Curiosando nei forum capita talvolta di imbattersi in entusiastiche presentazioni di potenziali motori che però tali non sono in quanto non hanno alcuna possibilità di generare lavoro utile neppure a livello teorico.
Tali oggetti, di nessuna utilità dal punto di vista applicativo, sono comunque utili come esempi di calcolo.
Il dispositivo discusso in questa pubblicazione è rappresentato dall'animazione seguente:
L'oggetto è composto da due camere separate dalle sfere che scorrono a tenuta all'interno di canali tubolari e da due pistoni esterni collegati fra loro da uno stelo.
Le parti di colore blu sono fredde, mentre la zona colorata di rosso è calda.
L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione all'interno delle due camere e questa a sua volta determina lo spostamento delle sfere di separazione.
La versione originale era dotata di biellismo e di rigeneratore. Quella proposta qui è una variante free piston ed il rigeneratore è stato rimosso in quanto costituisce un'inutile complicazione.
Sostituendo la parte fissa centrale con un cilindro e le sfere con un pistone forato per lasciare passare lo stelo di collegamento fra i due pistoni esterni le trasformazioni termodinamiche non cambiano, ma l'oggetto si presta meglio all'analisi teorica.
L'animazione di seguito mostra la nuova geometria. L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione e di volume che è stata rappresentata nei diagrammi a lato.
Il diagramma superiore è relativo alla camera superiore, mentre quello inferiore è relativo alla camera inferiore.
Lo stato del gas è identificato dal cerchietto che si sposta lungo le curve di trasformazione.
Ipotizzando che il gas contenuto nel volume circondato dalla parete blu si trovi alla temperatura fredda mentre quello contenuto nel volume circondato dalla parete rossa si trovi alla temperatura calda è possibile definire la seguente serie di equazioni.
PRIMA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera superiore
nSF + nSC = nS
dove
nSF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
nSC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
nS è la quantità di gas totale contenuto nella camera superiore espressa in moli
SECONDA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera inferiore
nIF + nIC = nI
dove
nIF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
nIC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
nI è la quantità di gas totale contenuto nella camera inferiore espressa in moli
TERZA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera superiore
PS · VSF = PS· XF · SSF = nSF · R · TSF
dove
PS è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
VSF è il volume freddo della camera superiore espresso in m³
XF è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SSF è la superficie utile del pistone freddo della camera superiore espressa in m²
nSF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TSF è la temperatura fredda della camera superiore espressa in K (Kelvin)
QUARTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera superiore
PS · VSC = PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
dove
PS è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
VSC è il volume caldo della camera superiore espresso in m³
CC è la corsa massima del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) espressa in m
XC è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SSC è la superficie utile del pistone caldo della camera superiore espressa in m²
nSC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TSC è la temperatura calda della camera superiore espressa in K (Kelvin)
QUINTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera inferiore
PI · VIF = PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
dove
PI è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
VIF è il volume freddo della camera inferiore espresso in m³
CF è la corsa massima del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) espressa in m
XF è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SIF è la superficie utile del pistone freddo della camera inferiore espressa in m²
nIF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TIF è la temperatura fredda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)
SESTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera inferiore
PI · VIC = PI · XC · SIC = nIC · R · TIC
dove
PI è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
VIC è il volume caldo della camera inferiore espresso in m³
XC è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SIC è la superficie utile del pistone caldo della camera inferiore espressa in m²
nIC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TIC è la temperatura calda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)
*****************************************************************
Nelle 6 equazioni riportate sono presenti 20 incognite:
1) nSF
2) nSC
3) nS
4) nIF
5) nIC
6) nI
7) PS
8) XF
9) SSF
10) TSF
11) CC
12) XC
13) SSC
14) TSC
15) PI
16) CF
17) SIF
18) TIF
19) SIC
20) TIC
Vediamo ora come ridurre il numero di incognite.
Definendo la geometria del motore è possibile calcolare le seguenti 6 grandezze che pertanto potranno essere depennate dall'elenco delle incognite:
1) SSF (incognita n.9)
2) CC (incognita n.11)
3) SSC (incognita n.13)
4) CF (incognita n.16)
5) SIF (incognita n.17)
6) SIC (incognita n.19)
Definire le temperature operative fa depennare altre 4 incognite:
1) TSF (incognita n.10)
2) TSC (incognita n.14)
3) TIF (incognita n.18)
4) TIC (incognita n.20)
Definire la pressurizzazione a freddo permette di eliminare 2 incognite:
1) nS (incognita n.3)
2) nI (incognita n.6)
A questo punto le incognite residue sono scese a 8:
1) nSF (incognita n.1)
2) nSC (incognita n.2)
3) nIF (incognita n.4)
4) nIC (incognita n.5)
5) PS (incognita n.7)
6) XF (incognita n.8)
7) XC (incognita n.12)
8) PI (incognita n.15)
Il sistema di equazioni non è ancora risolvibile perchè il numero di incognite (8) supera il numero di equazioni indipendenti (6).
Per ridurre ulteriormente il numero di incognite è necessario tenere conto del fatto che il funzionamento del dispositivo può essere distinto in due situazioni estreme.
Nella prima il pistone caldo è bloccato al fine corsa per effetto della differenza di pressione. In tale situazione la grandezza XC è nota e perciò non è più un'incognita. Nella seconda il pistone caldo si sposta per mantenere fisso un certo delta pressorio ovvero diventa possibile scrivere un'altra equazione indipendente che mette in relazione la pressione nella camera superiore con quella nella camera inferiore. La scelta migliore per semplificare i calcoli che seguiranno è la seguente:
1a) PS > PI ⇒ XC = 0 cioè se la pressione della camera superiore è maggiore di quella nella camera inferiore il pistone caldo è bloccato nel suo punto più basso
1b) PS < PI ⇒ XC = CC cioè se la pressione della camera superiore è minore di quella nella camera inferiore, il pistone caldo è bloccato nel suo punto più alto
2) PS = PI (equazione del delta pressorio richiesto per il movimento) cioè ad ogni spostamento del pistone freddo si accompagna uno spostamento del pistone caldo tale da mantenere l'uguaglianza pressoria fra la camera superiore e la camera inferiore
Adottando la grandezza XF come parametro noto per il calcolo delle altre grandezze, il sistema di equazioni diventa risolvibile in quanto il numero di equazioni di indipendenti è pari a quello delle incognite.
*****************************************************************
Per comodità di lettura vengono scritte di nuovo le 6 equazioni che compongono il sistema da risolvere:
1) nSF + nSC = nS
2) nIF + nIC = nI
3) PS · XF · SSF = nSF · R · TSF
4) PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
5) PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
6) PI · XC · SIC = nIC · R · TIC
La funzione che permette di calcolare la pressione nella camera superiore basta può essere otteneta effettuando le seguenti operazioni algebriche.
Ricavare nSF dall'equazione 1)
nSF + nSC = nS
nSF = nS - nSC
Nell'equazione 3) sostituire nSF con l'equazione appena trovata e poi ricavare nSC
PS· XF · SSF = nSF · R · TSF
PS· XF · SSF = ( nS - nSC ) · R · TSF
( nS - nSC ) · R · TSF = PS · XF · SSF
nS - nSC = PS· XF · SSF / R · TSF
nSC = nS - PS· XF · SSF / R · TSF
Nell'equazione 4) sostituire nSC con l'equazione appena trovata quindi ricavare PS. L'equazione finale A) permette di calcolare la pressione nella camera superiore.
PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
PS · ( CC - XC ) · SSC = ( nS - PS · XF · SSF / R · TSF ) · R · TSC
PS · ( CC - XC ) · SSC = nS · R · TSC - PS · XF · SSF · TSC / TSF
PS · ( CC - XC ) · SSC + PS · XF · SSF · TSC / TSF = nS · R · TSC
PS · [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nS · R · TSC
A) PS = nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]
Completano la soluzione per la camera superiore le equazioni per calcolare nSF e nSC. La prima si ottiene dalla 3) e la seconda dalla 4) per riarrangiamento dei termini.
B) nSF = PS · XF · SSF / ( R · TSF )
C) nSC = PS · ( CC - XC ) · SSC / ( R · TSC )
Si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 1). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni B) e C) e tenere equazione 1) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.
Si passa ora all'individuazione dell'equazione che permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.
Dall'equazione 2) si ricava nIC
nIF + nIC = nI
nIC = nI - nIF
Nell'equazione 6) sostituire nIC con l'equazione appena trovata e poi ricavare nIF
PI · XC · SIC = nIC · R · TIC
PI · XC · SIC = ( nI - nIF ) · R · TIC
( nI - nIF ) · R · TIC = PI · XC · SIC
nI - nIF = PI · XC · SIC / R · TIC
nIF = nI - PI · XC · SIC / R · TIC
Nell'equazione 5) sostituire nIF con l'equazione appena trovata quindi ricavare PI. L'equazione finale D) permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.
PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
PI · ( CF - XF ) · SIF = ( nI - PI · XC · SIC / R · TIC ) · R · TIF
PI · ( CF - XF ) · SIF = nI · R · TIF - PI · XC · SIC · TIF / TIC
PI · ( CF - XF ) · SIF + PI · XC · SIC · TIF / TIC = nI · R · TIF
PI · [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ] = nI · R · TIF
D) PI = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
Completano la soluzione per la camera inferiore le equazioni per calcolare nIF e nIC. La prima si ottiene dalla 5) e la seconda dalla 6) per semplice riarrangiamento dei termini.
E) nIF = PI · ( CF - XF ) · SIF / ( R · TIF )
F) nIC = PI · XC · SIC / ( R · TIC )
Come già visto per la camera superiore, si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 2). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni E) ed F) e tenere l'equazione 2) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.
A) PS = nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]
B) nSF = PS · XF · SSF / ( R · TSF )
C) nSC = PS · ( CC - XC ) · SSC / ( R · TSC )
D) PI = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
E) nIF = PI · ( CF - XF ) · SIF / ( R · TIF )
F) nIC = PI · XC · SIC / ( R · TIC )
*****************************************************************
Per individuare la posizione del pistone freddo che permette di raggiungere l'equilibrio pressorio fra la camera inferiore e la camera superiore basta eguagliare le equazioni A) e D) e ricavare XF
PS = PI
nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
nS · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nI · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
nS · TSC · [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ] = nI · TIF · [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]
nS · TSC · ( CF - XF ) · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC = nI · TIF · ( CC - XC ) · SSC + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF
nS · TSC · CF · SIF - nS · TSC · XF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC = nI · TIF · CC · SSC - nI · TIF · XC · SSC + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF
nS · TSC · XF · SIF + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF = nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC
XF · ( nS · TSC · SIF + nI · TIF · SSF · TSC / TSF ) = nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC
G) XF = [ nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC ] / ( nS · TSC · SIF + nI · TIF · SSF · TSC / TSF )
Ponendo XC = 0 (pistone caldo completamente giù) si trova il valore della posizione del pistone freddo oltre il quale il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.
Ponendo XC = CC (pistone caldo completamente su) si trova il limite superiore dell'intervallo di valori per la posizione del pistone freddo in cui il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.
Tali oggetti, di nessuna utilità dal punto di vista applicativo, sono comunque utili come esempi di calcolo.
Il dispositivo discusso in questa pubblicazione è rappresentato dall'animazione seguente:
L'oggetto è composto da due camere separate dalle sfere che scorrono a tenuta all'interno di canali tubolari e da due pistoni esterni collegati fra loro da uno stelo.
Le parti di colore blu sono fredde, mentre la zona colorata di rosso è calda.
L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione all'interno delle due camere e questa a sua volta determina lo spostamento delle sfere di separazione.
La versione originale era dotata di biellismo e di rigeneratore. Quella proposta qui è una variante free piston ed il rigeneratore è stato rimosso in quanto costituisce un'inutile complicazione.
Sostituendo la parte fissa centrale con un cilindro e le sfere con un pistone forato per lasciare passare lo stelo di collegamento fra i due pistoni esterni le trasformazioni termodinamiche non cambiano, ma l'oggetto si presta meglio all'analisi teorica.
L'animazione di seguito mostra la nuova geometria. L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione e di volume che è stata rappresentata nei diagrammi a lato.
Il diagramma superiore è relativo alla camera superiore, mentre quello inferiore è relativo alla camera inferiore.
Lo stato del gas è identificato dal cerchietto che si sposta lungo le curve di trasformazione.
Ipotizzando che il gas contenuto nel volume circondato dalla parete blu si trovi alla temperatura fredda mentre quello contenuto nel volume circondato dalla parete rossa si trovi alla temperatura calda è possibile definire la seguente serie di equazioni.
PRIMA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera superiore
nSF + nSC = nS
dove
nSF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
nSC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
nS è la quantità di gas totale contenuto nella camera superiore espressa in moli
SECONDA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera inferiore
nIF + nIC = nI
dove
nIF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
nIC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
nI è la quantità di gas totale contenuto nella camera inferiore espressa in moli
TERZA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera superiore
PS · VSF = PS· XF · SSF = nSF · R · TSF
dove
PS è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
VSF è il volume freddo della camera superiore espresso in m³
XF è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SSF è la superficie utile del pistone freddo della camera superiore espressa in m²
nSF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TSF è la temperatura fredda della camera superiore espressa in K (Kelvin)
QUARTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera superiore
PS · VSC = PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
dove
PS è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
VSC è il volume caldo della camera superiore espresso in m³
CC è la corsa massima del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) espressa in m
XC è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SSC è la superficie utile del pistone caldo della camera superiore espressa in m²
nSC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TSC è la temperatura calda della camera superiore espressa in K (Kelvin)
QUINTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera inferiore
PI · VIF = PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
dove
PI è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
VIF è il volume freddo della camera inferiore espresso in m³
CF è la corsa massima del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) espressa in m
XF è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SIF è la superficie utile del pistone freddo della camera inferiore espressa in m²
nIF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TIF è la temperatura fredda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)
SESTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera inferiore
PI · VIC = PI · XC · SIC = nIC · R · TIC
dove
PI è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
VIC è il volume caldo della camera inferiore espresso in m³
XC è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SIC è la superficie utile del pistone caldo della camera inferiore espressa in m²
nIC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TIC è la temperatura calda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)
*****************************************************************
Nelle 6 equazioni riportate sono presenti 20 incognite:
1) nSF
2) nSC
3) nS
4) nIF
5) nIC
6) nI
7) PS
8) XF
9) SSF
10) TSF
11) CC
12) XC
13) SSC
14) TSC
15) PI
16) CF
17) SIF
18) TIF
19) SIC
20) TIC
Vediamo ora come ridurre il numero di incognite.
Definendo la geometria del motore è possibile calcolare le seguenti 6 grandezze che pertanto potranno essere depennate dall'elenco delle incognite:
1) SSF (incognita n.9)
2) CC (incognita n.11)
3) SSC (incognita n.13)
4) CF (incognita n.16)
5) SIF (incognita n.17)
6) SIC (incognita n.19)
Definire le temperature operative fa depennare altre 4 incognite:
1) TSF (incognita n.10)
2) TSC (incognita n.14)
3) TIF (incognita n.18)
4) TIC (incognita n.20)
Definire la pressurizzazione a freddo permette di eliminare 2 incognite:
1) nS (incognita n.3)
2) nI (incognita n.6)
A questo punto le incognite residue sono scese a 8:
1) nSF (incognita n.1)
2) nSC (incognita n.2)
3) nIF (incognita n.4)
4) nIC (incognita n.5)
5) PS (incognita n.7)
6) XF (incognita n.8)
7) XC (incognita n.12)
8) PI (incognita n.15)
Il sistema di equazioni non è ancora risolvibile perchè il numero di incognite (8) supera il numero di equazioni indipendenti (6).
Per ridurre ulteriormente il numero di incognite è necessario tenere conto del fatto che il funzionamento del dispositivo può essere distinto in due situazioni estreme.
Nella prima il pistone caldo è bloccato al fine corsa per effetto della differenza di pressione. In tale situazione la grandezza XC è nota e perciò non è più un'incognita. Nella seconda il pistone caldo si sposta per mantenere fisso un certo delta pressorio ovvero diventa possibile scrivere un'altra equazione indipendente che mette in relazione la pressione nella camera superiore con quella nella camera inferiore. La scelta migliore per semplificare i calcoli che seguiranno è la seguente:
1a) PS > PI ⇒ XC = 0 cioè se la pressione della camera superiore è maggiore di quella nella camera inferiore il pistone caldo è bloccato nel suo punto più basso
1b) PS < PI ⇒ XC = CC cioè se la pressione della camera superiore è minore di quella nella camera inferiore, il pistone caldo è bloccato nel suo punto più alto
2) PS = PI (equazione del delta pressorio richiesto per il movimento) cioè ad ogni spostamento del pistone freddo si accompagna uno spostamento del pistone caldo tale da mantenere l'uguaglianza pressoria fra la camera superiore e la camera inferiore
Adottando la grandezza XF come parametro noto per il calcolo delle altre grandezze, il sistema di equazioni diventa risolvibile in quanto il numero di equazioni di indipendenti è pari a quello delle incognite.
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Per comodità di lettura vengono scritte di nuovo le 6 equazioni che compongono il sistema da risolvere:
1) nSF + nSC = nS
2) nIF + nIC = nI
3) PS · XF · SSF = nSF · R · TSF
4) PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
5) PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
6) PI · XC · SIC = nIC · R · TIC
La funzione che permette di calcolare la pressione nella camera superiore basta può essere otteneta effettuando le seguenti operazioni algebriche.
Ricavare nSF dall'equazione 1)
nSF + nSC = nS
nSF = nS - nSC
Nell'equazione 3) sostituire nSF con l'equazione appena trovata e poi ricavare nSC
PS· XF · SSF = nSF · R · TSF
PS· XF · SSF = ( nS - nSC ) · R · TSF
( nS - nSC ) · R · TSF = PS · XF · SSF
nS - nSC = PS· XF · SSF / R · TSF
nSC = nS - PS· XF · SSF / R · TSF
Nell'equazione 4) sostituire nSC con l'equazione appena trovata quindi ricavare PS. L'equazione finale A) permette di calcolare la pressione nella camera superiore.
PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
PS · ( CC - XC ) · SSC = ( nS - PS · XF · SSF / R · TSF ) · R · TSC
PS · ( CC - XC ) · SSC = nS · R · TSC - PS · XF · SSF · TSC / TSF
PS · ( CC - XC ) · SSC + PS · XF · SSF · TSC / TSF = nS · R · TSC
PS · [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nS · R · TSC
A) PS = nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]
Completano la soluzione per la camera superiore le equazioni per calcolare nSF e nSC. La prima si ottiene dalla 3) e la seconda dalla 4) per riarrangiamento dei termini.
B) nSF = PS · XF · SSF / ( R · TSF )
C) nSC = PS · ( CC - XC ) · SSC / ( R · TSC )
Si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 1). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni B) e C) e tenere equazione 1) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.
Si passa ora all'individuazione dell'equazione che permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.
Dall'equazione 2) si ricava nIC
nIF + nIC = nI
nIC = nI - nIF
Nell'equazione 6) sostituire nIC con l'equazione appena trovata e poi ricavare nIF
PI · XC · SIC = nIC · R · TIC
PI · XC · SIC = ( nI - nIF ) · R · TIC
( nI - nIF ) · R · TIC = PI · XC · SIC
nI - nIF = PI · XC · SIC / R · TIC
nIF = nI - PI · XC · SIC / R · TIC
Nell'equazione 5) sostituire nIF con l'equazione appena trovata quindi ricavare PI. L'equazione finale D) permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.
PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
PI · ( CF - XF ) · SIF = ( nI - PI · XC · SIC / R · TIC ) · R · TIF
PI · ( CF - XF ) · SIF = nI · R · TIF - PI · XC · SIC · TIF / TIC
PI · ( CF - XF ) · SIF + PI · XC · SIC · TIF / TIC = nI · R · TIF
PI · [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ] = nI · R · TIF
D) PI = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
Completano la soluzione per la camera inferiore le equazioni per calcolare nIF e nIC. La prima si ottiene dalla 5) e la seconda dalla 6) per semplice riarrangiamento dei termini.
E) nIF = PI · ( CF - XF ) · SIF / ( R · TIF )
F) nIC = PI · XC · SIC / ( R · TIC )
Come già visto per la camera superiore, si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 2). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni E) ed F) e tenere l'equazione 2) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.
A) PS = nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]
B) nSF = PS · XF · SSF / ( R · TSF )
C) nSC = PS · ( CC - XC ) · SSC / ( R · TSC )
D) PI = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
E) nIF = PI · ( CF - XF ) · SIF / ( R · TIF )
F) nIC = PI · XC · SIC / ( R · TIC )
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Per individuare la posizione del pistone freddo che permette di raggiungere l'equilibrio pressorio fra la camera inferiore e la camera superiore basta eguagliare le equazioni A) e D) e ricavare XF
PS = PI
nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
nS · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nI · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
nS · TSC · [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ] = nI · TIF · [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]
nS · TSC · ( CF - XF ) · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC = nI · TIF · ( CC - XC ) · SSC + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF
nS · TSC · CF · SIF - nS · TSC · XF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC = nI · TIF · CC · SSC - nI · TIF · XC · SSC + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF
nS · TSC · XF · SIF + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF = nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC
XF · ( nS · TSC · SIF + nI · TIF · SSF · TSC / TSF ) = nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC
G) XF = [ nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC ] / ( nS · TSC · SIF + nI · TIF · SSF · TSC / TSF )
Ponendo XC = 0 (pistone caldo completamente giù) si trova il valore della posizione del pistone freddo oltre il quale il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.
Ponendo XC = CC (pistone caldo completamente su) si trova il limite superiore dell'intervallo di valori per la posizione del pistone freddo in cui il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.
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