Il rigeneratore di calore - Parte seconda

Completiamo il quadro iniziato con il precedente post considerando il caso in cui agendo dall'esterno si fa in modo di mantenere costante la temperatura nelle due camere.
Per simulare questa situazione ipotizziamo di avere un contenitore cilindrico al cui interno viene fatto scorrere un pistone di materiale isolante forato in modo da mettere in comunicazione le due camere (per ulteriori dettagli si rimanda al post introduttivo) in cui le pareti opposte del cilindro sono termicamente conduttive e riescono a mantenere costante la temperatura del gas nella camera relativa.
Scegliamo di avere la parete sinistra alla temperatura calda, quindi il gas nella camera di sinistra viene mantenuto alla stessa temperatura calda, e la parete destra alla temperatura fredda, quindi il gas nella camera destra viene mantenuto alla stessa temperatura fredda.
Nell'animazione vengono rappresentati gli scambi termici con delle frecce gialle che indicano il verso di spostamento del calore.

L'animazione mostra che per mantenere costante la temperatura delle due camere è necessario un flusso di calore che conserva sempre lo stesso verso.
Nella camera sinistra le frecce puntano dalla parete calda verso il gas, cioè la parete cede calore al gas.
Nella camera destra, le frecce puntano dal gas verso la parete fredda, cioè il gas cede calore alla parete fredda.
L'effetto termico netto è perciò uno spostamento di calore dalla parete calda alla parete fredda.
Inoltre, mentre nella situazione adiabatica la pressione risulta indipentedente dalla posizione del pistone, ora, in condizioni di isotermia in ciascuna delle due camere, la pressione dipende dalla posizione del pistone: risulta massima con il pistone tutto a destra, minima con il pistone tutto a sinistra.
Vediamo ora cosa accade inserendo il rigeneratore.
Come nell'ultima animazione gli scambi termici sono rappresentati con delle frecce gialle che indicano il verso di spostamento del calore.

L'animazione mostra che per mantenere costante la temperatura delle due camere è necessario un flusso di calore dalle pareti verso il gas quando il pistone si muove da destra verso sinistra, cioè le pareti cedono energia termica al gas.
Invece, quando il pistone si muove da sinistra verso destra il flusso di calore è invertito, il calore passa dal gas verso le pareti conduttive, cioè le pareti acquistano energia termica.
L'effetto termico netto è nullo.
Non c'è nessun trasporto termico dalla parete calda alla parete fredda.
Per metà ciclo le pareti cedono energia ma la riacquistano nella restante metà ciclo.
Come nella situazione adiabatica la pressione risulta dipentedente dalla posizione del pistone e risulta massima con il pistone tutto a destra, minima con il pistone tutto a sinistra.
Concludiamo sottolineando il fatto che, rispetto all'esempio di rigenerazione in condizioni adiabatiche, il mantenimento delle temperatura massima a sinistra e della temperatura fredda a destra (isotermia) provoca una maggiore sollecitazione del rigeneratore di calore in quanto risulta maggiore il quantitativo di energia termica da accumulare e cedere.
Questa informazione viene mostrata nell'animazione colorando il rigeneratore di un rosa più intenso (rispetto al caso adiabatico) quando il pistone è tutto a sinistra, e di un azzurro più intenso (rispetto al caso adiabatico) quando il pistone è tutto a destra.
Il rigeneratore impedisce lo scambio termico fra parete calda e parete fredda, agisce cioè da separatore.
Quando il pistone si muove da destra verso sinistra, il calore che passa dalla parete calda al gas nella camera sinistra, poi viene accumulato nel rigeneratore.
Nella camera di destra la temperatura si abbassa e la parete fredda cede calore al gas.
Quando il pistone si muove da sinistra a destra, il rigeneratore cede calore al gas che lo attraversa, il gas nella camera sinistra diventa più caldo della parete calda e cede calore alla parete (nella stessa quantità che era stata ceduta in precedenza dalla parete al gas).
Nella camera di destra la temperatura aumenta e il gas cede calore alla parete fredda (nella stessa quantità che era stata ceduta dalla parete fredda al gas).

Il rigeneratore di calore

Analizziamo ora un'idea che risale all'anno 1816 e la cui paternità spetta al reverendo scozzese Robert Stirling.
Consideriamo inizialmente un sistema in cui non è presente il rigeneratore di calore.
Ipotizziamo di avere un contenitore cilindrico chiuso con pareti perfettamente isolanti.
Al suo interno un pistone in materiale isolante forato al centro in modo da mettere in comunicazione le camere create ai due lati del pistone.
Se il pistone è fermo e se il foro è sufficientemente piccolo da rendere trascurabile lo scambio termico fra le due camere, ma sufficientemente grande da ritenere istantaneo il raggiungimento dell'equilibrio pressorio, è possibile indurre una differenza di temperatura fra le due camere pur avendo la stessa pressione.
Quando dall'esterno si fa muovere avanti e indietro il pistone, l'equilibrio termico viene raggiunto rapidamente (cioè la temperatura ritorna ad essere la stessa nelle due camere).

Una curiosità da notare e su cui riflettere: la pressione durante tutto il processo non varia.
A primo avviso questo comportamento potrebbe apparire in contrasto con le variazioni termiche.
Vediamo insieme perchè deve essere necessariamente così.
Nelle fasi in cui il pistone è in movimento, l'energia termica del sistema è costante in quanto non sono possibili scambi di calore con l'esterno (il sistema è termicamente isolato) e neppure scambi di energia sotto forma di lavoro di volume (perchè il volume è fisso).
Raggiunto l'equilibrio termico, viene ripristinato lo squilibrio termico fornendo una certa quantità di calore alla camera sinistra e dissipando la stessa quantità di calore dalla camera destra. L'energia termica non varia.
Quindi durante tutto il ciclo l'energia termica è costante.
A questo punto è necessaria una considerazione teorica: se la quantità di gas e il volume sono costanti, T e P sono due diverse manifestazioni macroscopiche dell'energia termica posseduta dal gas (E_gas=n*Cv*T). Tale affermazione si dimostra direttamente utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti in cui n e V vengono posti costanti:

P = n*R*T/V = costante * T

Inoltre poichè

E_gas=n*Cv*T

si ha

T = E_gas / (n*Cv)

e quindi anche

P = costante * T = costante * E_gas / (n*Cv)

Se all'interno del foro vengono introdotti una serie di elementi in materiale termicamente conduttivo di capacità termica adeguata (per esempio una serie di placchette di rame o di alluminio) si manifesta il fenomeno della rigenerazione termica. L'insieme delle placchette può essere identificato con il nome di rigeneratore di calore. Anche in questo caso il movimento del pistone viene provocato dall'esterno.

L'animazione mostra un sensibile cambio di comportamento rispetto al caso precedente.
Una delle differenze è la variazione della pressione durante il ciclo.
La pressione cambia perchè viene scambiata energia termica fra il gas e le placchette di materiale conduttivo.
Quando il pistone è tutto a sinistra il rigeneratore è prevalentemente rosa, mentre quando il pistone è tutto a destra il rigeneratore è prevalentemente azzurro.
I due colori sono indice di due diverse temperature: il rosa indica una temperatura più elevata rispetto all'azzurro. L'energia termica presente nel rigeneratore prevalentemente rosa è superiore a quella del rigeneratore prevalentemente azzurro.
Poichè la pressione di un gas dipende dalla sua energia termica, se questa cambia perchè c'è scambio di calore con il rigeneratore, anche la pressione deve variare.
Il rigeneratore si comporta come accumulatore termico: si carica di energia termica quando viene attraversato dal gas caldo (movimento del pistone da destra a sinistra) e si scarica quando viene attraversato dal gas freddo (movimento del pistone da sinistra a destra).
A livello teorico la presenza del rigeneratore di calore di fatto impedisce il raggiungimento dell'equilibrio termico al gas.
In casi reali la cosa ovviamente non è mai possibile e la presenza del rigeneratore ritarda ma non impedisce il raggiungimento dell'equilibrio termico.

Per concludere, focalizziamo l'attenzione su un altro particolare interessante.
Quando il pistone è tutto a destra, il gas nella camera destra è azzurro, quello nella camera sinistra è rosso. Con lo spostamento del pistone verso sinistra il colore del gas nella camera destra si sposta progressivamente verso il blu (si raffredda), mentre il colore del gas nella camera sinistra sbiadisce verso il rosa (si raffredda).
Questo comportamento è dovuto al fatto che quando il pistone viene spostato, il gas che passa per il foro cede calore al rigeneratore, l'energia termica complessiva del gas si riduce perchè una parte viene ceduta al rigeneratore, quindi la pressione del sistema si abbassa. Se la pressione si abbassa significa che anche le temperature nelle due camere si abbassano.
Il ragionamento si inverte quando il pistone si trova tutto a sinistra e viene spostato verso destra.
Quando il pistone è tutto a sinistra, il gas nella camera destra è blu, quello nella camera sinistra è rosa. Con lo spostamento del pistone verso destra il colore del gas nella camera destra sbiadisce verso l'azzurro (si riscalda), mentre il colore del gas nella camera sinistra si sposta progressivamente verso il rosso (si riscalda).
Questo comportamento è dovuto al fatto che quando il pistone viene spostato, il gas che passa per il foro preleva calore dal rigeneratore, l'energia termica complessiva del gas aumenta perchè una parte viene prelevata al rigeneratore, quindi la pressione del sistema aumenta. Se la pressione aumenta significa che anche le temperature nelle due camere si alzano.

Il ciclo di Carnot

Dal momento che in un diagramma PV l'isoterma è una curva meno pendente della curva che rappresenta l'adiabatica, con due isoterme e due adiabatiche è possibile definire un ciclo conosciuto con il nome di ciclo di Carnot.
La sua importanza deriva dal fatto che esso definisce il limite superiore per il rendimento di conversione termomeccanica.
Quello in figura è relativo al gas monoatomico.

Poichè T_A=T_D e T_B=T_C è conveniente riferirsi alla prima con T_fredda e alla seconda con T_calda.

FASE	LAVORO DI VOLUME	CALORE SCAMBIATO
Adiabatica AB	n*Cv*(Tfredda-Tcalda)	0
Isoterma BC	n*R*Tcalda*ln(VC/VB)
Adiabatica CD	n*Cv*(Tcalda-Tfredda)	0
Isoterma DA	n*R*Tfredda*ln(VA/VD)

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e, utilizzando il primo metodo alternativo già discusso, risulta essere:

L = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA

In effetti, anche se l'equazione è espressa come somma di quattro termini, L_AB e L_DA hanno valori inferiori a zero.

Poichè

L_CD = n*Cv*(T_fredda-T_calda) = - n*Cv*(T_calda-T_fredda) = - L_AB

l'equazione del lavoro utile si semplifica in

L = L_BC + L_DA = n*R*T_calda*ln(V_C/V_B) + n*R*T_fredda*ln(V_A/V_D)

Per quanto riguarda gli scambi termici, l'unico calore introdotto nel sistema è quello relativo all'isoterma BC

Q_BC = n*R*T_calda*ln(V_C/V_B)

pertanto il rendimento del ciclo risulta:

Rendimento = L/Q_BC = [ n*R*T_calda*ln(V_C/V_B) + n*R*T_fredda*ln(V_A/V_D) ] / n*R*T_calda*ln(V_C/V_B)=
= 1 + T_fredda*ln(V_A/V_D) / T_calda*ln(V_C/V_B) = 1 + [ T_fredda/T_calda ] * ln(V_A/V_D) / ln(V_C/V_B)

Si può dimostrare che ln(V_A/V_D) / ln(V_C/V_B) = -1, quindi l'ultima equazione si semplifica in

Rendimento = L/Q_BC = 1 - T_fredda/T_calda

Questa formula ha validità generale e, per qualsiasi ciclo termico che lavori fra T_fredda e T_calda, essa rappresenta il limite superiore per il rendimento.


Esaminiamo in dettaglio un paio di esempi con i numeri.

Nella prima tabella sono riassunti per i tre tipi di gas (monoatomico, biatomico e poliatomico) prima le coordinate dei 4 punti A,B,C,D e poi, nel riepilogo, il lavoro utile, i calori scambiati e il rendimento.
I numeri in tabella mostrano che a parità di T_fredda, T_calda, V_B e V_D per i tre casi, per i punti A, e C cambiano i valori di V e P.
A queste condizioni il rendimento è indipendente dal tipo di gas, ma risulta che il gas monoatomico consente di ottenere il maggior lavoro di volume e il gas poliatomico il minor lavoro di volume.
Naturalmente, poichè il rendimento è lo stesso, questo vuol dire che il gas monoatomico trasferisce una quantità di calore maggiore dalla sorgente a T_calda al serbatoio a T_fredda.

PUNTO	Temperatura	P,V MONOATOMICO	P,V BIATOMICO	P,V POLIATOMICO
A	303K (30°C)	1,31m3, 229kPa	1,57m3, 191kPa	1,88m3, 159kPa
B	363K (90°C)	1m3, 359kPa
C	363K (90°C)	2,29m3, 157kPa	1,91m3, 188kPa	1,59m3, 225kPa
D	303K (30°C)	3m3, 100kPa
RIEPILOGO
Calore fornito		297kJ	232kJ	168kJ
Calore dissipato		-248kJ	-194kJ	-140kJ
Lavoro Utile		49kJ	38kJ	28kJ
Rendimento		16,5%

I numeri nella prossima tabella mostrano che a parità di volume nei quattro punti A,B,C,D del ciclo (cioè a parità di macchina termica) e con l'isoterma DA in comune per i tre casi, cambiano i valori di P e T per i punti B,C.
Quest'ultima in particolare è la T_calda e risulta la più alta nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico e la più bassa per quello poliatomico.
E infatti il rendimento aumenta passando dal gas poliatomico, al gas biatomico, al gas monoatomico.
Oltre ad un migliore rendimento, il gas monoatomico consente di ottenere anche un maggior lavoro utile per ciclo.

PUNTO	Volume	P,T MONOATOMICO	P,T BIATOMICO	P,T POLIATOMICO
A	1,31m3	229kPa, 303K (30°C)
B	1m3	359kPa, 363K (90°C)	334kPa, 338K (65°C)	324kPa, 328K (54°C)
C	2,29m3	157kPa, 363K (90°C)	146kPa, 338K (65°C)	142kPa, 328K (54°C)
D	3m3	100kPa, 303K (30°C)
RIEPILOGO
Calore fornito		297kJ	277kJ	268kJ
Calore dissipato		-248kJ
Lavoro Utile		49kJ	28kJ	20kJ
Rendimento		16,5%	10,3%	7,4%

Trasformazioni isoterme e trasformazioni adiabatiche: considerazioni sugli scambi energetici

Nella tabella che segue viene confrontata la trasformazione isoterma con la trasformazione adiabatica.
Nell'isoterma la quantità di calore scambiato coincide con il lavoro di volume.
Nell'adiabatica lo scambio termico è nullo per definizione.
Mentre il lavoro compiuto da un gas in una trasformazione isoterma è indipendente dal tipo di gas, nel caso di una trasformazione adiabatica il lavoro di volume dipende dal tipo di gas attraverso il valore di Cv.
L'energia termica del gas (E_gas=n*Cv*T) non varia durante una trasformazione isotermica, quindi tutti i punti della curva isoterma sono isoenergetici.
In una trasformazione adiabatica l'energia termica del gas cambia e la sua variazione è pari al lavoro di volume cambiato di segno.

TRASFORMAZIONE ISOTERMA	TRASFORMAZIONE ADIABATICA
P*V=costante, T=costante, P e V variabili	P*VCp/Cv=costante, P, V e T variabili
Q = n*R*T*ln(Vfinale/Viniziale)	Q = 0
L = n*R*T*ln(Vfinale/Viniziale)	L = n*Cv*(Tiniziale-Tfinale)
Indipendente dal tipo di gas	Dipendente dal tipo di gas
Egas = costante	Egas,finale - Egas,iniziale = - L

E' pratica comune far riferimento al rapporto Cp/Cv come costante gamma.
Di seguito sono confrontate la curva che descrive l'isoterma e le tre curve adiabatiche nei piani P-V e T-V.

Una cosa importante da notare è che la minore variazione di pressione (temperatura) per una stessa variazione di volume si ha con l'isoterma, mentre la maggiore variazione di pressione (temperatura) si ha con l'adiabatica del gas monoatomico.
Nel caso di espansione questo significa che:

P_{Finale Isoterma} > P_{Finale Adiabatica Poliatomica} > P_{Finale Adiabatica Biatomica} > P_{Finale Adiabatica Monoatomica}
T_{Finale Isoterma} > T_{Finale Adiabatica Poliatomica} > T_{Finale Adiabatica Biatomica} > T_{Finale Adiabatica Monoatomica}

Nel caso di compressione questo significa che:

P_{Finale Isoterma} < P_{Finale Adiabatica Poliatomica} < P_{Finale Adiabatica Biatomica} < P_{Finale Adiabatica Monoatomica}
T_{Finale Isoterma} < T_{Finale Adiabatica Poliatomica} < T_{Finale Adiabatica Biatomica} < T_{Finale Adiabatica Monoatomica}

Spostando l'attenzione al lavoro di volume (rappresentato nel diagramma PV dall'area sottesa dalla curva di trasformazione) e limitando la discussione al caso dell'espansione:

L_Isoterma > L_{Adiabatica Gas Poliatomico} > L_{Adiabatica Gas Biatomico} > L_{Adiabatica Gas Monoatomico}

Quanto appena detto si può esprimere in un'altra chiave di lettura con questa considerazione: poichè il tipo di gas è caratterizzato da una particolare curva adiabatica, se determino la curva adiabatica individuo il tipo di gas.

Il gas che nella trasformazione adiabatica genera più lavoro (il poliatomico) è anche quello che varia meno di pressione e temperatura. Questo risultato apparentemente paradossale trova la sua spiegazione nel fatto che, a parità di temperatura, il gas poliatomico accumula una maggiore quantità di energia termica (Cv_{gas poliatomico} > Cv_{gas biatomico} > Cv_{gas monoatomico}).

P*V=n*R*T: considerazioni laterali

I due termini dell'equazione di stato dei gas perfetti, P*V da un lato ed n*R*T dall'altro, dal punto di vista dimensionale sono delle energie, e come già visto, scegliendo opportunamente le unità di misura delle singole grandezze, risultano espressi in Joule.
Tuttavia, anche se dal punto di vista dimensionale i due termini sono un'energia, non possono essere identificati nè con l'energia potenziale meccanica del gas, nè con l'energia termica del gas. Di seguito trovate un ragionamento geometrico volto ad attribuire un significato fisico ai due termini.
Un punto sul piano PV definisce lo stato di un gas in maniera parziale.
Per completarne la definizione è necessario specificare anche la temperatura o la quantità di gas.
Quindi per rappresentare correttamente lo stato di un gas servono tre grandezze e quindi un diagramma tridimensionale.
Se questa osservazione è certamente vera da un lato, dall'altro limitare la discussione sul solo piano PV è conveniente.
Per esempio, quando si analizzano i cicli termodinamici, la rappresentazione del lavoro di volume avviene in modo immediato in quanto è l'area sottesa dai tratti che rappresentano le trasformazioni che compongono il ciclo.

Dal punto di vista fisico i punti che compongono gli assi cartesiani non sono accessibili perchè con n diverso da 0, avere P=0 o V=0, implica T=0K cioè il raggiungimento dello zero assoluto.
A livello teorico invece, i punti sugli assi cartesiani diventano accessibili e hanno una proprietà interessante.
Infatti ad uno spostamento sugli assi l'energia del sistema non cambia: il calore scambiato è sempre nullo perchè la temperatura non varia (T è sempre nulla), il lavoro di volume lungo l'asse della pressione è nullo perchè non varia il volume (V è sempre nullo) e il lavoro di volume lungo l'asse dei volumi è nullo perchè la pressione è nulla.
I punti sugli assi hanno la proprietà di essere isoenergetici (energia di punto zero).
In altre parole, per variare il volume con P=0 oppure la pressione con V=0 il sistema non assorbe e non produce alcuna forma di energia.

Per quanto riguarda l'energia che va fornita al sistema gas per raggiungere il punto di coordinate P_A, V_A, T_A sono mostrati due percorsi alternativi: la trasformazione isocora (che inizia nel punto V=V_A, P=0, T=0) e la trasformazione isobara (che inizia nel punto V=0, P=P_A, T=0).
E' stato già detto che per l'isocora l'unica forma di energia scambiata fra sistema e ambiente esterno è l'energia termica (calore) ed è pari a Q=n*Cv*T_A.
E' ragionevole considerare questa relazione come definizione per l'energia termica del sistema gas:

E_gas = n * Cv * T

Per l'isobara il calore fornito al sistema è pari a Q=n*Cp*T_A ma durante la trasformazione avviene una perdita di energia sotto forma di lavoro di volume L=P_A*V_A (che corrisponde all'area di colore verde).
Il termine P*V è pertanto il lavoro di volume associato alla trasformazione isobara dallo stato con V=0, P=P_A, T=0 allo stato con V=V_A, P=P_A, T=T_A.
Dall'equazione di stato P_A*V_A=n*R*T_A e pertanto anche il termine n*R*T assume lo stesso significato del termine P*V.
A seguito della trasformazione isobara l'energia del sistema è espressa perciò dalla seguente relazione:

E_gas = n * Cp * T - n * R * T

e poichè lo stato raggiunto dall'isobara coincide con lo stato raggiunto dall'isocora

n * Cp * T_A - n * R * T_A = n * Cv * T_A

da cui

Cp - R = Cv

La tabella dei calori specifici già vista col post precedente viene riproposta per agevolare la verifica dell'ultima relazione.

Tipo di gas	Cp	Cv
Monoatomico	5R/2	3R/2
Biatomico	7R/2	5R/2
Poliatomico	9R/2	7R/2

Come ultimo spunto, consideriamo un particolarissimo ciclo isobaro/isocoro. Nella tabella che segue ne trovate la definizione assieme ai calori scambiati, al lavoro utile e al rendimento.

FASE	CALORE SCAMBIATO	LAVORO DI VOLUME
Isobara a P=PA da V=0 a V=VA	n*Cp*TA	PA*VA=n*R*TA
Isocora a V=VA da P=PA a P=0	n*Cv*(-TA)	0
Isobara a P=0 da V=VA a V=0	0	0
Isocora a V=0 da P=0 a P=PA	0	0

RIEPILOGO
Calore fornito	n*Cp*TA
Calore dissipato	n*Cv*TA
Lavoro Utile	n*R*TA
Rendimento	R/Cp

Per questo particolarissimo ciclo risulta che il rendimento dipende dal tipo di gas, e vale 2/5 per il gas monoatomico, 2/7 per il gas biatomico, 2/9 per il gas poliatomico.
E' curioso il fatto che per questo ciclo il rendimento è indipendente dalla temperatura T_A.

Trasformazioni isocore e trasformazioni isobare: considerazioni sugli scambi energetici

Nella tabella che segue viene confrontata la trasformazione isobara con la trasformazione isocora.
Per entrambi i processi il calore scambiato è direttamente proporzionale al salto termico e alla quantità di gas. La costante di proporzionalità prende il nome di calore specifico a pressione costante (Cp) per l'isobara e calore specifico a volume costante (Cv) per l'isocora.
Una differenza sostanziale tra le due trasformazioni è che all'isobara risulta associato un lavoro di volume (L) mentre nell'isocora il lavoro di volume è sempre nullo.

TRASFORMAZIONE ISOBARA	TRASFORMAZIONE ISOCORA
P=costante, V e T variabili	V=costante, P e T variabili
Linea orizzontale in un diagramma P-V	Linea verticale in un diagramma P-V
Q = n * Cp * (Tfinale - Tiniziale)	Q = n * Cv * (Tfinale - Tiniziale)
L = P * (Vfinale - Viniziale)	L = 0

Cp e Cv cambiano con il numero di atomi che compongono la particella elementare del gas. Limitando la discussione al livello teorico si distinguono tre casi limite: gas monoatomico, gas biatomico e gas poliatomico.

Tipo di gas	Cp	Cv
Monoatomico	5R/2	3R/2
Biatomico	7R/2	5R/2
Poliatomico	9R/2	7R/2

RAGIONIAMO INSIEME

Con due isocore e due isobare è possibile definire un ciclo.
La sua rappresentazione in un diagramma P-V è un rettangolo in cui i lati verticali costituiscono le isocore e quelli orizzontali le isobare.
Lo stesso ciclo rappresentato sul piano T-V è costituito da 2 tratti verticali che rappresentano le isocore e da due tratti obliqui che rappresentano le isobare.

Il ciclo in figura è senza dubbio un ciclo curioso.
L'inizio è nel punto A. Quando il gas è nello stato rappresentato dal punto A ha la temperatura T_A.
Al punto B la pressione raddoppia rispetto al punto A e lo stesso è vero per la temperatura: T_B = 2 * T_A.
Nel punto C rispetto al punto B è il volume che raddoppia e di conseguenza raddoppia pure la temperatura: T_C = 2 * T_B.
In D la pressione dimezza rispetto al punto C e ovviamente dimezza anche la temperatura: T_D = T_C / 2.
Nel ritorno al punto A dal punto D il volume si riduce alla metà e la temperatura fa lo stesso: T_A = T_D / 2.

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e vale:

DeltaP * DeltaV = (200.000Pa-100.000Pa) * (2m³-1m³) = 100.000J = 100kJ

Il valore è di per se elevato, ma va considerato che i volumi coinvolti sono molto grandi (1-2m³).
Il calcolo dell'area verde può essere effettuato anche in altri due modi che torneranno utili in altre occasioni.
Il primo metodo alternativo è quello di sottrarre l'area gialla dall'area del rettangolo formato dalla zona gialla e dalla zona verde.
Il secondo metodo alternativo è quello di sottrarre l'area rossa dall'area del rettangolo formato dalla zona rossa e dalla zona verde.

Per valutare il rendimento termico del ciclo bisogna vanno calcolati i calori scambiati nelle varie fasi del ciclo.
Per stabilire le temperature nei punti A,B,C,D e la quantità di gas (n) è sufficiente definire una temperatura di riferimento oppure la quantità di gas.

Ipotizzando T_A = 298,15K (30°C)

si trova:

n=40,36mol

T_B=T_D=596,3K (323,15°C)

T_C=1192,6K (919,45°C)

A questo punto la valutazione delle energie scambiate è immediata.
Nella tabella di seguito vengono riportati i risultati per i tre casi limite: gas monoatomico, gas biatomico, gas poliatomico.

FASE	MONOATOMICO	BIATOMICO	POLIATOMICO
Riscaldamento isocoro	150kJ	250kJ	350kJ
Riscaldamento isobaro	500kJ	700kJ	900kJ
Raffreddamento isocoro	-300kJ	-500kJ	-700kJ
Raffreddamento isobaro	-250kJ	-350kJ	-450kJ
RIEPILOGO
Calore fornito	650kJ	950kJ	1250kJ
Calore dissipato	-550kJ	-850kJ	-1150kJ
Lavoro Utile	100kJ	100kJ	100kJ
Rendimento	15,4%	10,5%	8,0%

I numeri in tabella mostrano che variando il tipo di gas il lavoro utile non cambia mentre invece variano i calori scambiati e di conseguenza il rendimento del ciclo. L'efficienza massima si ha con il gas monoatomico (15,4%) mentre quella minima si ha con il gas poliatomico (8,0%).

L'equazione di stato dei gas perfetti: istruzioni per l'uso

Lo stato di un gas perfetto è univocamente determinato quando sono noti P (pressione), V (volume), n (quantità di gas) e T (temperatura).

Tali grandezze sono vincolate fra loro dall'equazione di stato dei gas perfetti.

Esprimendo T in Kelvin (simbolo K), l'equazione assume la forma semplificata:

P * V = n * R * T

dove R è la costante dei gas e il suo valore (e quindi la sua unità di misura) dipende dalle unità di misura adottate per P, V e n.

La scelta delle unità di misura è arbitraria, ma la combinazione che permette di semplificare maggiormente la trattazione nel caso dei cicli termodinamici è la seguente:

Pressione, P, espressa in Pascal (simbolo Pa, 1 Pa = 1 N m^-2, dove N è il simbolo del Newton)

Volume, V, espresso in m³

Quantità di gas, n, espressa in moli (simbolo mol)

In questo caso particolare la costante dei gas R assume il valore di 8,31 J mol^-1 K^-1.

È fondamentale notare e tenere sempre a mente che l'uso dell'equazione e in particolare della costante è vincolato al rispetto delle unità di misura indicate.