In questo post viene spiegato come calcolare il massimo lavoro di volume utile ottenibile dall'aria compressa.
Essendo l'atmosfera terrestre composta in grandissima parte da ossigeno e azoto, due sostanze con molecola biatomica, i calcoli sono stati eseguiti approssimando il comportamento dell'aria con quello del gas biatomico ideale.
DATI IN INGRESSO
Tipo di fluido: Gas biatomico ideale
Coefficiente gamma dei processi adiabatici per il gas biatomico ideale: gamma = 7/5 = 1,4
Volume del serbatoio: V = 50 litri = 50dm³ = 0,05m³
Pressione relativa iniziale nel serbatoio: 10bar
Pressione assoluta iniziale nel serbatoio: Piniziale = Pressione relativa iniziale + 1 bar = 11 bar = 1.100.000 Pa
Pressione relativa finale nel serbatoio = 0bar
Pressione assoluta finale nel serbatoio: Pfinale = Pressione relativa finale + 1 bar = 1 bar = 100.000 Pa
CALCOLI
La figura di seguito illustra in modo grafico la soluzione del problema.
La curva rossa rappresenta il processo di espansione adiabatica dalla pressione assoluta di 11bar alla pressione assoluta di 1bar, mentre la linea orizzontale di colore blu è un'isobara alla pressione assoluta di 1 bar.
Il lavoro utile è dato dall'area di colore verde e può essere calcolato come differenza fra l'area al di sotto della curva di espansione adiabatica (area verde + area arancione) e l'area al di sotto della linea blu (area arancione). Quest'ultima rappresenta la fetta di lavoro perso a causa della presenza della pressione atmosferica (assunta per comodità uguale a 1bar).
Il valore dell'area al di sotto della curva rossa, cioè le due zone di colore verde e di colore arancione, è dato dalla seguente relazione (che è stata ricavata nel post intitolato "La trasformazione adiabatica")
Area verde + Area Arancione (da 10bar a 1bar) = Piniziale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )(1-gamma)/gamma – 1 ] / ( 1 - gamma ) =
= 1.100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 1.100.000Pa / 100.000Pa )(1-1,4)/1,4 – 1 ] / ( 1 - 1,4 ) =
= 1.100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 11 )-0,4/1,4 – 1 ] / ( -0,4 )
= 68.195 J = 68,195 kJ = 18,94 Wh
mentre il valore dell'area al di sotto della linea blu, cioè la zona di colore arancione, è dato da
Area arancione (da 11bar a 1bar) = Pfinale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )1/gamma - 1 ]
= 100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 1.100.000Pa / 100.000Pa )1/1,4 - 1 ]=
= 22.721 J = 22,721 kJ = 6,31 Wh
Il lavoro utile è dato dalla differenza fra i due termini trovati
Lavoro utile (da 10bar a 0bar) = Area verde + Area Arancione (da 10bar a 0bar) - Area Arancione (da 10bar a 0bar) = 68.195 J - 22.721 J = 45.474 J = 45,474 kJ = 12,6 Wh
e tale valore è il limite massimo ottenibile nel caso reale.
Nel caso in cui l'espansione non si protragga abbastanza per azzerare la pressione relativa all'interno del serbatoio, per determinare il massimo lavoro utile ottenibile è sufficiente calcolare quello ancora estraibile sfruttando la pressione residua nel serbatoio per poi sottrarlo al valore individuato per l'espansione completa.
Ipotizzando che la pressione finale sia di 6bar relativi, ovvero 7bar assoluti, si trova
Area verde + Area Arancione (da 6bar a 0bar)= Piniziale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )(1-gamma)/gamma – 1 ] / ( 1 - gamma ) =
= 700.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 700.000Pa / 100.000Pa )(1-1,4)/1,4 – 1 ] / ( 1 - 1,4 ) =
= 700.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 7 )-0,4/1,4 – 1 ] / ( -0,4 )
= 37.318 J = 37,318 kJ = 10,37 Wh
Area arancione (da 6bar a 0bar) = Pfinale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )1/gamma - 1 ]
= 100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 700.000Pa / 100.000Pa )1/1,4 - 1 ]=
= 15.073 J = 15,073 kJ = 4,19 Wh
Lavoro ancora ottenibile (da 6bar a 0bar) = Area verde + Area Arancione (da 6bar a 0bar) - Area arancione (da 6bar a 0bar) = 37.318 J - 15.073 J = 22.245 J = 22,245 kJ = 6,18Wh
Il massimo lavoro ottenibile da un serbatoio di 50 litri in cui la pressione relativa dall'aria compressa passa da 10bar a 6bar è pertanto pari a
Lavoro utile (da 10bar a 6bar) = Lavoro utile (da 10bar a 0bar) - Lavoro utile (da 6bar a 0bar) = 45.474 J - 22.245 J = 23.229 J = 23,229 kJ = 6,45 Wh
Essendo l'atmosfera terrestre composta in grandissima parte da ossigeno e azoto, due sostanze con molecola biatomica, i calcoli sono stati eseguiti approssimando il comportamento dell'aria con quello del gas biatomico ideale.
DATI IN INGRESSO
Tipo di fluido: Gas biatomico ideale
Coefficiente gamma dei processi adiabatici per il gas biatomico ideale: gamma = 7/5 = 1,4
Volume del serbatoio: V = 50 litri = 50dm³ = 0,05m³
Pressione relativa iniziale nel serbatoio: 10bar
Pressione assoluta iniziale nel serbatoio: Piniziale = Pressione relativa iniziale + 1 bar = 11 bar = 1.100.000 Pa
Pressione relativa finale nel serbatoio = 0bar
Pressione assoluta finale nel serbatoio: Pfinale = Pressione relativa finale + 1 bar = 1 bar = 100.000 Pa
CALCOLI
La figura di seguito illustra in modo grafico la soluzione del problema.
La curva rossa rappresenta il processo di espansione adiabatica dalla pressione assoluta di 11bar alla pressione assoluta di 1bar, mentre la linea orizzontale di colore blu è un'isobara alla pressione assoluta di 1 bar.
Il lavoro utile è dato dall'area di colore verde e può essere calcolato come differenza fra l'area al di sotto della curva di espansione adiabatica (area verde + area arancione) e l'area al di sotto della linea blu (area arancione). Quest'ultima rappresenta la fetta di lavoro perso a causa della presenza della pressione atmosferica (assunta per comodità uguale a 1bar).
Il valore dell'area al di sotto della curva rossa, cioè le due zone di colore verde e di colore arancione, è dato dalla seguente relazione (che è stata ricavata nel post intitolato "La trasformazione adiabatica")
Area verde + Area Arancione (da 10bar a 1bar) = Piniziale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )(1-gamma)/gamma – 1 ] / ( 1 - gamma ) =
= 1.100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 1.100.000Pa / 100.000Pa )(1-1,4)/1,4 – 1 ] / ( 1 - 1,4 ) =
= 1.100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 11 )-0,4/1,4 – 1 ] / ( -0,4 )
= 68.195 J = 68,195 kJ = 18,94 Wh
mentre il valore dell'area al di sotto della linea blu, cioè la zona di colore arancione, è dato da
Area arancione (da 11bar a 1bar) = Pfinale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )1/gamma - 1 ]
= 100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 1.100.000Pa / 100.000Pa )1/1,4 - 1 ]=
= 22.721 J = 22,721 kJ = 6,31 Wh
Il lavoro utile è dato dalla differenza fra i due termini trovati
Lavoro utile (da 10bar a 0bar) = Area verde + Area Arancione (da 10bar a 0bar) - Area Arancione (da 10bar a 0bar) = 68.195 J - 22.721 J = 45.474 J = 45,474 kJ = 12,6 Wh
e tale valore è il limite massimo ottenibile nel caso reale.
Nel caso in cui l'espansione non si protragga abbastanza per azzerare la pressione relativa all'interno del serbatoio, per determinare il massimo lavoro utile ottenibile è sufficiente calcolare quello ancora estraibile sfruttando la pressione residua nel serbatoio per poi sottrarlo al valore individuato per l'espansione completa.
Ipotizzando che la pressione finale sia di 6bar relativi, ovvero 7bar assoluti, si trova
Area verde + Area Arancione (da 6bar a 0bar)= Piniziale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )(1-gamma)/gamma – 1 ] / ( 1 - gamma ) =
= 700.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 700.000Pa / 100.000Pa )(1-1,4)/1,4 – 1 ] / ( 1 - 1,4 ) =
= 700.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 7 )-0,4/1,4 – 1 ] / ( -0,4 )
= 37.318 J = 37,318 kJ = 10,37 Wh
Area arancione (da 6bar a 0bar) = Pfinale ∙ V ∙ [ ( Piniziale / Pfinale )1/gamma - 1 ]
= 100.000Pa ∙ 0,05m³ ∙ [ ( 700.000Pa / 100.000Pa )1/1,4 - 1 ]=
= 15.073 J = 15,073 kJ = 4,19 Wh
Lavoro ancora ottenibile (da 6bar a 0bar) = Area verde + Area Arancione (da 6bar a 0bar) - Area arancione (da 6bar a 0bar) = 37.318 J - 15.073 J = 22.245 J = 22,245 kJ = 6,18Wh
Il massimo lavoro ottenibile da un serbatoio di 50 litri in cui la pressione relativa dall'aria compressa passa da 10bar a 6bar è pertanto pari a
Lavoro utile (da 10bar a 6bar) = Lavoro utile (da 10bar a 0bar) - Lavoro utile (da 6bar a 0bar) = 45.474 J - 22.245 J = 23.229 J = 23,229 kJ = 6,45 Wh
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