Il ciclo Rankine del vapore surriscaldato

Nel ciclo Rankine del vapore saturo durante la fase di espansione adiabatica avviene una parziale condensazione del vapore.
Nei casi in cui la presenza di questo fenomeno risulti inaccettabile per motivi tecnologici, la formazione di liquido viene impedita mediante un adeguato surriscaldamento del vapore prima della sua immissione nel motore.
La curva di espansione adiabatica assume un diverso andamento che può essere interpolato con buona approssimazione utilizzando l'equazione

P * V^gamma = costante

in cui il coefficiente gamma è quello del gas poliatomico ideale che risulta essere pari a 9/7 (circa 1,286). Per ulteriori informazioni sulle trasformazioni adiabatiche dei gas ideali si rimanda al post intitolato "La trasformazione adiabatica".
Abbiamo già visto che per un'espansione del vapore saturo da 10bar a 1bar il coefficiente gamma può essere assunto pari a 1,138.
Essendo il coefficiente gamma del vapore surriscaldato maggiore di quello del vapore saturo, la caduta di pressione e di temperatura durante l'espansione adiabatica del vapore surriscaldato avviene più rapidamente rispetto al caso del vapore saturo.

Nell'immagine che segue viene proposto il confronto fra il ciclo con il vapore saturo e il ciclo con il vapore surriscaldato, in cui il volume finale dell'espansione adiabatica coincide. Il ciclo a vapore saturo è lo stesso già discusso nell'esempio alla fine del precedente post.

Si noti che in figura è rappresentato il caso molto particolare (e in pratica mai realizzabile) in cui V_A e V_D sono nulli.
Il ciclo di colore blu è relativo al vapore saturo a 10bar (179,9°C) mentre quello di colore rosso è relativo al vapore surriscaldato a 370°C alla pressione di 10bar.
La temperatura di surriscaldamento non è casuale. Il surriscaldamento a 370°C alla pressione di 10bar permette di arrivare alla pressione di 1bar con una temperatura prossima ai 100°C.
Essendo la curva di espansione adiabatica del vapore surriscaldato più ripida di quella del vapore saturo, il volume di inizio espansione risulta più elevato cioè

V_B' > V_B

Poichè il lavoro prodotto dal motore corrisponde all'area contenuta dalle curve di trasformazione, nel confronto proposto in figura risulta che con il vapore surriscaldato è possibile ottenere un maggior lavoro utile per ciclo.
Per la valutazione dell'area del ciclo con il vapor saturo (ciclo ABCD) si rimanda al post dedicato.
Per la valutazione dell'area del ciclo con il vapore surriscaldato è conveniente suddividere il calcolo in quattro blocchi: area sottesa dal tratto AB', area sottesa dal tratto B'C, area sottesa dal tratto CD e area sottesa dal tratto DA.
Il primo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione isobara, il secondo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione adiabatica, il terzo blocco è il lavoro di volume durante la fase di scarico, il quarto blocco è nullo perchè non c'è variazione di volume.
Il lavoro del motore sarà poi dato dalla somma dei quattro contributi

L_motore = L_AB' + L_B'C + L_CD + L_DA

in cui il termine L_CD ha segno negativo e il termine L_DA è nullo.
Per il primo ed il terzo contributo le formule da applicare sono le seguenti

L_AB' = P_caldaia * ( V_B' - V_A )

dove

L_AB' è il lavoro di volume nel tratto AB' espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B' è il volume nel punto B' espresso in m³
V_A è il volume nel punto A espresso in m³

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C )

dove

L_CD è il lavoro di volume nel tratto CD espresso in J
P_condensatore è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_D è il volume nel punto D espresso in m³
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Con l'area sottesa dal tratto di curva di espansione adiabatica (L_B'C) il calcolo si limita all'applicazione della formula che segue:

L_B'C = P_caldaia * V_B'^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B^(1-gamma) ] / ( 1 - gamma )

dove

L_B'C è il lavoro di volume nel tratto B'C espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B' è il volume nel punto B' espresso in m³
gamma è una costante pari a 9/7 (coefficiente di espansione adiabatica del gas ideale poliatomico)
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Per quanto riguarda il lavoro consumato per il pompaggio il calcolo è il seguente

L_pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * V_liquido

dove

L_pompa è il lavoro utilizzato per ciclo espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
P_condensatore è la pressione nel condensatore espressa in Pa
V_liquido è il volume del liquido pompato espresso in m³

Il lavoro utile per ciclo è dato dalla seguente equazione

L = L_motore - L_pompa

Per valutare il calore fornito al sistema è utile ed istruttivo separare il calcolo in tre stadi.

PRIMO STADIO
Riscaldamento del liquido in caldaia dalla temperatura di condensazione alla temperatura di ebollizione

Il processo avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q1 = Cp_medio * n * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} )

dove

Q1 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{condensazione} e T_{vaporizzazione} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di liquido espressa in moli
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K
T_{condensazione} è la temperatura di condensazione espressa in K

SECONDO STADIO
Vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione

Questo è un processo di tipo isotermo e contemporaneamente anche di tipo isobaro.
Per quanto già visto il calore fornito per la transizione di fase liquido-vapore è valutabile come segue

Q2 = n * ΔH_vap(T_{vaporizzazione})

dove

Q2 è il calore scambiato nel processo espresso in J
n è la quantità vaporizzata espressa in moli
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}) è l'entalpia molare di vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione espressa in J mol^-1

TERZO STADIO
Surriscaldamento del vapore in caldaia dalla temperatura di vaporizzazione alla temperatura di surriscaldamento

Il processo avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q3 = Cp_medio * n * ( T_{surriscaldamento} - T_{vaporizzazione} )

dove

Q3 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{vaporizzazione} e T_{surriscaldamento} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di vapore espressa in moli
T_{surriscaldamento} è la temperatura di surriscaldamento espressa in K
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K

Nell'esempio numerico che segue viene proposto il confronto fra ciclo Rankine con il vapore saturo e ciclo Rankine con il vapore surriscaldato su due motori di pari cilindrata e alle stesse pressioni operative. Per il dettaglio sui calcoli relativi al ciclo Rankine con vapore saturo si rimanda all'esempio riportato alla fine del post dedicato a quel ciclo.

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ESEMPIO NUMERICO

DATI IN INGRESSO
Fluido di lavoro: acqua

V_A: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)
V_B': 0,1718 dm³ = 0,0001718 m³
V_C: 1 dm³ = 0,001 m³
V_D: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)

Densità del liquido a T_{condensazione} e 1 bar = 958,63 kg m^-3 = 0,95863 g cm^-3
Pressione nel condensatore: P_condensatore = 100.000Pa = 1bar
Temperatura di condensazione: 99,6°C = 372,75K

Cp_{medio,liquido}: 77,4 J mol^-1 K^-1 = 4,297 J g^-1 K^-1

Pressione in caldaia: P_caldaia = 1.000.000Pa = 10bar
Temperatura di vaporizzazione: 179,9°C = 453,05K
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}): 34.278 J mol^-1 = 2.014,6 J g^-1

Temperatura di surriscaldamento: 370°C = 643,15K
Cp_medio,vapore: 40,11 J mol^-1 K^-1 = 2,228 J g^-1 K^-1
Densità vapore a T_{surriscaldamento} e 10bar (vapore surriscaldato): 3,4225 kg m^-3 = 3,4225 g dm^-3

DATI IN USCITA

Massa di vapore consumata per ciclo = m_{surriscaldato} =
= V_B' * densità vapore surriscaldato =
= 0,1718 dm³ * 3,4225 g dm^-3 =
= 0,588g

Calore di riscaldamento del liquido da T_{condensazione} a T_{vaporizzazione} = Q1 =
= massa * Cp_medio * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} ) =
= 0,588g * 4,297 J g^-1 K^-1 * ( 453,05K - 372,75K ) =
= 202,9J

Calore latente di vaporizzazione = Q2 =
= massa * ΔH_vap =
= 0,588g * 2014,6 J g^-1 =
= 1.184,6J

Calore per il surriscaldamento del vapore da T_{vaporizzazione} a T_{surriscaldamento} = Q3 =
= massa * Cp_medio * ( T_{surriscaldamento} - T_{vaporizzazione} ) =
= 0,588g * 2,228 J g^-1 K^-1 * ( 643,15K - 453,05K ) =
= 249,0J

Calore fornito = Q1 + Q2 + Q3 = 202,9J + 1.184,6J + 249,0J = 1.636,5J

L_AB' = P_caldaia * ( V_B - V_A ) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001718m³ - 0m³ ) =
= 171,8J

L_B'C = P_caldaia * V_B'^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B'^(1-gamma) ] / (1 - gamma) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001718 m³ )^9/7 * [ ( 0,001 m³ )^{( 1 - 9/7 )} - ( 0,0001718 m³ )^{( 1 - 9/7 )} ] / ( 1 - 9/7 ) =
= 237,8J

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C ) =
= 100.000Pa * ( 0m³ - 0,001m³ ) =
= -100,0J

L_DA = 0J

Lavoro motore =
= L_AB + L_BC + L_CD + L_DA =
= 171,8J + 237,8J + (-100J) + 0J =
= 309,6J

Volume di liquido da pompare = massa / densità del liquido =
= 0,588g / 0,95863 g dm^-3 =
= 0,564cm³ = 0,000000564 m³

Lavoro pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * Volume di liquido da pompare =
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * 0,000000564 m³ =
= 0,5J

Lavoro utile = Lavoro motore - Lavoro pompa = 309,6J - 0,5J = 309,1J

Rendimento = Lavoro utile / Calore fornito = 309,1J / 1.636,5J = 0,189 (18,9%)

Frazione condensata = 0%

TABELLA RIASSUNTIVA
PARAMETRO	Ciclo Rankine con vapore saturo a 10 bar	Ciclo Rankine con vapore surriscaldato a 370°C e 10bar
Cilindrata motore	1 dm3
Lavoro motore	264,3 J	309,6 J
Massa vapore consumato	0,677 g	0,588 g
Lavoro pompa	0,6 J	0,5 J
Lavoro utile	263,7 J	309,1 J
Riscaldamento del liquido = Q1	233,5 J	202,9 J
Vaporizzazione = Q2	1.363,5 J	1.184,6 J
Surriscaldamento vapore = Q3	-	249,0 J
Calore fornito	1.597,0 J	1.636,5 J
Rendimento	16,5%	18,8%
Frazione Condensata	12,8%	0%

OSSERVAZIONI

Rispetto al ciclo Rankine con vapore saturo, il Rankine con vapore surriscaldato risulta di potenza maggiore: a parità di cilindrata di motore il lavoro utile passa da 263,7J a 309,1J (+17%).
Oltre ad un aumento della potenza si osserva anche un contenuto aumento di rendimento: dal 16,5% del vapore saturo si arriva al 18,9% del vapore surriscaldato a 370°C.
Tenendo conto che a 370°C il rendimento di Carnot è pari al 42%, il rendimento offerto dal ciclo Rankine a vapore surriscaldato si discosta notevolmente dal massimo teorico ottenibile. In pratica, il surriscaldamento non permette di mantenersi in prossimità del rendimento di Carnot.
A livello tecnologico, non va inoltre dimenticato che l'operatività a temperature più elevate richiede materiali termicamente più resistenti (e quindi verosimilmente più costosi). Inoltre, per mantenere le perdite di calore allo stesso livello di una situazione operativa a minore temperatura, è necessaria una maggiore coibentazione dell'impianto (con ulteriore aggravio dei costi).

Il ciclo Rankine del vapore saturo

Quando nel ciclo isobaro-isocoro del vapore l'espansione isobara ad alta pressione viene seguita da un'espansione adiabatica che fa abbassare la pressione fino al valore presente nel condensatore si riesce a ricavare altro lavoro di volume e il rendimento aumenta.
Si segnala che un ciclo così definito non corrisponde esattamente al ciclo Rankine, ma nel post corrente verrà comunque identificato con questo nome per l'estrema somiglianza con esso.
L'importanza del ciclo Rankine deriva dal fatto che esso stabilisce il massimo rendimento termomeccanico per i cicli realizzabili con un sistema liquido-vapore.

Nell'animazione proposta di seguito è schematizzato un motore a vapore che funziona con il ciclo Rankine.

Sulla destra ci sono il condensatore, la pompa e la caldaia. Sulla sinistra c'è il motore di cui sono stati rappresentati il cilindro, il pistone e due valvole pilotate.
La pompa trasferisce il liquido dal condensatore alla caldaia.
In caldaia viene fornito il calore per la vaporizzazione ed eventualmente per il surriscaldamento del vapore.
Per quanto già visto, la pressione in caldaia è determinata dalla temperatura del liquido.
Quando il pistone è completamente a destra, la valvola inferiore (valvola di scarico) si chiude mentre la valvola superiore (valvola di immissione) si apre. Il vapore in pressione entra nel motore e spinge il pistone verso sinistra.
La pressione in caldaia durante la fase di espansione resta costante se viene fornito calore sufficiente per generare la quantità di vapore che entra nel motore.
Quando è avvenuta la prima parte di corsa, la valvola di immissione si chiude e il vapore all'interno del motore inizia l'espansione adiabatica.
Al punto morto superiore (pistone completamente a sinistra), la pressione all'interno del motore è diminuita fino ad eguagliare la pressione all'interno del condensatore e si apre la valvola di scarico.
Il pistone si muove verso destra e scarica il vapore. All'interno del condensatore il vapore cambia di fase e diventa liquido. La pressione all'interno del radiatore freddo è determinata dalla temperatura della parete più fredda del condensatore. Se la dissipazione termica è sufficiente a mantenere costante la temperatura della parete più fredda, la pressione all'interno del condensatore non varia.
Al punto morto inferiore (pistone completamente a destra), la valvola di scarico si chiude, poi si apre la valvola di immissione e il vapore ad alta pressione inizia di nuovo ad entrare in camera.
Il ciclo si completa con il pompaggio in caldaia del liquido che si forma nel condensatore.

Nello schema animato proposto si individuano quattro elementi distinti ciascuno con la propria funzione:
1) la caldaia è lo scambiatore caldo
2) il motore è la parte attiva che converte l'energia potenziale del vapore generato in caldaia in lavoro
3) il condensatore è lo scambiatore freddo
4) la pompa è la parte passiva che ripristina il liquido in caldaia consumando lavoro per incrementare l'energia potenziale del liquido

Il lavoro prodotto dal motore corrisponde all'area del ciclo cioè alla zona di colore giallo nell'immagine che segue. Il ciclo rappresentato è quello relativo all'esempio numerico proposto alla fine del post.

Si noti che in figura è rappresentato il caso molto particolare (e in pratica mai realizzabile) in cui V_A e V_D sono nulli.

Per la valutazione dell'area è conveniente suddividere il calcolo in quattro blocchi: area sottesa dal tratto AB, area sottesa dal tratto BC, area sottesa dal tratto CD e area sottesa dal tratto DA.
Il primo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione isobara, il secondo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione adiabatica, il terzo blocco è il lavoro di volume durante la fase di scarico, il quarto blocco è nullo perchè non c'è variazione di volume.
Il lavoro del motore sarà poi dato dalla somma dei quattro contributi

L_motore = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA

in cui il termine L_CD ha segno negativo e il termine L_DA è nullo.
Per il primo ed il terzo contributo le formule da applicare sono le seguenti

L_AB = P_caldaia * ( V_B - V_A )

dove

L_AB è il lavoro di volume nel tratto AB espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B è il volume nel punto B espresso in m³
V_A è il volume nel punto A espresso in m³

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C )

dove

L_CD è il lavoro di volume nel tratto CD espresso in J
P_condensatore è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_D è il volume nel punto D espresso in m³
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Con l'area sottesa dal tratto di curva di espansione adiabatica (L_BC) il calcolo è più complesso ed è necessario conoscere la curva di trasformazione.
Abbiamo già visto il metodo generale per risolvere il problema e nel caso dell'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar la curva di trasformazione può essere descritta con buona approssimazione dall'equazione P*V^gamma=costante con gamma=1,138.
Conoscendo il valore di gamma per l'espansione adiabatica del vapore, l'equazione che permette il calcolo dell'area è la seguente:

L_BC = P_caldaia * V_B^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B^(1-gamma) ] / ( 1 - gamma )

dove

L_BC è il lavoro di volume nel tratto BC espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B è il volume nel punto B espresso in m³
gamma è un numero (che viene ottenuto dall'interpolazione della curva di espansione reale con un'equazione del tipo P*V^gamma=costante)
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Per quanto riguarda il lavoro consumato per il pompaggio il calcolo è il seguente

L_pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * V_liquido

dove

L_pompa è il lavoro utilizzato per ciclo espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
P_condensatore è la pressione nel condensatore espressa in Pa
V_liquido è il volume del liquido pompato espresso in m³

Il lavoro utile per ciclo è dato dalla seguente equazione

L = L_motore - L_pompa

Per valutare il calore fornito al sistema è utile ed istruttivo separare il calcolo in due stadi.

PRIMO STADIO
Riscaldamento del liquido in caldaia dalla temperatura di condensazione alla temperatura di ebollizione

Il processo avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q1 = Cp_medio * n * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} )

dove

Q1 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{condensazione} e T_{vaporizzazione} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di liquido espressa in moli
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K
T_{condensazione} è la temperatura di condensazione espressa in K

SECONDO STADIO
Vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione

Questo è un processo di tipo isotermo e contemporaneamente anche di tipo isobaro.
Per quanto già visto il calore fornito per la transizione di fase liquido-vapore è valutabile come segue

Q2 = n * ΔH_vap(T_{vaporizzazione})

dove

Q2 è il calore scambiato nel processo espresso in J
n è la quantità vaporizzata espressa in moli
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}) è l'entalpia molare di vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione espressa in J mol^-1

Nell'esempio numerico che segue viene proposto il confronto fra ciclo Rankine e ciclo isobaro-isocoro su due motori di pari cilindrata e alle stesse temperature e pressioni operative. Per il dettaglio sui calcoli relativi al ciclo isobaro-isocoro si rimanda all'esempio riportato alla fine del post dedicato a quel ciclo.

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ESEMPIO NUMERICO

DATI IN INGRESSO
Fluido di lavoro: acqua

V_A: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)
V_B: 0,1315 dm³ = 0,0001315 m³
V_C: 1 dm³ = 0,001 m³
V_D: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)

Densità del liquido a T_{condensazione} e 1 bar = 958,63 kg m^-3 = 0,95863 g cm^-3
Pressione nel condensatore: P_condensatore = 100.000Pa = 1bar
Temperatura di condensazione: 99,6°C = 372,75K

Cp_{medio,liquido}: 77,4 J mol^-1 K^-1 = 4,297 J g^-1 K^-1

Pressione in caldaia: P_caldaia = 1.000.000Pa = 10bar
Temperatura di vaporizzazione: 179,9°C = 453,05K
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}): 34.278 J mol^-1 = 2.014,6 J g^-1
Densità vapore a T_{vaporizzazione} e 10bar (vapore saturo): 5,1451 kg m^-3 = 5,1451 g dm^-3

DATI IN USCITA

Massa di vapore consumata per ciclo = m_saturo =
= V_B * densità vapore saturo =
= 0,1315 dm³ * 5,1451 g dm^-3 =
= 0,677g

Calore di riscaldamento del liquido da T_{condensazione} a T_{vaporizzazione} = Q1 =
= massa * Cp_medio * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} ) =
= 0,677g * 4,297 J g^-1 K^-1 * ( 453,05K - 372,75K ) =
= 233,5J

Calore latente di vaporizzazione = Q2 =
= massa * ΔH_vap =
= 0,677g * 2014,6 J g^-1 =
= 1.363,5J

Calore fornito = Q1 + Q2 = 233,5J + 1.363,5J = 1.597,0J

L_AB = P_caldaia * ( V_B - V_A ) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001315m³ - 0m³ ) =
= 131,5J

L_BC = P_caldaia * V_B^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B^(1-gamma) ] / (1 - gamma) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001315 m³ )^1,138 * [ ( 0,001 m³ )^{( 1 - 1,138 )} - ( 0,0001315 m³ )^{( 1 - 1,138 )} ] / ( 1 - 1,138 ) =
= 232,7J

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C ) =
= 100.000Pa * ( 0m³ - 0,001m³ ) =
= -100,0J

L_DA = 0J

Lavoro motore =
= L_AB + L_BC + L_CD + L_DA =
= 131,5J + 232,7J + (-100J) + 0J =
= 264,3J

Volume di liquido da pompare = massa / densità del liquido =
= 0,677g / 0,95863 g dm^-3 =
= 0,706cm³ = 0,000000706 m³

Lavoro pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * Volume di liquido da pompare =
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * 0,000000706 m³ =
= 0,6J

Lavoro utile = Lavoro motore - Lavoro pompa = 264,3J - 0,6J = 263,7J

Rendimento = Lavoro utile / Calore fornito = 263,7J / 1.597,0J = 0,165 (16,5%)

Frazione condensata = 12,8% (per il calcolo di questo valore si rimanda al post intitolato "L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 02")

TABELLA RIASSUNTIVA
PARAMETRO	Ciclo Rankine	Ciclo isobaro-isocoro
Cilindrata motore	1 dm3
Lavoro motore	264,3 J	900,0 J
Massa vapore consumato	0,677 g	5,5 g
Lavoro pompa	0,6 J	4,8 J
Lavoro utile	263,7 J	895,2 J
Riscaldamento del liquido = Q1	233,5 J	1.775,3 J
Vaporizzazione = Q2	1.363,5 J	10.365,3 J
Calore fornito	1.597,0 J	12.140,6 J
Rendimento	16,5%	7,4%
Frazione Condensata	12,8%	0%

OSSERVAZIONI

Rispetto al ciclo isobaro-isocoro, il Rankine risulta depotenziato: a parità di cilindrata di motore il lavoro utile scende da 895,2J a 263,7J.
Ma se da un lato la potenza viene penalizzata, dall'altro il rendimento teorico del ciclo Rankine si alza al 16,5% contro il 7,4% del ciclo isobaro-isocoro. Tale valore apparentemente modesto, in realtà è estremamente vicino a quello massimo teorico stabilito dal rendimento di Carnot che alle temperature operative considerate nell'esempio risulta essere del 17,7%.

L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 02

Nel post precedente è stato presentato e discusso il metodo per risolvere numericamente il problema dell'espansione adiabatica del vapore saturo.
In questo post verrà applicata la metodologia suddividendo l'espansione in un numero crescente di step (1, 2, 3, 9 e 20). Vedremo che all'aumentare delle suddivisioni la frazione condensata e il lavoro di volume tendono progressivamente a diminuire convergendo comunque rapidamente ad un valore asintotico.
Per snellire la trattazione vengono mostrati direttamente i grafici che rappresentano l'espansione nel piano P-V e delle tabelle che raccolgono i valori numerici delle grandezze fisiche coinvolte.

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 1 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	24,8%
Volume vapore	0,19436 m3	1,27451 m3
Volume liquido	0 m3	0,00026 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,27477 m3
Lavoro di volume	594,2 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 2 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	16,1%
Volume vapore	0,19436 m3	1,42152 m3
Volume liquido	0 m3	0,00017 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,42169 m3
Lavoro di volume	413,0 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 3 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	14,5%
Volume vapore	0,19436 m3	1,44838 m3
Volume liquido	0 m3	0,00015 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,44853 m3
Lavoro di volume	379,9 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 9 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	13,0%
Volume vapore	0,19436 m3	1,47407 m3
Volume liquido	0 m3	0,00013 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,47420 m3
Lavoro di volume	348,2 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 20 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	12,8%
Volume vapore	0,19436 m3	1,47665 m3
Volume liquido	0 m3	0,00013 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,47678 m3
Lavoro di volume	345,1 kJ

Le immagini e le tabelle mostrano che nel passaggio da 9 a 20 step le variazioni sull'andamento sono estremamente limitate. Il lavoro di volume varia da 348,2kJ a 345,1kJ (-0,9%) e la frazione condensata si abbassa dal 13,0% al 12,8%.
Per questo motivo i 20 step possono essere considerati sufficientemente precisi da ritenersi rappresentativi del processo.
A questo punto il passo successivo è l'interpolazione dei punti individuati nel grafico a 20 step con una curva. Trattandosi di un'espansione adiabatica, l'equazione scelta per l'interpolazione ha la forma P*V^gamma=costante.

Il miglior valore di gamma per l'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar risulta essere pari a 1,138.

Nell'immagine che segue sono mostrati i punti del grafico a 20 step e l'interpolata.

Abbiamo già visto che la formula che permette di calcolare l'area sottesa da una curva della forma P=costante/V^gamma è la seguente:

Per l'esempio proposto il lavoro di volume risulta uguale a 343,8kJ (in perfetto accordo con quello riportato nell'ultima tabella che è pari a 345,1kJ).
In questo post è stato dimostrato che l'espansione abiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar nel piano P-V può essere rappresentata con ottima approssimazione da una curva di equazione P*V^gamma=costante con gamma=1,138.
Si segnala che tale interpolazione è valida solo per un'espansione che inizia a 10bar e termina a 1 bar ed estenderla a trasformazioni con pressione inziale o finale diverse può portare a errori di valutazione.

L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 01

Il primo post dedicato al mondo dei motori a transizione di fase liquido-vapore è stato quello relativo alla tensione di vapore dell'acqua.
Il grafico P-T mostrato in quel frangente può essere utilizzato per stabilire se il vapore acqueo si trova nel suo stato di saturazione: il vapore è saturo quando la sua temperatura e la sua pressione sono quelle di un punto appartenente alla curva della tensione di vapore in funzione della temperatura.
Per comodità viene riportato di seguito il grafico citato.

Per quanto già visto, l'espansione adiabatica di un gas ideale provoca un abbassamento della sua pressione e della sua temperatura.
Il vapore saturo ha un comportamento similare in quanto pressione e temperatura diminuiscono nell'espansione adiabatica, ma presenta una differenza fondamentale: al processo di espansione adiabatica del vapore saturo si accompagna una condensazione parziale del vapore.
Questo fenomeno libera calore e fa in modo che la pressione e la temperatura diminuiscano meno rapidamente rispetto ad un'analoga espansione di un gas.
In questo post viene presentato un approccio numerico/sperimentale che permette di stabilire l'andamento della pressione e della frazione condensata in funzione del grado di espansione del vapore.

STATO INIZIALE
Lo stato di partenza da cui comincia l'espansione è noto ed è costituito da una certa quantità di vapore saturo a pressione e temperatura definiti (P_iniziale e T_iniziale).
Le equazioni riportate di seguito sono valide per il caso più generale in cui siano presenti entrambe le fasi (liquido e vapore) e vengono poi riportate al caso specifico in cui la frazione condensata sia assente nello stato iniziale.

m = m_{vapore saturo iniziale} + m_{liquido iniziale}
m_{vapore saturo iniziale} = ( 1 - Frazione condensata_iniziale ) * m = ( 1 - FC_in ) * m
m_{liquido iniziale} = Frazione condensata_iniziale * m = FC_in * m

H_{vapore saturo} @P_iniziale(T_iniziale) = H_{vap sat in} = TABULATO
ρ_{vapore saturo} @P_iniziale(T_iniziale) = ρ_{vap sat in} = TABULATO
H_liquido @P_iniziale(T_iniziale) = H_{liq in} = TABULATO
ρ_liquido @P_iniziale(T_iniziale) = ρ_{liq in} = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale risultano essere

H_in = H_{vap sat in} * m_{vapore saturo iniziale} + H_{liq in} * m_{liquido iniziale} =
= H_{vap sat in} * m * ( 1 - FC_in ) + H_{liq in} * m * FC_in

U_in = H_in + P_in * V_in =
= H_in + P_in * ( m_{vapore saturo iniziale} / ρ_{vap sat in} + m_{liquido iniziale} / ρ_{liq in} ) =
= H_in + P_in * [ ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat in} + FC_in * m / ρ_{liq in} ]

Nel caso in cui lo stato iniziale sia costituito solo da vapore, la frazione condensata è nulla e le equazioni generali riportate appena incontrate si semplificano in

H_in = H_{vap sat in} * m

U_in = H_in + P_in * V_in = H_in + P * m / ρ_{vap sat in}

STATO FINALE
Per effetto del processo di espansione adiabatica una parte del vapore si condensa. Il liquido formato si va ad aggiungere all'eventuale frazione condensata già presente nello stato iniziale. Lo stato finale può quindi essere rappresentato come segue.

m = m_{vapore saturo iniziale} + m_{liquido finale}
m_{vapore saturo finale} = ( 1 - Frazione condensata_finale ) * m = ( 1 - FC_fin ) * m
m_{liquido finale} = Frazione condensata_finale * m = FC_fin * m

H_{vapore saturo} @P_finale(T_finale) = H_{vap sat fin} = TABULATO
ρ_{vapore saturo} @P_finale(T_finale) = ρ_{vap sat fin} = TABULATO
H_liquido @P_finale(T_finale) = H_{liq fin} = TABULATO
ρ_liquido @P_finale(T_finale) = ρ_{liq fin} = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato finale diventano

H_fin = H_{vap sat fin} * m * ( 1 - FC_fin) + H_{liq fin} * m * FC_fin

U_fin = H_fin + P_fin * V_fin =
= H_fin + P_fin * ( m_{vap sat fin} / ρ_{vap sat fin} + m_{liq fin} / ρ_{liq fin} ) =
= H_fin + P_fin * [ ( 1 - FC_finale ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} ]

Poichè in un'espansione adiabatica vale la relazione

L = -ΔU = - ( U_fin - U_in ) = U_in - U_fin

conoscendo il valore del lavoro diventa possibile determinare l'ammontare della frazione condensata.

Dal punto di vista matematico è conveniente adottare l'approssimazione lineare che consiste nell'assumere la curva di trasformazione sul piano P-V uguale ad un segmento che congiunge lo stato iniziale a quello finale. In questo caso il lavoro di volume è l'area di un trapezio rettangolo in cui l'altezza è data dalla variazione di volume, la base maggiore dalla pressione iniziale e la base minore dalla pressione finale

L = ( P_in + P_fin ) * ( V_fin - V_in ) / 2 =
= ( P_in + P_fin ) * [ ( m_{vap sat fin} / ρ_{vap sat fin} + m_{liq fin} / ρ_{liq fin} ) - ( m_{vap sat in} / ρ_{vap sat in} + m_{liq in} / ρ_{liq in} ) ] / 2 =
= ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat in} + FC_in * m / ρ_{liq in} ] / 2

Unendo quest'ultima equazione alle precedenti e con alcuni passaggi algebrici è possibile ottenere l'equazione per calcolare la frazione condensata

Di seguito viene proposto un esempio in cui vengono applicate le equazioni discusse.

ESEMPIO NUMERICO

STATO INIZIALE: 1kg di vapore saturo a 10bar (179,9°C)

m = m_vapore = 1kg
m_liquido = 0kg (la fase liquida è assente)
FC_in = 0

L'entalpia specifica e la densità tabulati risultano essere

H_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} = 2.777,1 kJ kg^-1
ρ_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} = 5,1451 kg m^-3

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale diventano

H_in = H_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} * m =
= 2.777,1 kJ kg^-1 * 1kg =
= 2.777,1kJ

U_in = H_in - P_in * m / ρ_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} =
2.777,1 kJ kg^-1 * 1kg - 1.000kPa * 1kg / ( 5,1451 kg m^-3 ) =
= 2.777,1kJ - 194,4kJ =
= 2.582,7kJ

STATO FINALE: Vapore saturo a 1 bar (99,6°C) e liquido a 1 bar e 99,6°C per una massa complessiva pari a 1kg

Le entalpie specifiche e le densità tabulate risultano essere

H_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} = 2.674,9 kJ kg^-1
ρ_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} = 0,5904 kg m^-3

H_{liquido, @1bar e 99,6°C} = 417,50 kJ kg^-1
ρ_{liquido, @1bar e 99,6°C} = 958,63 kg m^-3

Applicando l'equazione riportata sopra per il calcolo della frazione condensata si ottiene

Frazione condensata finale = FC_fin = 0,2476 (24,76%)

da cui a cascata è possibile calcolare tutti gli altri valori

H_fin = H_{vap saturo, @1bar(99,6°C)} * ( 1 - Frazione condensata ) * m + H_{liquido, @1bar e 99,6°C} * Frazione condensata * m =
= 2.674,9 kJ kg^-1 * ( 1 - 0,2476 ) * 1kg + 417,50 kJ kg^-1 * 0,2476 * 1kg =
= 2.116,0kJ

U_fin = H_fin - P * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} + FC_finale * m / ρ_{vapore saturo, @1bar e 99,6°C} ] =
= 2.116,0 kJ - 100kPa * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m^-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m^-3 ) ] =
= 1.988,5kJ

L = ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} ] / 2

Poichè lo stato iniziale è costituito solo da vapore, la frazione condensata iniziale è nulla e l'equazione generale sopra riportata si semplifica in

L = ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - m / ρ_{vap sat fin} ] / 2 =
= ( 1.000kPa + 100kPa ) * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m^-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m^-3 ) - 1kg / ( 5,1451 kg m^-3 ) ] / 2 =
= 594,2kJ

Il lavoro risulta ovviamente identico alla variazione di energia interna

L = -ΔU = - ( U_fin - U_in ) = U_in - U_fin =
= 2.582,7kJ - 1.988,5kJ = 594,2kJ

Il diagramma P-V che segue rappresenta i punti relativi agli stati iniziale e finale della trasformazione e l'approssimazione lineare adottata per il calcolo del lavoro di volume. Il valore di quest'ultimo corrisponde a quello dell'area di colore verde.

Si segnala che l'esempio numerico proposto ha una funzione dimostrativa/didattica della metodologia ma non deve essere considerato la soluzione definitiva. In tal senso si anticipa che il metodo proposto è tanto più preciso quanto minore è la differenza di pressione fra lo stato iniziale e quello finale e quindi per migliorare l'attendibilità dei risultati è necessario suddividere l'espansione in più passaggi (step).
Nel prossimo post scopriremo che valutare un'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar in un solo step come fatto nell'esempio genera una stima errata per eccesso sia sul lavoro (+73%) che sulla frazione condensata (+93%) e che per ottenere un risultato più realistico è indispensabile suddividere l'espansione in più step.

Entalpia ed energia interna

Nei post precedenti è stato mostrato come valutare il calore scambiato sia nei processi di riscaldamento a pressione costante in assenza di transizioni di fase (per maggiori informazioni: "Gli scambi termici dell'acqua a pressione costante") sia nel processo di vaporizzazione (per maggiori informazioni: "Gli scambi termici nella vaporizzazione dell'acqua "). I calcoli coinvolti sono articolati, ma non complessi.
Una funzione di stato che permette di gestire e ricavare elegantemente le stesse informazioni è l'entalpia.
Il calore scambiato e la variazione di entalpia per una trasformazione in un sistema liquido-vapore sono legati fra loro in questo modo

Q = ΔH = H_finale - H_iniziale

dove

Q è il calore scambiato espresso in J
ΔH è la variazione di entalpia espressa in J
H_finale è l'entalpia dello stato finale espressa in J
H_iniziale è l'entalpia dello stato iniziale espressa in J

Come per altre grandezze fisiche, anche i valori di entalpia per i vari stati dell'acqua liquida e vapore sono facilmente reperibili in rete e in letteratura.

Un esempio aiuta a chiarire la potenzialità e la rapidità di calcolo offerti dall'utilizzo dell'entalpia.

Per determinare il calore scambiato per trasformare 1kg di acqua liquida a 1bar e 99,6°C in 1kg di vapore saturo alla pressione di 10bar (179,9°C) basta conoscere il valore dell'entalpia dello stato finale (1kg di vapore saturo a 10bar), quello dell'entalpia dello stato iniziale (1kg di acqua liquida a 1 bar e 99,6°C) e farne la differenza.

H_{liquido @1bar e 99,6°C} = 417,5 kJ kg^-1
H_{vapore saturo @10bar (179,9°C)} = 2.777,1 kJ kg^-1

H_iniziale = H_{liquido @1bar e 99,6°C} * m = 417,5 kJ kg^-1 * 1kg = 417,5kJ
H_finale = H_{vapore saturo @10bar (179,9°C)} * m = 2.777,1 kJ kg^-1 * 1kg = 2.777,1kJ

Q = ΔH = H_finale - H_iniziale = 2.777,1kJ - 417,5kJ = 2.359,6kJ

L'energia interna, simbolo U, è un'altra funzione di stato ed è legata all'entalpia dalla seguente equazione

U = H - P * V

dove

U è l'energia interna espressa in J
H è l'entalpia espressa in J
P è la pressione espressa in Pa
V è il volume espresso in m³

Tale funzione risulta di estrema utilità nella trattazione delle espansioni adiabatiche in quanto il lavoro di volume è vincolato alla variazione di energia interna dalla seguente relazione

L = -ΔU = - ( U_finale - U_iniziale ) = U_iniziale - U_finale

Mentre la trasformazione adiabatica dei gas ideali è rappresentabile da equazioni algebriche definite e il lavoro associato alla trasformazione è calcolabile in modo esatto (per ulteriori informazioni si rimanda al post dedicato alla trasformazione adiabatica), nel caso del vapore la situazione è notevolmente più complessa.
L'espansione adiabatica del vapore saturo è un argomento poco conosciuto, ma di notevole interesse sia dal punto di vista teorico che dal punto di vista applicativo.
Nel prossimo post vedremo che per riuscire a determinare cosa accade durante l'espansione adiabatica è necessario adottare un approccio numerico. L'uso delle funzioni di stato entalpia ed energia interna introdotte in questo post rende i calcoli più snelli e lineari.