gas monoatomico, seguito dal quello biatomico e poi da quello poliatomico.
Ma ce ne sono altri in cui il maggior lavoro di volume si ha con il gas poliatomico, seguito dal quello biatomico e poi da quello monoatomico.
Per qualche chiarimento sul coefficiente gamma si rimanda a quanto già scritto.

APPROFONDIMENTI CONSIGLIATI
Sullo stesso argomento si segnala la discussione intitolata "Ragionamenti sul ciclo di Brayton-Joule" presente sul forum Scienza Laterale.

Esaminiamo in dettaglio un esempio con dei numeri.
Nelle prime tre tabelle sono raccolte le coordinate dei 4 punti A,B,C,D per i gas monoatomico, biatomico e poliatomico.
Nella quarta tabella sono riassunte le trasformazioni e le energie scambiate per i tre tipi di gas (monoatomico, biatomico e poliatomico) e poi, nel riepilogo, il lavoro utile, i calori scambiati e il rendimento.
I numeri nella quarta tabella mostrano che a parità di ingombro, cioè a parità di V_D (che è il volume massimo), e di condizioni operative, cioè a parità di T_C, T_A, P_massima e P_minima, il lavoro e rendimento dipendono dal tipo di gas.
Per quanto riguarda il rendimento, esso risulta il più elevato nel caso del gas monoatomico (24,2%), un po' più basso per il biatomico (18%), il più basso per quello poliatomico (14,3%). Per confronto, il rendimento di Carnot fra la temperatura massima T_C=600K e la temperatura minima T_A=300K è pari al 50%.
Per quanto riguarda il lavoro utile, esso risulta il più basso nel caso del gas monoatomico (81kJ), un po' più alto per il biatomico (90kJ), il più elevato per quello poliatomico (94kJ).

GAS MONOATOMICO
PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1,98 m3	300K (27°C)	79,4 mol
B	200kPa	1,31 m3	396K (123°C)	79,4 mol
C	200kPa	1,98 m3	600K (327°C)	79,4 mol
D	100kPa	3,00 m3	455K (182°C)	79,4 mol

GAS BIATOMICO
PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1,83 m3	300K (27°C)	73,3 mol
B	200kPa	1,11 m3	366K (93°C)	73,3 mol
C	200kPa	1,83 m3	600K (327°C)	73,3 mol
D	100kPa	3,00 m3	492K (219°C)	73,3 mol

GAS POLIATOMICO
PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1,75 m3	300K (27°C)	70,2 mol
B	200kPa	1,02 m3	350K (77°C)	70,2 mol
C	200kPa	1,75 m3	600K (327°C)	70,2 mol
D	100kPa	3,00 m3	514K (241°C)	70,2 mol

TRASFORMAZIONE	L,Q MONOATOMICO	L,Q BIATOMICO	L,Q POLIATOMICO
Adiabatica AB	-95kJ, 0kJ	-100kJ, 0kJ	-102kJ, 0kJ
Isobara BC	135kJ, 337kJ	143kJ, 500kJ	146kJ, 656kJ
Adiabatica CD	144kJ, 0kJ	164kJ, 0kJ	175kJ, 0kJ
Isobara DA	-102kJ, -255kJ	-117kJ, -410kJ	-125kJ, -563kJ
RIEPILOGO
Calore fornito (QBC)	337kJ	500kJ	656kJ
Calore dissipato (QDA)	-255kJ	-410kJ	-563kJ
Lavoro Utile	81kJ	90kJ	94kJ
Rendimento	24,2%	18,0%	14,3%