Distribuzione lineare infinita di carica
Una distribuzione lineare infinita di carica è costituita da un filo infinito su cui si trovano delle cariche elettriche statiche distribuite uniformemente sulla lunghezza. La sua densità lineare di carica elettrica λ1, costante su tutta la lunghezza della distribuzione, è pari al rapporto tra la carica Q1 presente in una porzione di filo e la lunghezza l1 di tale porzione.
Il vettore campo elettrico in un punto che si trova esternamente alla distribuzione di carica alla distanza r da essa ha direzione perpendicolare al filo e verso dato dal segno della carica (uscente per la carica positiva, entrante per la carica negativa) e il suo modulo E in quel punto è dato dalla formula
E = λ1/2·π·ε0·r
dove ε0 è la costante dielettrica del vuoto.
Se una seconda distribuzione lineare infinita di carica compare alla distanza r dalla prima, la forza elettrica per unità di lunghezza è pari a
Fe = λ1·λ2/(2·π·ε0·r)
Questa forza è repulsiva per cariche dello stesso segno, attrattiva per cariche di segno opposto.
Correnti su fili rettilinei infiniti
Quando una corrente i1 e una corrente i2 percorrono due fili rettilinei infiniti paralleli alla distanza r si genera una forza attrattiva quando le correnti hanno lo stesso verso e repulsiva quando hanno versi opposti e il suo modulo per unità di lunghezza del filo è dato dalla seguente relazione (legge di Biot-Savart)
Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r)
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto.
Poiché l’intensità di corrente è definita come la quantità di carica Q che attraversa una sezione trasversale del filo nell’unità di tempo
i = Q/t
Assumendo che la distribuzione delle cariche in moto sia omogenea lungo il filo conduttore, e allora si può parlare di densità lineare di carica λ, la quantità di carica che attraversa la sezione trasversale del filo nell’unità di tempo ovvero la corrente è data dal prodotto della densità lineare di carica per la velocità media v delle cariche
i = Q/t = λ·v
L’equazione della forza può essere pertanto essere riscritta come segue
Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r) = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)
Paradosso elettromagnetico
Riprendendo il caso delle due distribuzioni lineari infinite di carica, se le cariche invece di essere statiche si spostano nella stessa direzione della loro distribuzione, quindi quando la loro velocità v è diversa da zero, oltre alla forza Fe compare anche la forza Fm. Prendendo in considerazione il caso in cui le cariche abbiano lo stesso segno e si stiano spostando nello stesso verso la prima componente è di tipo repulsivo, mentre la seconda è di tipo attrattivo.
Il modulo della forza risultante risulta perciò pari al valore di Fe diminuito della componente Fm e pertanto inferiore a quello in cui le cariche erano immobili.
A mano a mano che la velocità aumenta, mentre Fe non varia in quanto indipendente dalla velocità, Fm continua ad aumentare. Quando la velocità v assume il valore della velocità della luce, il valore di Fm è identico a quello di Fe in quanto vale l’uguaglianza c²=1/ε0·µ0 e quindi µ0·c²=1/ε0
Fm = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r) = µ0·λ1·c·λ2·c/(2·π·r) = µ0·c²·λ1· λ2 /(2·π·r) = λ1·λ2/(2·π·ε0·r) = Fe
Questo significa che quando le due distribuzioni di carica viaggiano alla velocità della luce, la forza risultante a cui sono soggette è nulla.
Alla velocità della luce, Fe è esattamente controbilanciata da Fm.
L'assenza di forza tra le due distribuzioni di carica quando viaggiano alla velocità della luce è equivalente a dire che la densità lineare di carica è nulla. Per questo motivo, se fino ad oggi la forza di Coulomb ha stabilito cosa è permesso e cosa non lo è, alla velocità della luce tutto diventa possibile e l’impossibile diventa ovvio.
Facendo il rapporto fra Fm ed Fe si ottiene la seguente equazione
Fm/Fe = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)/[λ1·λ2/(2·π·ε0·r)] = µ0·ε0·v1·v2 = v1·v2/c²
Ponendo per semplicità v1=v2=v, l’equazione si semplifica in
Fm/Fe = v²/c²
Il valore di Fm/Fe esprime l’efficacia con cui la componente Fm si contrappone alla componente Fe. Un valore di Fm/Fe pari a 0,1 corrisponde ad una riduzione della densità lineare di carica elettrica pari al 10%. Con Fm/Fe pari a 0,2 la densità lineare di carica elettrica si riduce del 20% e così via, fino ad arrivare a Fm/Fe pari a 1 che corrisponde ad una riduzione del 100% della densità lineare di carica elettrica ovvero al suo annullamento.
Il suo andamento in funzione della velocità v è rappresentato nell’immagine sottostante.
Una distribuzione lineare infinita di carica è costituita da un filo infinito su cui si trovano delle cariche elettriche statiche distribuite uniformemente sulla lunghezza. La sua densità lineare di carica elettrica λ1, costante su tutta la lunghezza della distribuzione, è pari al rapporto tra la carica Q1 presente in una porzione di filo e la lunghezza l1 di tale porzione.
Il vettore campo elettrico in un punto che si trova esternamente alla distribuzione di carica alla distanza r da essa ha direzione perpendicolare al filo e verso dato dal segno della carica (uscente per la carica positiva, entrante per la carica negativa) e il suo modulo E in quel punto è dato dalla formula
E = λ1/2·π·ε0·r
dove ε0 è la costante dielettrica del vuoto.
Se una seconda distribuzione lineare infinita di carica compare alla distanza r dalla prima, la forza elettrica per unità di lunghezza è pari a
Fe = λ1·λ2/(2·π·ε0·r)
Questa forza è repulsiva per cariche dello stesso segno, attrattiva per cariche di segno opposto.
Correnti su fili rettilinei infiniti
Quando una corrente i1 e una corrente i2 percorrono due fili rettilinei infiniti paralleli alla distanza r si genera una forza attrattiva quando le correnti hanno lo stesso verso e repulsiva quando hanno versi opposti e il suo modulo per unità di lunghezza del filo è dato dalla seguente relazione (legge di Biot-Savart)
Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r)
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto.
Poiché l’intensità di corrente è definita come la quantità di carica Q che attraversa una sezione trasversale del filo nell’unità di tempo
i = Q/t
Assumendo che la distribuzione delle cariche in moto sia omogenea lungo il filo conduttore, e allora si può parlare di densità lineare di carica λ, la quantità di carica che attraversa la sezione trasversale del filo nell’unità di tempo ovvero la corrente è data dal prodotto della densità lineare di carica per la velocità media v delle cariche
i = Q/t = λ·v
L’equazione della forza può essere pertanto essere riscritta come segue
Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r) = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)
Paradosso elettromagnetico
Riprendendo il caso delle due distribuzioni lineari infinite di carica, se le cariche invece di essere statiche si spostano nella stessa direzione della loro distribuzione, quindi quando la loro velocità v è diversa da zero, oltre alla forza Fe compare anche la forza Fm. Prendendo in considerazione il caso in cui le cariche abbiano lo stesso segno e si stiano spostando nello stesso verso la prima componente è di tipo repulsivo, mentre la seconda è di tipo attrattivo.
Il modulo della forza risultante risulta perciò pari al valore di Fe diminuito della componente Fm e pertanto inferiore a quello in cui le cariche erano immobili.
A mano a mano che la velocità aumenta, mentre Fe non varia in quanto indipendente dalla velocità, Fm continua ad aumentare. Quando la velocità v assume il valore della velocità della luce, il valore di Fm è identico a quello di Fe in quanto vale l’uguaglianza c²=1/ε0·µ0 e quindi µ0·c²=1/ε0
Fm = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r) = µ0·λ1·c·λ2·c/(2·π·r) = µ0·c²·λ1· λ2 /(2·π·r) = λ1·λ2/(2·π·ε0·r) = Fe
Questo significa che quando le due distribuzioni di carica viaggiano alla velocità della luce, la forza risultante a cui sono soggette è nulla.
Alla velocità della luce, Fe è esattamente controbilanciata da Fm.
L'assenza di forza tra le due distribuzioni di carica quando viaggiano alla velocità della luce è equivalente a dire che la densità lineare di carica è nulla. Per questo motivo, se fino ad oggi la forza di Coulomb ha stabilito cosa è permesso e cosa non lo è, alla velocità della luce tutto diventa possibile e l’impossibile diventa ovvio.
Facendo il rapporto fra Fm ed Fe si ottiene la seguente equazione
Fm/Fe = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)/[λ1·λ2/(2·π·ε0·r)] = µ0·ε0·v1·v2 = v1·v2/c²
Ponendo per semplicità v1=v2=v, l’equazione si semplifica in
Fm/Fe = v²/c²
Il valore di Fm/Fe esprime l’efficacia con cui la componente Fm si contrappone alla componente Fe. Un valore di Fm/Fe pari a 0,1 corrisponde ad una riduzione della densità lineare di carica elettrica pari al 10%. Con Fm/Fe pari a 0,2 la densità lineare di carica elettrica si riduce del 20% e così via, fino ad arrivare a Fm/Fe pari a 1 che corrisponde ad una riduzione del 100% della densità lineare di carica elettrica ovvero al suo annullamento.
Il suo andamento in funzione della velocità v è rappresentato nell’immagine sottostante.
Il grafico mostra che quando v/c=0,5 (velocità uguale a metà della velocità della luce), Fm/Fe vale 0,25 cioè la densità lineare di carica è ridotta del 25%. Per v/c=0,95 Fm/Fe vale 0,9 cioè la densità lineare di carica è diminuita del 90%.
Approfondimento
Quanto scritto finora vale in un sistema di riferimento in cui risulta apprezzabile il moto delle cariche. Nel momento in cui si sceglie di adottare un sistema di riferimento solidale alle cariche, la loro velocità v è sempre nulla e di conseguenza è nullo anche il valore di Fm. La forza che si manifesta è soltanto elettrostatica e come visto sopra il suo valore dipende dalla velocità. Guardando all’equazione della forza elettrostatica Fe, una sua diminuzione implica una diminuzione della densità di carica elettrica ed essendo la densità lineare di carica elettrica λ la quantità di carica elettrica nell'unità di lunghezza, o aumenta l’unità di lunghezza (cioè lo spazio si espande) oppure diminuisce la quantità di carica elettrica.
In questo modo, quando le cariche sono ferme la forza è pari a Fe. Quando le cariche si spostano alla velocità della luce, siccome Fe viene completamente controbilanciata da Fm e la loro risultante è nulla, nulla deve essere la densità lineare di carica elettrica λ. Il valore nullo di λ si ottiene o perché l’unità di lunghezza è cresciuta all’infinito (lo spazio si è esteso all'infinito) oppure perchè la carica elettrica si è azzerata.
Approfondimento
Quanto scritto finora vale in un sistema di riferimento in cui risulta apprezzabile il moto delle cariche. Nel momento in cui si sceglie di adottare un sistema di riferimento solidale alle cariche, la loro velocità v è sempre nulla e di conseguenza è nullo anche il valore di Fm. La forza che si manifesta è soltanto elettrostatica e come visto sopra il suo valore dipende dalla velocità. Guardando all’equazione della forza elettrostatica Fe, una sua diminuzione implica una diminuzione della densità di carica elettrica ed essendo la densità lineare di carica elettrica λ la quantità di carica elettrica nell'unità di lunghezza, o aumenta l’unità di lunghezza (cioè lo spazio si espande) oppure diminuisce la quantità di carica elettrica.
In questo modo, quando le cariche sono ferme la forza è pari a Fe. Quando le cariche si spostano alla velocità della luce, siccome Fe viene completamente controbilanciata da Fm e la loro risultante è nulla, nulla deve essere la densità lineare di carica elettrica λ. Il valore nullo di λ si ottiene o perché l’unità di lunghezza è cresciuta all’infinito (lo spazio si è esteso all'infinito) oppure perchè la carica elettrica si è azzerata.
