The Una-flow Steam-engine (1912)

L’autore del libro, Johannes Stumpf, descrive il principio di funzionamento, i dettagli costruttivi e le prestazioni di motori alternativi a pistone alimentati a vapore dotati di luce di scarico fissa posizionata sul cilindro.
La lettura del libro offre un tuffo nel passato, si percepisce da un lato l’entusiasmo dello scrittore/inventore e dall’altro le difficoltà per far conoscere e accettare questa tecnologia.
Di seguito il link a un archivio web in cui è possibile leggerlo ed eventualmente anche scaricarlo sul proprio computer

https://archive.org/details/unaflowsteameng00stumgoog

Segue la traduzione in italiano della prefazione e dell'indice dei contenuti.


PREFAZIONE
Tutte le nuove dottrine sono viste con sospetto fino al momento in cui qualche mente indagatrice scopre che non c'è davvero nulla di fondamentalmente nuovo in esse. I principi su cui si basano le dottrine si dimostrano essere vecchi, ma resta il fatto che l'applicazione dei principi è nuova. Nel caso del motore a flusso unidirezionale, o come è stato chiamato per brevità, il motore "una-flow", le osservazioni di cui sopra si applicano completamente. Dopo il successo delle prove con i miei vari disegni di motore una-flow, amici e critici sono stati molto pronti e gentile nel sottolineare che "qualcosa di molto simile è stato fatto prima". Il grande punto è che nulla di esattamente identico è stato fatto e nessuno dei tentativi precedenti sono stati seguiti da qualcosa come il successo pratico, che ha ottenuto la mia introduzione del motore una-flow di circa tre anni fa.

Tra i precedenti tentativi, la preferenza dovrebbe eventualmente essere data al signor J.L. Todd, che ha ottenuto non solo numerosi brevetti in Gran Bretagna per i suoi miglioramenti, ma ha fatto test reali con il suo motore. E 'interessante notare le linee di sviluppo che seguì il signor Todd. Egli ha iniziato con il suo primo brevetto britannico n °7301 del 1885, con una dichiarazione molto chiara delle condizioni termiche prevalenti in un cilindro del motore quando l'entrata è alle estremità e le luci di scarico disposte al centro del cilindro e controllate dal pistone. Le caratteristiche che ha sottolineato erano l'ingresso "caldo" e lo scarico "a freddo". Dal buon inizio della sua indagine, Todd ha mostrato la tendenza a muoversi lungo linee sbagliate. Egli suggerisce che l'eccessiva compressione sarà minimizzata cedendo calore alle pareti del cilindro in fase di compressione e che per svolgere questa funzione si deduce che le pareti non dovrebbero essere incamiciate. Infatti J.L. Todd si spinse fino a riscaldare l’estremità fredda invece della estremità calda mettendo un camicia di vapore in prossimità del collettore di scarico. Questi suggerimenti mostrano l'errore iniziale che fece Todd, e fu probabilmente questo errore iniziale che ha portato Todd a discostarsi dal motore una-flow puro e passare a quello che ha definito il motore di scarico "doppio", cioè il motore misto controcorrente e una-flow.

Il test su locomotiva reale è stato fatto con il motore di Todd a doppio scarico "doppio" e non con il tipo una-flow puro. Un altro punto importante da tenere a mente è che sono trascorsi una decina d'anni tra la prima proposta di Todd e la ricerca del motore di una-flow e la sua introduzione del motore a doppio scarico. Sembrerebbe quindi che Todd si era prima impegnato duramente con l'una-flow puro per poi abbandonarlo a favore dello scarico "doppio". Non sono a conoscenza che il motore a doppio scarico sia stato impiegato estensivamente.

Molti altri inventori sembrano essere stati affascinati dalla versione a flusso unidirezionale, ma sento di dover citare solo il Dr. Wilhelm Schmidt di Wilhelmshoehe. Il dottor Schmidt non sembra essere andato avanti quanto Todd. Come il Sig. Todd, il Dr. Schmidt propone di immettere il vapore ad un'estremità del cilindro e di scaricarlo attraverso porte controllate dal pistone. Ha fatto alcune proposte che possono difficilmente essere prese come serie e pratiche, ma che altrimenti avrebbero potuto essere interessanti. Ad esempio, si propone un motore con valvola automatica la cui funzione di strozzamento dipende dalla variazione velocità del pistone. Di nuovo, non sempre rispetta l'uso del collettore di scarico anulare freddo che collega le larghe aperture del cilindro del motore. Questo è un fattore importante in tutto il motore “una-flow”. Todd era più avanti del Dr. Schmidt a questo riguardo. Infatti in base alle informazioni raccolte da prove pratiche effettuate con i motori “una-flow” secondo il mio design, sembrerebbe che Todd, anche se non ha mai ottenuto grande successo, stava lavorando su linee più corrette del Dr. Schmidt.

Devo ringraziare i miei critici per avermi indicato il lavoro di questi inventori e ricercatori, ma ci tengo ad affermare che le mie indagini erano del tutto indipendenti. Probabilmente se mi fossi informato approfonditamente sul lavoro svolto da questi signori, avrei potuto anche esser fuorviato. Le mie indagini, però, sono avvenute senza condizionamenti.

Vorrei ora indicare brevemente le linee da me seguite nelle mie indagini. Ho deciso di fare in un cilindro di ciò che di solito è fatto in diversi cilindri e ho deciso di farlo alla maniera di una turbina a vapore, il vapore entra caldo da una parte e subisce l’estrazione della sua energia nel passaggio assiale, sempre nella stessa direzione, fino allo scarico freddo. Affrontare il problema in questo senso ha portato alle forme di motore una-flow descritte nelle pagine di questo libro. Essa ha portato ai seguenti principi fondamentali: - taglio del vapore precoce, uso di un grande rapporto di espansione - mantenere calda l’estremità calda - e mantenere fredda l’estremità fredda. Non mi sono allontanato dal primo principio e di fatto sono stato sempre più convinto della sua validità quando confermato dai suoi prevedibili limiti. I miei vari disegni hanno tutti come obiettivo principale quello di soddisfare queste condizioni di base nel modo più completo possibile.

Quali sono i fatti riguardanti il motore una-flow? In breve questi. – Io faccio in un cilindro una-flow, quello che gli altri fanno in due o tre cilindri a contro-flusso (composto o triplo). I risultati in consumo di vapore sono gli stessi, se non migliori. I costi di costruzione e di lubrificazione del motore una-flow sono molto inferiori.

Esporre le idee è una cosa - convincere gli altri in misura sufficiente per realizzare le proprie idee è una cosa completamente diversa e molto più difficile. Il mio ringraziamento va a Mr.Smetana, direttore dell’Ersten Brünner Maschinenfabrik di Brünn per essere stato il primo a convincersi di passare all'azione. Cito proprio la risposta di questo signore alle mie affermazioni "I tuoi argomenti sono buoni - non posso negarlo - perciò mi offro per metterli alla prova".

Quindi, il primo motore una-flow è stato costruito dalla Erste Brünner Maschinenfabrikgesellschaft a Brünn (Austria), secondo il mio disegno. Esso è stato un pieno successo e aveva un consumo di vapore pari a quello di un buon motore composto.

La prima locomotiva una-flow è stata costruita dal KolomnaerMaschinenbau-A.-G., su ordine di Mr.Noltein, il noto direttore delle ferrovie Kazan di Mosca e si dimostrò ampiamente soddisfacente. Da quando è stato introdotto, non ho più avuto motivo di lamentarmi della lentezza dei progressi. Infatti, alla fine del luglio 1911, erano presenti motori già operativi o in costruzione per una potenza totale di oltre mezzo milione di cavalli.

Questo rapido sviluppo ha richiesto una grande mole di lavoro per adattare il motore una-flow per tutti i tipi di utilizzo. Sono debitore verso i miei collaboratori per l’aiuto nel portare avanti questo lavoro e vorrei anche menzionare specialmente Mr.Rösler di Mülhausen in Alsazia, Mr.Arendt di Saarbrücken e Mr.Bonin di Charlottenburg, i quali mi hanno fornito un valido sostegno e per il quale io li ringrazio.

Desidero anche esprimere il mio ringraziamento a tutti quei signori che si sono lasciati convincere di passare all'azione. Oltre a Mr.Smetana che ho già nominato, devo ringraziare Mr.Noltein delle ferrovie Kazan di Mosca, Mr.Hnevkovsky di Brünn, Mr.Lamey di Mülhausen, Geheimrat Müller di Berlino e Mr.Schüler di Grevenbroich, per la loro assistenza e sostegno nelle prime fasi di sviluppo del motore una-flow.

Devo infine ringraziare Mr.P.S.H. Alexander del Messers Mathys & Co., al 43 di Chancery Lane, Londra per i suoi servizi nella traduzione e preparazione di questo lavoro in inglese.

Charlottenburg, Germania.


INDICE DEI CONTENUTI

Prefazione
Capitolo I. Le caratteristiche termiche e costruttive generali del motore a vapore una-flow
Capitolo II. Il rapporto fra il motore una-flow e il condensatore
Capitolo III. La camicia di vapore
Capitolo IV. La prevenzione dei trafilamenti
Capitolo V. La perdita dovuta alle superfici di lavaggio
Capitolo VI. Motore una-flow fisso
Capitolo VII. Il motore una-flow, in combinazione con apparati accessori a vapore
Capitolo VIII. Motore una-flow per locomotiva
Capitolo IX. L’influenza del volume di lavaggio sul consumo di vapore
Capitolo X. Motore una-flow portabile
Capitolo XI. Motore una-flow per laminatoio
Capitolo XII. Motore una-flow per bobinatura
Capitolo XIII. Motore una-flow per pilotare compressori, soffiatori, pompe; compressori e soffiatori una-flow
Capitolo XIV. Motore una-flow per pilotare stampe e presse
Capitolo XV. Motore una-flow marino
Conclusioni

Ricerche sull'anteriorità del lion-Powerblock

In questo blog la prima testimonianza dell'espansore volumetrico adiabatico risale al 04 agosto 2012 con il post intitolato "Il Colibrì" con delle versioni free piston monoeffetto.
La versione free piston a doppio effetto del dispositivo è stata invece mostrata in data 16 settembre 2012 nel post intitolato "Colibrì free piston a doppio effetto di tipo A". Si noti che tale variante è la stessa presente nel dispositivo lion-Powerblock.

Una prova immediata che il prodotto lion-Powerblock è antecedente a entrambe le date sopra riportate è data dal video caricato su youtube il giorno 27 aprile 2011 perciò con un anno abbondante di anticipo.

Una seconda prova è contenuta nella pagina 115 del report RSE/2009/18 dell'Enea intitolato

Le tecnologie innovative ed efficienti nei sistemi di
generazione in assetto co-trigenerativo e
nei sistemi integrati con unità a pompa di calore
nelle applicazioni industriali e del terziario

in cui si parla di una commercializzazione del dispositivo lion sin dal 2006:

Onore al merito.

APPROFONDIMENTI CONSIGLIATI
Sullo stesso argomento si segnala la discussione intitolata "Motore adiabatico per cogenerazione domestica" presente sul forum Fai da te & OffGrid.

Speculazioni, azzardi e previsioni sulla fusione fredda

Nell’immaginario collettivo del volgo l’atomo di idrogeno si rappresenta come un sistema planetario in cui l’elettrone è un satellite che gira attorno al pianeta nucleo che in questo caso particolare è costituito da un protone.
Un po’ meno grossolana e senza dubbio più complessa è la descrizione dell’elettrone con una distribuzione probabilistica ottenuta dalla soluzione dell’equazione di Schroedinger.
Per l’orbitale 1s dell’atomo di idrogeno a quanto ammonta la probabilità che l’elettrone si trovi all’interno del nucleo? E’ nulla o maggiore di zero?
E’ piccola, molto piccola, ma non è e soprattutto non può essere nulla.
Questo significa che esiste una certa probabilità che il nucleo dell’idrogeno (un protone) si presenti elettricamente neutro. Che l’impossibile possa diventare possibile?
Quanto sopra vale per un atomo di idrogeno isolato.
Cosa accade per l’idrogeno in matrice metallica? Che dice l’equazione di Schroedinger?
Roba da chimici teorici (di quelli bravi), supercomputer e lunghe giornate di attesa.
Magari però un giorno si potrebbero scoprire le condizioni che fanno salire la probabilità di trovare l’elettrone all’interno del nucleo.

Il Colibrì è in realtà un leone

In questo blog si è parlato in più occasioni dell’espansore volumetrico adiabatico denominandolo Colibrì per alcune delle sue caratteristiche salienti.
Anche se molte persone hanno ritenuto che l'idea fosse difficilmente sfruttabile, i fatti smentiscono ancora una volta le opinioni.
Infatti questo tipo di dispositivo nella variante free piston è in realtà un’idea già conosciuta e messa in pratica dalla ditta Lion energy GmbH & Co. KG che ha sede nella città di Olsberg in Germania.
Il prodotto viene commercializzato con il nome di lion-Powerblock. Questa è un'immagine del prodotto tratta dal sito

Falsi motori

Curiosando nei forum capita talvolta di imbattersi in entusiastiche presentazioni di potenziali motori che però tali non sono in quanto non hanno alcuna possibilità di generare lavoro utile neppure a livello teorico.
Tali oggetti, di nessuna utilità dal punto di vista applicativo, sono comunque utili come esempi di calcolo.
Il dispositivo discusso in questa pubblicazione è rappresentato dall'animazione seguente:

L'oggetto è composto da due camere separate dalle sfere che scorrono a tenuta all'interno di canali tubolari e da due pistoni esterni collegati fra loro da uno stelo.
Le parti di colore blu sono fredde, mentre la zona colorata di rosso è calda.
L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione all'interno delle due camere e questa a sua volta determina lo spostamento delle sfere di separazione.
La versione originale era dotata di biellismo e di rigeneratore. Quella proposta qui è una variante free piston ed il rigeneratore è stato rimosso in quanto costituisce un'inutile complicazione.

Sostituendo la parte fissa centrale con un cilindro e le sfere con un pistone forato per lasciare passare lo stelo di collegamento fra i due pistoni esterni le trasformazioni termodinamiche non cambiano, ma l'oggetto si presta meglio all'analisi teorica.
L'animazione di seguito mostra la nuova geometria. L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione e di volume che è stata rappresentata nei diagrammi a lato.
Il diagramma superiore è relativo alla camera superiore, mentre quello inferiore è relativo alla camera inferiore.
Lo stato del gas è identificato dal cerchietto che si sposta lungo le curve di trasformazione.

Ipotizzando che il gas contenuto nel volume circondato dalla parete blu si trovi alla temperatura fredda mentre quello contenuto nel volume circondato dalla parete rossa si trovi alla temperatura calda è possibile definire la seguente serie di equazioni.

PRIMA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera superiore

n_SF + n_SC = n_S

dove
n_SF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
n_SC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
n_S è la quantità di gas totale contenuto nella camera superiore espressa in moli


SECONDA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera inferiore

n_IF + n_IC = n_I

dove
n_IF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
n_IC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
n_I è la quantità di gas totale contenuto nella camera inferiore espressa in moli


TERZA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera superiore

P_S · V_SF = P_S· X_F · S_SF = n_SF · R · T_SF

dove
P_S è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
V_SF è il volume freddo della camera superiore espresso in m³
X_F è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
S_SF è la superficie utile del pistone freddo della camera superiore espressa in m²
n_SF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
T_SF è la temperatura fredda della camera superiore espressa in K (Kelvin)


QUARTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera superiore

P_S · V_SC = P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC = n_SC · R · T_SC

dove
P_S è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
V_SC è il volume caldo della camera superiore espresso in m³
C_C è la corsa massima del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) espressa in m
X_C è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
S_SC è la superficie utile del pistone caldo della camera superiore espressa in m²
n_SC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
T_SC è la temperatura calda della camera superiore espressa in K (Kelvin)


QUINTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera inferiore

P_I · V_IF = P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF = n_IF · R · T_IF

dove
P_I è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
V_IF è il volume freddo della camera inferiore espresso in m³
C_F è la corsa massima del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) espressa in m
X_F è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
S_IF è la superficie utile del pistone freddo della camera inferiore espressa in m²
n_IF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
T_IF è la temperatura fredda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)


SESTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera inferiore

P_I · V_IC = P_I · X_C · S_IC = n_IC · R · T_IC

dove
P_I è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
V_IC è il volume caldo della camera inferiore espresso in m³
X_C è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
S_IC è la superficie utile del pistone caldo della camera inferiore espressa in m²
n_IC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
T_IC è la temperatura calda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)

*****************************************************************

Nelle 6 equazioni riportate sono presenti 20 incognite:

1) n_SF
2) n_SC
3) n_S

4) n_IF
5) n_IC
6) n_I

7) P_S
8) X_F
9) S_SF
10) T_SF

11) C_C
12) X_C
13) S_SC
14) T_SC

15) P_I
16) C_F
17) S_IF
18) T_IF

19) S_IC
20) T_IC

Vediamo ora come ridurre il numero di incognite.

Definendo la geometria del motore è possibile calcolare le seguenti 6 grandezze che pertanto potranno essere depennate dall'elenco delle incognite:

1) S_SF (incognita n.9)
2) C_C (incognita n.11)
3) S_SC (incognita n.13)
4) C_F (incognita n.16)
5) S_IF (incognita n.17)
6) S_IC (incognita n.19)

Definire le temperature operative fa depennare altre 4 incognite:

1) T_SF (incognita n.10)
2) T_SC (incognita n.14)
3) T_IF (incognita n.18)
4) T_IC (incognita n.20)

Definire la pressurizzazione a freddo permette di eliminare 2 incognite:

1) n_S (incognita n.3)
2) n_I (incognita n.6)

A questo punto le incognite residue sono scese a 8:

1) n_SF (incognita n.1)
2) n_SC (incognita n.2)
3) n_IF (incognita n.4)
4) n_IC (incognita n.5)
5) P_S (incognita n.7)
6) X_F (incognita n.8)
7) X_C (incognita n.12)
8) P_I (incognita n.15)

Il sistema di equazioni non è ancora risolvibile perchè il numero di incognite (8) supera il numero di equazioni indipendenti (6).
Per ridurre ulteriormente il numero di incognite è necessario tenere conto del fatto che il funzionamento del dispositivo può essere distinto in due situazioni estreme.
Nella prima il pistone caldo è bloccato al fine corsa per effetto della differenza di pressione. In tale situazione la grandezza X_C è nota e perciò non è più un'incognita. Nella seconda il pistone caldo si sposta per mantenere fisso un certo delta pressorio ovvero diventa possibile scrivere un'altra equazione indipendente che mette in relazione la pressione nella camera superiore con quella nella camera inferiore. La scelta migliore per semplificare i calcoli che seguiranno è la seguente:

1a) P_S > P_I ⇒ X_C = 0 cioè se la pressione della camera superiore è maggiore di quella nella camera inferiore il pistone caldo è bloccato nel suo punto più basso
1b) P_S < P_I ⇒ X_C = C_C cioè se la pressione della camera superiore è minore di quella nella camera inferiore, il pistone caldo è bloccato nel suo punto più alto

2) P_S = P_I (equazione del delta pressorio richiesto per il movimento) cioè ad ogni spostamento del pistone freddo si accompagna uno spostamento del pistone caldo tale da mantenere l'uguaglianza pressoria fra la camera superiore e la camera inferiore

Adottando la grandezza X_F come parametro noto per il calcolo delle altre grandezze, il sistema di equazioni diventa risolvibile in quanto il numero di equazioni di indipendenti è pari a quello delle incognite.

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Per comodità di lettura vengono scritte di nuovo le 6 equazioni che compongono il sistema da risolvere:

1) n_SF + n_SC = n_S
2) n_IF + n_IC = n_I
3) P_S · X_F · S_SF = n_SF · R · T_SF
4) P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC = n_SC · R · T_SC
5) P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF = n_IF · R · T_IF
6) P_I · X_C · S_IC = n_IC · R · T_IC

La funzione che permette di calcolare la pressione nella camera superiore basta può essere otteneta effettuando le seguenti operazioni algebriche.
Ricavare n_SF dall'equazione 1)

n_SF + n_SC = n_S
n_SF = n_S - n_SC

Nell'equazione 3) sostituire n_SF con l'equazione appena trovata e poi ricavare n_SC

P_S· X_F · S_SF = n_SF · R · T_SF
P_S· X_F · S_SF = ( n_S - n_SC ) · R · T_SF
( n_S - n_SC ) · R · T_SF = P_S · X_F · S_SF
n_S - n_SC = P_S· X_F · S_SF / R · T_SF
n_SC = n_S - P_S· X_F · S_SF / R · T_SF

Nell'equazione 4) sostituire n_SC con l'equazione appena trovata quindi ricavare P_S. L'equazione finale A) permette di calcolare la pressione nella camera superiore.

P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC = n_SC · R · T_SC
P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC = ( n_S - P_S · X_F · S_SF / R · T_SF ) · R · T_SC
P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC = n_S · R · T_SC - P_S · X_F · S_SF · T_SC / T_SF
P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC + P_S · X_F · S_SF · T_SC / T_SF = n_S · R · T_SC
P_S · [ ( C_C - X_C ) · S_SC + X_F · S_SF · T_SC / T_SF ] = n_S · R · T_SC

A) P_S = n_S · R · T_SC / [ ( C_C - X_C ) · S_SC + X_F · S_SF · T_SC / T_SF ]

Completano la soluzione per la camera superiore le equazioni per calcolare n_SF e n_SC. La prima si ottiene dalla 3) e la seconda dalla 4) per riarrangiamento dei termini.

B) n_SF = P_S · X_F · S_SF / ( R · T_SF )
C) n_SC = P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC / ( R · T_SC )

Si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 1). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni B) e C) e tenere equazione 1) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.

Si passa ora all'individuazione dell'equazione che permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.
Dall'equazione 2) si ricava n_IC

n_IF + n_IC = n_I
n_IC = n_I - n_IF

Nell'equazione 6) sostituire n_IC con l'equazione appena trovata e poi ricavare n_IF

P_I · X_C · S_IC = n_IC · R · T_IC
P_I · X_C · S_IC = ( n_I - n_IF ) · R · T_IC
( n_I - n_IF ) · R · T_IC = P_I · X_C · S_IC
n_I - n_IF = P_I · X_C · S_IC / R · T_IC
n_IF = n_I - P_I · X_C · S_IC / R · T_IC

Nell'equazione 5) sostituire n_IF con l'equazione appena trovata quindi ricavare P_I. L'equazione finale D) permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.

P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF = n_IF · R · T_IF
P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF = ( n_I - P_I · X_C · S_IC / R · T_IC ) · R · T_IF
P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF = n_I · R · T_IF - P_I · X_C · S_IC · T_IF / T_IC
P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF + P_I · X_C · S_IC · T_IF / T_IC = n_I · R · T_IF
P_I · [ ( C_F - X_F ) · S_IF + X_C · S_IC · T_IF / T_IC ] = n_I · R · T_IF

D) P_I = n_I · R · T_IF / [ ( C_F - X_F ) · S_IF + X_C · S_IC · T_IF / T_IC ]

Completano la soluzione per la camera inferiore le equazioni per calcolare n_IF e n_IC. La prima si ottiene dalla 5) e la seconda dalla 6) per semplice riarrangiamento dei termini.

E) n_IF = P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF / ( R · T_IF )
F) n_IC = P_I · X_C · S_IC / ( R · T_IC )

Come già visto per la camera superiore, si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 2). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni E) ed F) e tenere l'equazione 2) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.

A) P_S = n_S · R · T_SC / [ ( C_C - X_C ) · S_SC + X_F · S_SF · T_SC / T_SF ]
B) n_SF = P_S · X_F · S_SF / ( R · T_SF )
C) n_SC = P_S · ( C_C - X_C ) · S_SC / ( R · T_SC )
D) P_I = n_I · R · T_IF / [ ( C_F - X_F ) · S_IF + X_C · S_IC · T_IF / T_IC ]
E) n_IF = P_I · ( C_F - X_F ) · S_IF / ( R · T_IF )
F) n_IC = P_I · X_C · S_IC / ( R · T_IC )

*****************************************************************

Per individuare la posizione del pistone freddo che permette di raggiungere l'equilibrio pressorio fra la camera inferiore e la camera superiore basta eguagliare le equazioni A) e D) e ricavare X_F

P_S = P_I
n_S · R · T_SC / [ ( C_C - X_C ) · S_SC + X_F · S_SF · T_SC / T_SF ] = n_I · R · T_IF / [ ( C_F - X_F ) · S_IF + X_C · S_IC · T_IF / T_IC ]

n_S · T_SC / [ ( C_C - X_C ) · S_SC + X_F · S_SF · T_SC / T_SF ] = n_I · T_IF / [ ( C_F - X_F ) · S_IF + X_C · S_IC · T_IF / T_IC ]

n_S · T_SC · [ ( C_F - X_F ) · S_IF + X_C · S_IC · T_IF / T_IC ] = n_I · T_IF · [ ( C_C - X_C ) · S_SC + X_F · S_SF · T_SC / T_SF ]

n_S · T_SC · ( C_F - X_F ) · S_IF + n_S · T_SC · X_C · S_IC · T_IF / T_IC = n_I · T_IF · ( C_C - X_C ) · S_SC + n_I · T_IF · X_F · S_SF · T_SC / T_SF

n_S · T_SC · C_F · S_IF - n_S · T_SC · X_F · S_IF + n_S · T_SC · X_C · S_IC · T_IF / T_IC = n_I · T_IF · C_C · S_SC - n_I · T_IF · X_C · S_SC + n_I · T_IF · X_F · S_SF · T_SC / T_SF

n_S · T_SC · X_F · S_IF + n_I · T_IF · X_F · S_SF · T_SC / T_SF = n_I · T_IF · X_C · S_SC + n_S · T_SC · C_F · S_IF + n_S · T_SC · X_C · S_IC · T_IF / T_IC - n_I · T_IF · C_C · S_SC

X_F · ( n_S · T_SC · S_IF + n_I · T_IF · S_SF · T_SC / T_SF ) = n_I · T_IF · X_C · S_SC + n_S · T_SC · C_F · S_IF + n_S · T_SC · X_C · S_IC · T_IF / T_IC - n_I · T_IF · C_C · S_SC

G) X_F = [ n_I · T_IF · X_C · S_SC + n_S · T_SC · C_F · S_IF + n_S · T_SC · X_C · S_IC · T_IF / T_IC - n_I · T_IF · C_C · S_SC ] / ( n_S · T_SC · S_IF + n_I · T_IF · S_SF · T_SC / T_SF )

Ponendo X_C = 0 (pistone caldo completamente giù) si trova il valore della posizione del pistone freddo oltre il quale il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.
Ponendo X_C = C_C (pistone caldo completamente su) si trova il limite superiore dell'intervallo di valori per la posizione del pistone freddo in cui il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.