L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 01

Il primo post dedicato al mondo dei motori a transizione di fase liquido-vapore è stato quello relativo alla tensione di vapore dell'acqua.
Il grafico P-T mostrato in quel frangente può essere utilizzato per stabilire se il vapore acqueo si trova nel suo stato di saturazione: il vapore è saturo quando la sua temperatura e la sua pressione sono quelle di un punto appartenente alla curva della tensione di vapore in funzione della temperatura.
Per comodità viene riportato di seguito il grafico citato.

Per quanto già visto, l'espansione adiabatica di un gas ideale provoca un abbassamento della sua pressione e della sua temperatura.
Il vapore saturo ha un comportamento similare in quanto pressione e temperatura diminuiscono nell'espansione adiabatica, ma presenta una differenza fondamentale: al processo di espansione adiabatica del vapore saturo si accompagna una condensazione parziale del vapore.
Questo fenomeno libera calore e fa in modo che la pressione e la temperatura diminuiscano meno rapidamente rispetto ad un'analoga espansione di un gas.
In questo post viene presentato un approccio numerico/sperimentale che permette di stabilire l'andamento della pressione e della frazione condensata in funzione del grado di espansione del vapore.

STATO INIZIALE
Lo stato di partenza da cui comincia l'espansione è noto ed è costituito da una certa quantità di vapore saturo a pressione e temperatura definiti (P_iniziale e T_iniziale).
Le equazioni riportate di seguito sono valide per il caso più generale in cui siano presenti entrambe le fasi (liquido e vapore) e vengono poi riportate al caso specifico in cui la frazione condensata sia assente nello stato iniziale.

m = m_{vapore saturo iniziale} + m_{liquido iniziale}
m_{vapore saturo iniziale} = ( 1 - Frazione condensata_iniziale ) * m = ( 1 - FC_in ) * m
m_{liquido iniziale} = Frazione condensata_iniziale * m = FC_in * m

H_{vapore saturo} @P_iniziale(T_iniziale) = H_{vap sat in} = TABULATO
ρ_{vapore saturo} @P_iniziale(T_iniziale) = ρ_{vap sat in} = TABULATO
H_liquido @P_iniziale(T_iniziale) = H_{liq in} = TABULATO
ρ_liquido @P_iniziale(T_iniziale) = ρ_{liq in} = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale risultano essere

H_in = H_{vap sat in} * m_{vapore saturo iniziale} + H_{liq in} * m_{liquido iniziale} =
= H_{vap sat in} * m * ( 1 - FC_in ) + H_{liq in} * m * FC_in

U_in = H_in + P_in * V_in =
= H_in + P_in * ( m_{vapore saturo iniziale} / ρ_{vap sat in} + m_{liquido iniziale} / ρ_{liq in} ) =
= H_in + P_in * [ ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat in} + FC_in * m / ρ_{liq in} ]

Nel caso in cui lo stato iniziale sia costituito solo da vapore, la frazione condensata è nulla e le equazioni generali riportate appena incontrate si semplificano in

H_in = H_{vap sat in} * m

U_in = H_in + P_in * V_in = H_in + P * m / ρ_{vap sat in}

STATO FINALE
Per effetto del processo di espansione adiabatica una parte del vapore si condensa. Il liquido formato si va ad aggiungere all'eventuale frazione condensata già presente nello stato iniziale. Lo stato finale può quindi essere rappresentato come segue.

m = m_{vapore saturo iniziale} + m_{liquido finale}
m_{vapore saturo finale} = ( 1 - Frazione condensata_finale ) * m = ( 1 - FC_fin ) * m
m_{liquido finale} = Frazione condensata_finale * m = FC_fin * m

H_{vapore saturo} @P_finale(T_finale) = H_{vap sat fin} = TABULATO
ρ_{vapore saturo} @P_finale(T_finale) = ρ_{vap sat fin} = TABULATO
H_liquido @P_finale(T_finale) = H_{liq fin} = TABULATO
ρ_liquido @P_finale(T_finale) = ρ_{liq fin} = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato finale diventano

H_fin = H_{vap sat fin} * m * ( 1 - FC_fin) + H_{liq fin} * m * FC_fin

U_fin = H_fin + P_fin * V_fin =
= H_fin + P_fin * ( m_{vap sat fin} / ρ_{vap sat fin} + m_{liq fin} / ρ_{liq fin} ) =
= H_fin + P_fin * [ ( 1 - FC_finale ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} ]

Poichè in un'espansione adiabatica vale la relazione

L = -ΔU = - ( U_fin - U_in ) = U_in - U_fin

conoscendo il valore del lavoro diventa possibile determinare l'ammontare della frazione condensata.

Dal punto di vista matematico è conveniente adottare l'approssimazione lineare che consiste nell'assumere la curva di trasformazione sul piano P-V uguale ad un segmento che congiunge lo stato iniziale a quello finale. In questo caso il lavoro di volume è l'area di un trapezio rettangolo in cui l'altezza è data dalla variazione di volume, la base maggiore dalla pressione iniziale e la base minore dalla pressione finale

L = ( P_in + P_fin ) * ( V_fin - V_in ) / 2 =
= ( P_in + P_fin ) * [ ( m_{vap sat fin} / ρ_{vap sat fin} + m_{liq fin} / ρ_{liq fin} ) - ( m_{vap sat in} / ρ_{vap sat in} + m_{liq in} / ρ_{liq in} ) ] / 2 =
= ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat in} + FC_in * m / ρ_{liq in} ] / 2

Unendo quest'ultima equazione alle precedenti e con alcuni passaggi algebrici è possibile ottenere l'equazione per calcolare la frazione condensata

Di seguito viene proposto un esempio in cui vengono applicate le equazioni discusse.

ESEMPIO NUMERICO

STATO INIZIALE: 1kg di vapore saturo a 10bar (179,9°C)

m = m_vapore = 1kg
m_liquido = 0kg (la fase liquida è assente)
FC_in = 0

L'entalpia specifica e la densità tabulati risultano essere

H_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} = 2.777,1 kJ kg^-1
ρ_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} = 5,1451 kg m^-3

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale diventano

H_in = H_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} * m =
= 2.777,1 kJ kg^-1 * 1kg =
= 2.777,1kJ

U_in = H_in - P_in * m / ρ_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} =
2.777,1 kJ kg^-1 * 1kg - 1.000kPa * 1kg / ( 5,1451 kg m^-3 ) =
= 2.777,1kJ - 194,4kJ =
= 2.582,7kJ

STATO FINALE: Vapore saturo a 1 bar (99,6°C) e liquido a 1 bar e 99,6°C per una massa complessiva pari a 1kg

Le entalpie specifiche e le densità tabulate risultano essere

H_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} = 2.674,9 kJ kg^-1
ρ_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} = 0,5904 kg m^-3

H_{liquido, @1bar e 99,6°C} = 417,50 kJ kg^-1
ρ_{liquido, @1bar e 99,6°C} = 958,63 kg m^-3

Applicando l'equazione riportata sopra per il calcolo della frazione condensata si ottiene

Frazione condensata finale = FC_fin = 0,2476 (24,76%)

da cui a cascata è possibile calcolare tutti gli altri valori

H_fin = H_{vap saturo, @1bar(99,6°C)} * ( 1 - Frazione condensata ) * m + H_{liquido, @1bar e 99,6°C} * Frazione condensata * m =
= 2.674,9 kJ kg^-1 * ( 1 - 0,2476 ) * 1kg + 417,50 kJ kg^-1 * 0,2476 * 1kg =
= 2.116,0kJ

U_fin = H_fin - P * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} + FC_finale * m / ρ_{vapore saturo, @1bar e 99,6°C} ] =
= 2.116,0 kJ - 100kPa * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m^-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m^-3 ) ] =
= 1.988,5kJ

L = ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} ] / 2

Poichè lo stato iniziale è costituito solo da vapore, la frazione condensata iniziale è nulla e l'equazione generale sopra riportata si semplifica in

L = ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - m / ρ_{vap sat fin} ] / 2 =
= ( 1.000kPa + 100kPa ) * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m^-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m^-3 ) - 1kg / ( 5,1451 kg m^-3 ) ] / 2 =
= 594,2kJ

Il lavoro risulta ovviamente identico alla variazione di energia interna

L = -ΔU = - ( U_fin - U_in ) = U_in - U_fin =
= 2.582,7kJ - 1.988,5kJ = 594,2kJ

Il diagramma P-V che segue rappresenta i punti relativi agli stati iniziale e finale della trasformazione e l'approssimazione lineare adottata per il calcolo del lavoro di volume. Il valore di quest'ultimo corrisponde a quello dell'area di colore verde.

Si segnala che l'esempio numerico proposto ha una funzione dimostrativa/didattica della metodologia ma non deve essere considerato la soluzione definitiva. In tal senso si anticipa che il metodo proposto è tanto più preciso quanto minore è la differenza di pressione fra lo stato iniziale e quello finale e quindi per migliorare l'attendibilità dei risultati è necessario suddividere l'espansione in più passaggi (step).
Nel prossimo post scopriremo che valutare un'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar in un solo step come fatto nell'esempio genera una stima errata per eccesso sia sul lavoro (+73%) che sulla frazione condensata (+93%) e che per ottenere un risultato più realistico è indispensabile suddividere l'espansione in più step.