Il ciclo isobaro-isocoro del vapore

Il sistema liquido-vapore permette la realizzazione di diversi cicli di lavoro e ognuno di essi presenta punti di forza e punti di debolezza.
In questo post viene presentato e analizzato quello isobaro-isocoro la cui peculiarità è quella di avere il primato del maggior lavoro utile associato però ad un modesto rendimento.

Nell'animazione proposta di seguito è schematizzato un motore a vapore che funziona con il ciclo isobaro-isocoro.

Sulla destra ci sono il condensatore, la pompa e la caldaia. Sulla sinistra c'è il motore di cui sono stati rappresentati il cilindro, il pistone e due valvole pilotate.
La pompa trasferisce il liquido dal condensatore alla caldaia.
In caldaia viene fornito il calore per la vaporizzazione ed eventualmente per il surriscaldamento del vapore.
Per quanto già visto, la pressione in caldaia è determinata dalla temperatura del liquido.
Quando la valvola superiore (valvola di immissione) è aperta, la valvola inferiore (valvola di scarico) è chiusa e il vapore in pressione entra nel motore e spinge il pistone verso sinistra.
La pressione in caldaia durante la fase di espansione resta costante se viene fornito calore sufficiente per generare la quantità di vapore che entra nel motore.
Al punto morto superiore (pistone completamente a sinistra), la valvola di immissione si chiude e poi si apre la valvola di scarico.
La pressione si porta al valore di quella presente nel radiatore freddo che a sua volta è determinata dalla temperatura della parete più fredda del condensatore. Se la dissipazione termica è sufficiente a mantenere costante la temperatura della parete più fredda, la pressione all'interno del condensatore non varia.
Il pistone si muove verso destra e scarica il vapore. All'interno del condensatore il vapore cambia di fase e diventa liquido.
Al punto morto inferiore (pistone completamente a destra), la valvola di scarico si chiude, poi si apre la valvola di immissione e il vapore ad alta pressione inizia di nuovo ad entrare in camera.
Il ciclo si completa con il pompaggio in caldaia del liquido che si forma nel condensatore.

Nello schema animato proposto si individuano quattro elementi distinti ciascuno con la propria funzione:
1) la caldaia è lo scambiatore caldo
2) il motore è la parte attiva che converte l'energia potenziale del vapore generato in caldaia in lavoro
3) il condensatore è lo scambiatore freddo
4) la pompa è la parte passiva che ripristina il liquido in caldaia consumando lavoro per incrementare l'energia potenziale del liquido

Per quanto riguarda il lavoro utile prodotto dal motore, il calcolo si limita a valutare l'area del ciclo mostrato nell'animazione.
Trattandosi di un rettangolo la cui base è la variazione di volume e la cui altezza è la differenza di pressione esistente fra la caldaia e il condensatore il calcolo da effettuare è il seguente

L_motore = ( P_caldaia - P_condensatore ) * ( V_massimo - V_minimo )

dove

L_motore è il lavoro prodotto per ciclo espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
P_condensatore è la pressione nel condensatore espressa in Pa
V_massimo è il volume massimo del motore espresso in m³
V_minimo è il volume minimo del motore espresso in m³

Si noti che in figura è stato rappresentato il caso molto particolare (e in pratica mai realizzabile) in cui V_minimo è nullo.

Per quanto riguarda il lavoro consumato per il pompaggio il calcolo è analogo, ma il volume con cui moltiplicare la differenza di pressione è quello del liquido pompato

L_pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * V_liquido

dove

L_pompa è il lavoro utilizzato per ciclo espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
P_condensatore è la pressione nel condensatore espressa in Pa
V_liquido è il volume del liquido pompato espresso in m³

Il lavoro utile per ciclo è dato dalla seguente equazione

L = L_motore - L_pompa

Essendo il volume del liquido (V_liquido) più piccolo della variazione di volume del motore (V_massimo - V_minimo), il lavoro utile per ciclo è positivo.

Per quanto riguarda il calore fornito al sistema, il calcolo viene scomposto in più parti per rendere più chiaro cosa accade nei vari stadi.

PRIMO STADIO
Riscaldamento del liquido in caldaia dalla temperatura di condensazione alla temperatura di ebollizione

Il processo avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q1 = Cp_medio * n * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} )

dove

Q1 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{condensazione} e T_{vaporizzazione} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di liquido espressa in moli
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K
T_{condensazione} è la temperatura di condensazione espressa in K

SECONDO STADIO
Vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione

Questo è un processo di tipo isotermo e contemporaneamente anche di tipo isobaro.
Per quanto già visto il calore fornito per la transizione di fase liquido-vapore è valutabile come segue

Q2 = n * ΔH_vap(T_{vaporizzazione})

dove

Q2 è il calore scambiato nel processo espresso in J
n è la quantità vaporizzata espressa in moli
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}) è l'entalpia molare di vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione espressa in J mol^-1

TERZO STADIO (OPZIONALE)
Surriscaldamento del vapore in caldaia dalla temperatura di vaporizzazione alla temperatura di surriscaldamento

Il processo, opzionale nel senso che può esserci o non esserci, avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q3 = Cp_medio * n * ( T_{surriscaldamento} - T_{vaporizzazione} )

dove

Q3 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{vaporizzazione} e T_{surriscaldamento} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di vapore espressa in moli
T_{surriscaldamento} è la temperatura di surriscaldamento espressa in K
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K

L'esempio numerico proposto alla fine del post mostrerà che con il ciclo isobaro-isocoro è possibile ottenere un lavoro utile per ciclo considerevole anche con cilindrate accettabili. Questa condizione permette di ottenere potenze fruibili anche a bassi regimi di rotazione.
Tuttavia se da un lato il lavoro utile per ciclo è elevato, non lo è altrettanto il rendimento. Il surriscaldamento permette di migliorarlo, ma l'incremento è modesto.
Nell'esempio si passerà dal 7,4% di rendimento con vapore saturo a 10bar (circa 180°C) all'8,3% con un surriscaldamento a 250°C.

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ESEMPIO NUMERICO

DATI IN INGRESSO
Fluido di lavoro: acqua

Volume_massimo motore: 1 dm³ = 0,001 m³
Volume_minimo motore: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)

Densità del liquido a T_{condensazione} e 1 bar = 958,63 kg m^-3 = 0,95863 g cm^-3
Pressione nel condensatore: 100.000Pa = 1bar
Temperatura di condensazione: 99,6°C = 372,75K

Cp_{medio,liquido}: 77,4 J mol^-1 K^-1 = 4,297 J g^-1 K^-1

Pressione in caldaia: 1.000.000Pa = 10bar
Temperatura di vaporizzazione: 179,9°C = 453,05K
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}): 34.278 J mol^-1 = 2014,6 J g^-1
Densità vapore a T_{vaporizzazione} e 10bar (vapore saturo): 5,1451 kg m^-3 = 5,1451 g dm^-3

Cp_medio,vapore: 42,66 J mol^-1 K^-1 = 2,368 J g^-1 K^-1

Temperatura di surriscaldamento: 250°C = 523,15K
Densità vapore a T_{surriscaldamento} e 10bar (vapore surriscaldato): 4,2965 kg m^-3 = 4,2965 g dm^-3


DATI IN USCITA

SENZA SURRISCALDAMENTO
Massa di vapore consumata per ciclo senza surriscaldamento = m_saturo =
= Volume_massimo motore * densità vapore saturo =
= 1 dm³ * 5,1451 g dm^-3 =
= 5,1451g

Calore di riscaldamento del liquido da T_{condensazione} a T_{vaporizzazione} = Q1 =
= massa * Cp_medio * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} ) =
= 5,1451g * 4,297 J g^-1 K^-1 * ( 453,05K - 372,75K ) =
= 1.775,3J

Calore latente di vaporizzazione = Q2 =
= massa * ΔH_vap =
= 5,1451g * 2014,6 J g^-1 =
= 10.365,3J

Calore fornito = Q1 + Q2 = 1.775,3J + 10.365,3J = 12.140,6J

Lavoro motore =
= ( Pressione in caldaia - Pressione nel condensatore ) * ( Volume_massimo motore - Volume_minimo motore ) =
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * ( 0,001m³ - 0m³ ) =
= 900,0J

Volume di liquido da pompare = massa / densità del liquido =
= 5,1451g / 0,95863 g dm^-3 =
= 5,37cm³ = 0,00000537 m³

Lavoro pompa = ( Pressione in caldaia - Pressione nel condensatore ) * Volume di liquido da pompare =
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * 0,00000537 m³ =
= 4,8J

Lavoro utile = Lavoro motore - Lavoro pompa = 900,0J - 4,8J = 895,2J

Rendimento = Lavoro utile / Calore fornito = 895,2J / 12.140,6J = 0,074 (7,4%)

CON SURRISCALDAMENTO
Massa di vapore consumata per ciclo con surriscaldamento: m_{surriscaldato} =
= Volume_massimo motore * densità vapore saturo =
= 1 dm³ * 4,2965 g dm^-3 =
= 4,2965 g

Calore di riscaldamento del liquido da T_{condensazione} a T_{vaporizzazione} = Q1 =
= massa * Cp_medio * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} ) =
= 4,2965g * 4,297 J g^-1 K^-1 * ( 453,05K - 372,75K ) =
= 1.482,5J

Calore latente di vaporizzazione = Q2 =
= massa * ΔH_vap =
= 4,2965g * 2014,6 J g^-1 =
= 8.655,7J

Calore per il surriscaldamento del vapore da T_{vaporizzazione} a T_{surriscaldamento} = Q3 =
= massa * Cp_medio * ( T_{surriscaldamento} - T_{vaporizzazione} ) =
= 4,2965g * 2,368 J g^-1 K^-1 * ( 523,15K - 453,05K ) =
= 713,2J

Calore fornito = Q1 + Q2 + Q3 = 1.482,5J + 8.655,7J + 713,2J = 10.851,4J

Lavoro motore =
= ( Pressione in caldaia - Pressione nel condensatore ) * ( Volume_massimo motore - Volume_minimo motore )=
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * 0,001m³ =
= 900,0J

Volume di liquido da pompare = massa / densità del liquido =
= 4,2965g / 0,95863 g dm^-3 = 4,48cm³ =
= 0,00000448 m³

Lavoro pompa = ( Pressione in caldaia - Pressione nel condensatore ) * Volume di liquido da pompare =
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * 0,00000448 m³ =
= 4,0J

Lavoro utile = Lavoro motore - Lavoro pompa = 900,0J - 4,0J = 896,0J

Rendimento = Lavoro utile / Calore fornito = 896,0J / 10.851,4J = 0,083 (8,3%)

TABELLA RIASSUNTIVA
PARAMETRO	Vapore saturo a 10 bar (179,9°C)	Vapore surriscaldato a 250°C
Lavoro motore	900,0 J	900,0 J
Massa vapore consumato	5,5 g	4,3 g
Lavoro pompa	4,8 J	4,0 J
Lavoro utile	895,2 J	896,0 J
Riscaldamento del liquido = Q1	1.775,3 J	1.482,5 J
Vaporizzazione = Q2	10.365,3 J	8.655,7 J
Surriscaldamento vapore = Q3	-	713,2 J
Calore fornito	12.140,6 J	10.851,4 J
Rendimento	7,4%	8,3%

OSSERVAZIONI

Guardando la tabella riepilogativa è possibile fare alcune considerazioni.
La prima è che il lavoro del motore è indipendente dalla presenza o meno del surriscaldamento (900J in entrambe le condizioni).
E' importante capire che questo valore è in sè poco significativo. Quello che conta in pratica è il lavoro utile e il rendimento. E tali valori migliorano in caso di surriscaldamento passando da 895,2J a 896,0J e dal 7,4% all'8,3%.
L'aumento di rendimento è dovuto in piccola parte all'aumento del lavoro utile. Molto maggiore è il contributo derivante dalla diminuzione del calore fornito.
Il surriscaldamento riduce la quantità di vapore consumata, in quanto il vapore surriscaldato è più rarefatto del vapore saturo.
Il minor consumo di vapore determina un minor lavoro di pompaggio per il ripristino del liquido in caldaia (e questo determina un aumento del lavoro utile che passa da 895,2J a 896,0J con un incremento dello 0,09%).
Per quanto riguarda il risparmio termico, in presenza di surriscaldamento, diminuisce la componente Q1 (riscaldamento del liquido) e Q2 (vaporizzazione) ma compare la componente Q3 (surriscaldamento del vapore).
Tali variazioni producono complessivamente un risparmio all'apporto di calore (si passa da 12.140,6J a 10.851,4J con una diminuzione del 10,6%).