Colibrì Vs Uniflow Vs Rankine: considerazioni laterali

Continua in questo post il confronto fra i cicli termodinamici del Colibrì, del motore Uniflow e Rankine. Di seguito viene ripreso l'ultimo grafico presentato nella precedente pubblicazione.

Il diagramma in figura è quello relativo al ciclo Rankine e in base ai dati riportati risulta che un motore che sfrutta questo ciclo dovrebbe avere un volume massimo della camera di espansione poco superiore ai 150cm³ contro i 100cm³ del motore Uniflow e del Colibrì.
Poichè la cilindrata aumenta del 50% mentre il lavoro utile aumenta di molto meno (+26% rispetto al Colibrì, +11% rispetto all'Uniflow), da quest'analisi risulta che un motore a ciclo Rankine è caratterizzato da un rapporto lavoro/volume minore rispetto agli altri due.

Va chiarito però che quella appena considerata è una situazione molto particolare che è stata adottata perchè permette il confronto diretto fra i vari motori; in realtà la graduatoria viene alterata per la presenza del volume al punto morto superiore (volume nel punto E).

Infatti, ipotizzando di ridurre tale volume fino al limite di azzerarlo mantenendo però lo stesso consumo di vapore, il ciclo si sposta verso sinistra, la compressione adiabatica sparisce e compare una trasformazione isocora a V=0.
Nella figura che segue è rappresentato in colore viola il ciclo Rankine ideale in cui il volume al PMS è nullo.

In questo caso la cilindrata del motore si riduce a un valore di poco superiore ai 50cm³, ovvero approssimativamente alla metà rispetto a quella del Colibrì e dell'Uniflow.
In questa nuova situazione risulta che il motore a ciclo Rankine con un volume al PMS nullo è quello caratterizzato dal miglior rapporto lavoro/volume (2-2,5 volte maggiore rispetto all'Uniflow e al Colibrì).

Quest'ultimo ciclo termodinamico resta comunque un'idealizzazione spinta del sistema reale perchè in pratica è impossibile costruire un motore con un volume al PMS rigorosamente nullo.

Colibrì Vs Uniflow Vs Rankine

Come annunciato nei commenti scritti qualche giorno fa, in questo post viene confrontato il ciclo termodinamico del motore Colibrì con il ciclo Rankine passando per il ciclo relativo al motore Uniflow.
I tre cicli sono stati costruiti riprendendo le stesse condizioni operative adottate nei post precedenti.
Si puntualizza che i diagrammi mostrati di seguito usano esattamente lo stesso quantitativo di vapore per ciclo (0,03492g). L'assorbimento termico nei tre casi è pertanto identico e pari a 82,4J.

Nell'immagine che segue è rappresentato il ciclo del Motore Colibrì. Per i dettagli sul ciclo si rimanda al post dedicato.

Il motore Uniflow adotta la stessa soluzione del Colibrì per quanto riguarda lo scarico del vapore, mentre è provvisto di una valvola pilotata per quanto concerne l'immissione del vapore.
Il pilotaggio della valvola rende possibile sia l'estrazione del lavoro isobaro, sia l'annullamento della differenza di pressione esistente fra la camera di espansione e l'immissione al momento dell'apertura della luce di carico eliminando pertanto il problema del volume ladro.
Di seguito è graficato il ciclo di un motore Uniflow.

La curva di compressione, che nel Colibrì parte dal punto C per interrompersi al punto D, nell'Uniflow prosegue fino al punto E. In tale punto la pressione nel motore uguaglia la pressione di immissione.
Nel punto E si apre la valvola di carico e inizia il processo isobaro fino al punto A.
A questo punto la valvola di carico si chiude e comincia l'espansione adiabatica fino al punto B.
Al punto B si apre la luce di scarico e la pressione ritorna al punto C con processo isocoro.
Il diagramma mostra che, rispetto all'area del Colibrì, l'area del ciclo dell'Uniflow, cioè il suo lavoro utile, aumenta della superficie di colore verde (1,5J).

La prossima immagine è relativa al ciclo Rankine, che dal punto di vista teorico rappresenta il massimo ottenibile con il vapore.

Nel ciclo Rankine oltre alla valvola di carico, viene opportunamente pilotata anche la valvola di scarico.
Mentre nel ciclo Uniflow (e in quello del Colibrì) l'espansione adiabatica viene troncata nel punto B, nel ciclo Rankine l'espansione prosegue fino al punto F. In tale punto la pressione nel motore uguaglia la pressione allo scarico.
A questo punto si apre la valvola di scarico e inizia un processo isobaro fino al punto C.
Nel punto C la luce di scarico si chiude e inizia la compressione adiabatica e il resto del ciclo prosegue nello stesso modo già visto per il caso Uniflow.
Il diagramma mostra che, rispetto all'area del Colibrì, l'area del ciclo Rankine, cioè il suo lavoro utile, aumenta della superficie di colore verde (1,5J) e della superficie di colore rosso (1,3J).

Nella tabella che segue sono stati raccolti i dati relativi ai tre cicli appena discussi.

	Lavoro utile	Calore assorbito	Rendimento
Ciclo Colibrì	10,8J	82,4 J	13,1%
Ciclo Uniflow	( 10,8 + 1,5 ) J	82,4 J	14,9%
Ciclo Rankine	( 10,8 + 1,5 + 1,3 ) J	82,4 J	16,5%

I numeri in tabella mostrano che il ciclo del Colibrì riesce a strappare il 79,4% del rendimento Rankine, un valore sorprendentemente elevato considerata l'estrema semplicità costruttiva del motore.
Il motore Uniflow, che termodinamicamente si piazza a un livello intermedio fra il Colibrì e il Rankine, permette di ottenere un rendimento del 14,9% che equivale ad un incremento di efficienza rispetto al Colibrì del 13,7%.

Il lavoro di pompaggio nel Colibrì a vapore

Nell'analisi del ciclo termodinamico del motore Colibrì discussa nel precedente post è stato tralasciato il lavoro necessario al pompaggio del liquido. Di seguito viene completata la trattazione con i calcoli relativi.

Massa di vapore consumato per ciclo = m_vap = 0,03492 g

Densità del liquido saturo a 1bar = ρ_{liquido saturo @1bar} = 958,63 kg/m³ = 0,95863 g/cm³

Volume di liquido da pompare = V_liquido = m_vap / ρ_{liquido saturo @1bar} =
= 0,03492 g / 0,95863 g/cm³ = 0,03643 cm³ = 0,03643 * 10^-6 m³

Differenza di pressione = ΔP = P_Iniezione - P_Scarico = 10 bar - 1 bar = 9 bar = 900.000 Pa

Lavoro di pompaggio = V_liquido * ΔP = 0,03643 * 10^-6 m³ * 900.000 Pa = 0,0328 J

Lavoro utile motore = L_AB + L_CD = 10,8 J (dal post precedente)

Lavoro utile corretto = Lavoro utile motore - Lavoro di pompaggio = 10,77 J

I calcoli mostrano che il lavoro di pompaggio risulta estremamente più basso rispetto al lavoro utile del motore (0,0328J contro 10,8J pari allo 0,30%) e in pratica il lavoro utile corretto risulta molto vicino al lavoro utile già calcolato in precedenza.

In una situazione reale, anche ipotizzando che la pompa del liquido abbia un'efficienza del 50%, causando quindi il raddoppio del lavoro necessario per il pompaggio (che passerebbe da 0,0328J a 0,0656J), la situazione resterebbe comunque quasi invariata.

Il fatto che il lavoro utile del motore (parte attiva dell'impianto che genera lavoro) sia molto superiore al lavoro di pompaggio (parte passiva dell'impianto che assorbe lavoro) è una caratteristica tipica dei motori a vapore e più in generale del ciclo Rankine (a condizione comunque che le pressioni di lavoro siano lontane dal punto critico).

Tale caratteristica costituisce uno dei punti forza del motore a vapore rispetto al motore Brayton.

Il Colibrì a vapore

Abbiamo già visto che il ciclo termodinamico del Colibrì è composto da due trasformazioni adiabatiche e da due trasformazioni isocore.
In questo post vengono analizzate le prestazioni nel caso di alimentazione a vapore, anche se questo motore potrebbe sfruttare l'espansione dell'aria o in generale di qualunque gas.

DATI MOTORE
Colibrì free piston monoeffetto
Volume al PMI = V_PMI = 100cc = 0,10 dm³
Volume al PMS = V_PMS = 20cc = 0,02 dm³
Rapporto di compressione = 5:1

CONDIZIONI OPERATIVE
Fluido di lavoro: Vapore saturo a 10 bar (Temperatura di vaporizzazione: 179,9°C)
Pressione di alimentazione = P_Iniezione = 10 bar
Pressione allo scarico = P_Scarico = 1 bar (funzionamento atmosferico)

ANALISI
Entalpia del liquido saturo a 1 bar = H_{Liquido Saturo @ 1bar} = 417,5 kJ/kg
Entalpia del vapore saturo a 10 bar = H_{Vapore Saturo @ 10bar} = 2777,1 kJ/kg
Densità del vapore saturo a 10 bar = ρ_{Vapore Saturo @ 10bar} = 5,15 kg/m³

Di seguito il diagramma del ciclo nel piano P-V.

Pressione alla fine dell'espansione adiabatica: P_{Fine Espansione Adiabatica} = 1,6 bar

Frazione di vapore scaricato = { V_PMS - [ ( P_Scarico * V_PMI^gamma ) / P_Iniezione ]^(1/gamma) } / V_PMS =
= { 0,02 dm³ - [ ( 1 bar * ( 0,10 dm³ ) ^1,138 ) / 10 bar ]^{( 1 / 1,138 )} } / 0,02 dm³ = 0,339 (33,9%)
ERRATA CORRIGE del 17/11/2012 (vedi nota alla fine del post)

Massa di vapore consumato per ciclo = m_vap = Frazione di gas scaricato * V_PMS * ρ_{Vapore Saturo @ 10bar} =
= 0,339 * 0,02 dm³ * 5,15 kg/m³ = 0,03492 g

Calore fornito = m_vap * ( H_{Vapore Saturo @ 10bar} - H_{Liquido Saturo @ 1bar} ) =
= 0,03492 g * ( 2777,1 kJ/kg - 417,5 kJ/kg) = 82,4 J

Lavoro nell'espansione adiabatica = L_AB = 28,8 J
Lavoro nella compressione adiabatica = L_CD = - 18,0 J
Lavoro utile motore = L_AB + L_CD = 28,8 J - 18,0 J = 10,8 J

Rendimento = Lavoro utile motore / Calore fornito = 10,8 J / 82,4 J = 13,1%
Rendimento Rankine (massimo teorico con il vapore) = 16,6%
Rendimento di Carnot (massimo teorico per qualunque motore termico) = 17,7%

OSSERVAZIONI
Con una temperatura operativa calda di 180°C che permette di avere vapore saturo alla pressione di 10bar e in presenza di scarico atmosferico, il rendimento teorico di conversione termomeccanica del Colibrì risulta del 13,1%.
Poichè il rendimento di Carnot alle stesse condizioni di temperatura (T_calda=179,9°C e T_fredda=99,6°C) vale il 17,7% significa che il motore strappa il 74,0% del massimo teorico.
Sempre a titolo di confronto, il rendimento del ciclo Rankine alle stesse condizioni è pari al 16,6%. In questo caso il Colibrì ne riesce ad estrarre il 78,9%.
Il lavoro utile per ciclo è di 10,8J, un valore modesto per un motore a vapore di 100cc di cilindrata che opera con alimentazione a 10bar.
Si tenga comunque presente che la potenza sviluppata, cioè il lavoro fatto nell'unità di tempo, dipende linearmente dalla frequenza di funzionamento.
Considerando le caratteristiche costruttive di questo motore è ragionevole ipotizzare che siano accessibili tranquillamente frequenze di funzionamento di almeno 50Hz (3000rpm) e in questo caso la potenza risulterebbe amplificata di 50 volte (10,8J * 50Hz = 540W).

CONCLUSIONI
Nel Colibrì si uniscono prestazioni di tutto rispetto a un dispositivo di estrema semplicità costruttiva.
Questa combinazione, assente nella maggior parte dei motori a combustione esterna, lo rende particolarmente interessante per un potenziale impiego pratico.


ERRATA CORRIGE del 17/11/2012
La formula precedentemente indicata per valutare la frazione di vapore scaricato era errata. Viene riportata di seguito per eventuali confronti.

Frazione di vapore scaricato = 1 - ( P_Scarico / P_{Fine Espansione Adiabatica} ) = 1 - ( 1 bar / 1,6 bar ) = 0,375 (37,5%)

Tutti i calcoli dipendenti sono stati rivisti e aggiornati.

Il ciclo termodinamico del Colibrì

Nell'animazione che segue è stata ripresa una versione di Colibrì free piston monoeffetto già presentata nel post di apertura e a cui è stata aggiunta una rappresentazione fortemente schematizzata del ciclo nel piano P-V.

Il grafico mostra che il ciclo termodinamico del Colibrì è composto da quattro trasformazioni:
1) adiabatica AB in colore arancione
2) isocora BC in colore giallo
3) adiabatica CD in colore azzurro
4) isocora DA in colore verde

La pressione al punto A (P_A) è la pressione all'immissione, mentre la pressione al punto C (P_C) è la pressione allo scarico.

Al punto A, identificato per comodità come punto morto superiore (PMS), la luce di immissione si chiude e la pressione è al suo valore massimo P_A.
Dal punto A al punto B avviene il processo di espansione adiabatica che provoca un abbassamento della pressione fino al valore P_B.
Affinchè il ciclo generi lavoro utile deve essere rispettata la condizione P_B > P_C come mostrato nel diagramma. Per questo motivo il rapporto di espansione del motore non è arbitrario e viene stabilito in funzione delle condizioni operative previste.
Al punto B la luce di scarico si apre e la pressione si porta al valore presente allo scarico, cioè P_C.
Al punto C, identificato per comodità come punto morto inferiore (PMI), la luce di scarico si chiude e la pressione è al suo valore minimo P_C.
Dal punto C al punto D avviene il processo di compressione adiabatica che provoca un aumento della pressione fino al valore P_D.
Se la pressione di partenza dell'adiabatica di compressione (P_C) è più bassa della pressione finale (P_B) dell'adiabatica di espansione, la pressione alla fine della compressione adiabatica (P_D) sarà minore della pressione all'inizio dell'espansione adiabatica (P_A) (questo è sempre vero nell'ipotesi di trasformazioni reversibili, ma potrebbe non esserlo nel caso reale cioè in presenza di irreversibilità dei processi).
Al punto D la luce di immissione si apre e la pressione si porta al valore presente all'immissione (P_A) e il ciclo si ripete.

Come di consueto, l'area del ciclo nel diagramma P-V rappresenta il lavoro utile.

Colibrì free piston a doppio effetto di tipo B

Colibrì free piston a doppio effetto di tipo A

Considerazioni economiche sull'E-cat di Andrea Rossi

Prologo

Il 14 gennaio 2011 il dr. Rossi e il prof. Focardi presentano un reattore di dimensioni estremamente contenute per la produzione di calore che alimentato elettricamente con poche centinaia di watt sviluppa una potenza termica dell'ordine di alcuni kWatt.
Il nome del dispositivo è Energy Catalizer, comunemente abbreviato in E-cat.
Nonostante le critiche avanzate da osservatori e curiosi nei confronti delle modalità di misurazione delle grandezze fisiche coinvolte, a distanza di oltre un anno e mezzo la vicenda non è ancora giunta all'epilogo.
Da allora sono seguite diverse altre dimostrazioni e la versione di cui si parla sempre più spesso dovrebbe sviluppare una potenza termica di 1MW=1000kW con COP=6 (il COP è il coefficiente di prestazione).
L'impianto, che per le potenze coinvolte è necessariamente destinato ad applicazioni industriali, dovrebbe avere un prezzo di vendita compreso fra 1 e 1,5 milioni di euro.

Considerazioni economiche
L'E-cat è un dispositivo che produce calore, quindi può essere paragonato ad una caldaia.
Il primo passo consiste nell'accertare che il costo dell'energia termica prodotta dall'E-cat sia effettivamente più basso dell'energia termica generata dalla combustione del gas naturale.

Una caldaia tradizionale produce circa 10kWh termici per ogni metro cubo di gas naturale bruciato e il prezzo del gas naturale per impieghi industriali è di circa 0,50euro/m³. A titolo informativo il prezzo per il riscaldamento domestico sale a circa 1,00euro/m³.
Pertanto il costo dell'energia termica ricavata dalla combustione del gas naturale risulta essere:

Costo energia termica da combustione di gas naturale = Prezzo unitario gas naturale / Potere calorico =
= 0,50 euro/m³ / 10 kWh/m³ = 0,050 euro/kWh (in ambito industriale)

L'E-cat produce calore con COP=6, questo significa che per produrre 6kWh termici assorbe una quantità di energia elettrica pari a 1kWh.
Assumendo che il prezzo dell'energia elettrica in ambito industriale sia di 0,20euro/kWh si trova che il costo dell'energia termica generata dell'E-cat è dato da

Costo energia termica da E-cat = Prezzo energia elettrica / COP = 0,033 euro/kWh

Dalle stime riportate risulta che l'E-cat permette di risparmiare 0,017euro (=0,50-0,033) per ogni kWh prodotto.
Ogni ora di funzionamento, l'E-cat da 1MW produce 1MWh=1000kWh che si traduce in un risparmio di 17 euro.
Al costo di 1 milione di euro, l'ammortamento dell'impianto avviene in circa 58.800 ore che in caso di funzionamento ininterrotto (cioè 24 ore su 24) corrispondono a 2450 giorni cioè 6,7 anni.
Se invece l'impianto costa 1,5 milioni di euro, i tempi di ammortamento salgono a 88.200 ore, 3675 giorni cioè circa 10 anni.

Per quanto visto sopra l'E-cat con COP=6 e un costo di impianto di 1-1,5euro/W_termico risulta al limite per avere successo commerciale nel settore industriale.
La prospettiva commerciale in ambito civile sarebbe nettamente più favorevole perchè il gas naturale per il riscaldamento domestico costa circa il doppio rispetto a quello per uso industriale.

Si segnala comunque che, essendo la valutazione economica proposta sopra estremamente semplificata per poter rendere i concetti chiari e comprensibili al maggior numero di persone, le conclusioni tratte devono essere necessariamente prese come spunto per approfondimenti ulteriori piuttosto che come linea guida da seguire alla lettera.

Motore a vapore con distributore a cassetto

Prima di tutto desidero ringraziare la persona che ha realizzato il motore presentato in questo post per avermi dato l'opportunità di mostrare il suo lavoro.

Per quanto riguarda il funzionamento, il ciclo operativo della macchina è del tipo isobaro-isocoro.

La caldaia è la struttura cilindrica posizionata nella parte bassa.
Il motore, in alto sopra alla caldaia, è in configurazione a doppio effetto e la singola camera di espansione ha una cilindrata di 97cm³.


Vista panoramica

Vista laterale sinistra

Vista laterale destra
Si noti il barometro a destra che misura la pressione in caldaia e il termometro che misura la temperatura dei fumi.

Vista superiore

Pompa a pistone a corsa variabile per il ripristino dell'acqua in caldaia

Serpentina per il riscaldamento del liquido prima dell'immissione in caldaia (1)

Serpentina per il riscaldamento del liquido prima dell'immissione in caldaia (2)

Serpentina per il riscaldamento del liquido prima dell'immissione in caldaia (3)

Focolare e serpentina di surriscaldamento del vapore

Motore

Distributore a cassetto (1)

Distributore a cassetto (2)

Condensatore (nella prova pratica si è dimostrato essere insufficiente e verrà sostituito da uno di maggiori dimensioni)

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SEZIONE VIDEO

Raccolta di link sui motori Uniflow

Di seguito alcune proposte di lettura in lingua inglese sui motori di tipo uniflow.

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniflow_steam_engine

http://www.steamcar.net/uniflow-doble.html

http://opensourceecology.org/wiki/Steam_Engine_Design

http://www.cyclonepower.com/works.html

Il Colibrì

L'espansione adiabatica del vapore nel diagramma di Mollier

Per analizzare i processi di espansione adiabatica del vapore, invece dell'approccio numerico, è possibile adottarne uno di tipo grafico che si basa sull'uso del diagramma di Mollier.
Questo diagramma concentra una moltitudine di informazioni: proprio per questo appare di una certa complessità e al primo impatto molte persone rinunciano alla sua comprensione e al suo utilizzo.
Per agevolarne la comprensione è stato scelto di mostrare la costruzione in vari passaggi di una sua versione semplificata in cui sono riportate solo le curve di interesse.

Il diagramma di Mollier è costruito sul piano H-S, cioè l'entalpia viene graficata in funzione dell'entropia.
Senza entrare nel dettaglio del significato fisico dell'entropia, non necessaria ai fini dell'utilizzo del diagramma, al lettore è sufficiente sapere che una trasformazione adiabatica (e più precisamente adiabatica reversibile) è una trasformazione di tipo isoentropico, cioè a entropia costante. Questo vuol dire che nel piano H-S l'adiabatica viene rappresentata con un tratto lineare verticale.
Per quanto concerne l'entalpia si rimanda a quanto già scritto fermo restando che per i contenuti trattati in questo post risulta di secondaria importanza. Verrà ripreso e spiegato estesamente come interpretarla al momento opportuno in altri scritti.

Nell'immagine che segue sono stati graficati i valori dell'entalpia in funzione dell'entropia relativi allo stato liquido e allo stato di vapore saturo.

La curva blu mostra l'andamento dello stato liquido per pressioni da 0,1bar fino alla pressione critica, la curva rossa mostra l'andamento dello stato di vapore saturo dalla pressione critica fino alla pressione di 0,1bar.
Queste due curve separano due zone del piano. Al di sopra delle curve si trovano i punti che rappresentano stati di vapore surriscaldato. Al di sotto delle curve è localizzata la zona di coesistenza del liquido con la fase di vapore saturo.
Si noti che nel punto a 0,1 bar della curva blu la frazione condensata è pari al 100%, cioè è presente la sola fase liquida.
La frazione condensata è invariata (cioè è sempre pari al 100%) per tutta l'estensione della curva blu fino al punto critico.
Nel punto critico perde di significato la distinzione fra liquido e vapore.
La curva rossa è relativa allo stato di vapore saturo in cui è assente la fase liquida: la frazione condensata è pari allo 0%.
Anche se il valore della frazione condensata nella curva del vapore è stato indicato solo nel punto in cui la pressione è pari a 0,1bar essa risulta invariata (cioè sempre pari allo 0%) per tutta l'estensione della curva rossa.

Nell'immagine che segue è stata aggiunta la curva che descrive la trasformazione isobara a 10bar che parte dallo stato liquido alla temperatura di 179,9°C (temperatura di vaporizzazione a 10bar) per arrivare allo stato di vapore surriscaldato alla pressione di 10bar e alla temperatura di 550°C.

Il tratto di curva di colore fucsia rappresenta il processo di vaporizzazione che avviene a pressione costante (10bar) e temperatura costante (179,9°C).
Quando il sistema si trova in uno dei punti di questa curva sono presenti sia il liquido che il vapore saturo. Le linee nere rappresentano stati a frazione condensata costante (il valore di quest'ultima è indicato in prossimità del punto di inizio della curva).
Il tratto di curva di colore celeste rappresenta il processo di surriscaldamento isobaro a 10bar da 179,9°C a 550°C.

Nell'immagine che segue è stata aggiunta la curva che rappresenta l'isobara alla pressione di 1bar (curva di colore blu chiaro).

Si noti che le due curve isobare scelte sono le stesse adottate negli esempi proposti per il ciclo Rankine del vapore saturo e per il ciclo Rankine del vapore surriscaldato.

Ipotizzando che lo stato di partenza dell'espansione adiabatica sia il vapore saturo a 10bar e che l'espansione adiabatica avvenga fino alla pressione di 1 bar, la trasformazione è quella rappresentata dalla linea gialla verticale.

Per stabilire la frazione condensata si valuta guardando sulle curve nere qual è il valore che più si avvicina alla intersezione fra la linea verticale gialla (adiabatica) e la curva blu chiaro (isobara a 1 bar). Cliccando sul grafico è possibile visualizzare un'immagine a risoluzione più elevata.
Si trova che il valore della frazione condensata è prossimo al 13% in perfetto accordo con quanto calcolato nel post intitolato "L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 02".

L'ultima immagine proposta è relativa ad un'espansione adiabatica in cui lo stato iniziale è il vapore a 10bar surriscaldato a 370°C.

In questo caso, l'intersezione fra la curva gialla e la curva blu chiaro avviene in corrispondenza della curva rossa: lo stato finale è quello del vapore saturo a 1bar in cui la frazione condensata è assente.
Detto in altre parole, la costruzione in figura mostra che l'espansione adiabatica del vapore da 10bar e 370°C fino a 1bar avviene senza processi di condensazione perchè il regime di saturazione viene raggiunto solo alla fine dell'espansione.

Il ciclo Rankine del vapore surriscaldato

Nel ciclo Rankine del vapore saturo durante la fase di espansione adiabatica avviene una parziale condensazione del vapore.
Nei casi in cui la presenza di questo fenomeno risulti inaccettabile per motivi tecnologici, la formazione di liquido viene impedita mediante un adeguato surriscaldamento del vapore prima della sua immissione nel motore.
La curva di espansione adiabatica assume un diverso andamento che può essere interpolato con buona approssimazione utilizzando l'equazione

P * V^gamma = costante

in cui il coefficiente gamma è quello del gas poliatomico ideale che risulta essere pari a 9/7 (circa 1,286). Per ulteriori informazioni sulle trasformazioni adiabatiche dei gas ideali si rimanda al post intitolato "La trasformazione adiabatica".
Abbiamo già visto che per un'espansione del vapore saturo da 10bar a 1bar il coefficiente gamma può essere assunto pari a 1,138.
Essendo il coefficiente gamma del vapore surriscaldato maggiore di quello del vapore saturo, la caduta di pressione e di temperatura durante l'espansione adiabatica del vapore surriscaldato avviene più rapidamente rispetto al caso del vapore saturo.

Nell'immagine che segue viene proposto il confronto fra il ciclo con il vapore saturo e il ciclo con il vapore surriscaldato, in cui il volume finale dell'espansione adiabatica coincide. Il ciclo a vapore saturo è lo stesso già discusso nell'esempio alla fine del precedente post.

Si noti che in figura è rappresentato il caso molto particolare (e in pratica mai realizzabile) in cui V_A e V_D sono nulli.
Il ciclo di colore blu è relativo al vapore saturo a 10bar (179,9°C) mentre quello di colore rosso è relativo al vapore surriscaldato a 370°C alla pressione di 10bar.
La temperatura di surriscaldamento non è casuale. Il surriscaldamento a 370°C alla pressione di 10bar permette di arrivare alla pressione di 1bar con una temperatura prossima ai 100°C.
Essendo la curva di espansione adiabatica del vapore surriscaldato più ripida di quella del vapore saturo, il volume di inizio espansione risulta più elevato cioè

V_B' > V_B

Poichè il lavoro prodotto dal motore corrisponde all'area contenuta dalle curve di trasformazione, nel confronto proposto in figura risulta che con il vapore surriscaldato è possibile ottenere un maggior lavoro utile per ciclo.
Per la valutazione dell'area del ciclo con il vapor saturo (ciclo ABCD) si rimanda al post dedicato.
Per la valutazione dell'area del ciclo con il vapore surriscaldato è conveniente suddividere il calcolo in quattro blocchi: area sottesa dal tratto AB', area sottesa dal tratto B'C, area sottesa dal tratto CD e area sottesa dal tratto DA.
Il primo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione isobara, il secondo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione adiabatica, il terzo blocco è il lavoro di volume durante la fase di scarico, il quarto blocco è nullo perchè non c'è variazione di volume.
Il lavoro del motore sarà poi dato dalla somma dei quattro contributi

L_motore = L_AB' + L_B'C + L_CD + L_DA

in cui il termine L_CD ha segno negativo e il termine L_DA è nullo.
Per il primo ed il terzo contributo le formule da applicare sono le seguenti

L_AB' = P_caldaia * ( V_B' - V_A )

dove

L_AB' è il lavoro di volume nel tratto AB' espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B' è il volume nel punto B' espresso in m³
V_A è il volume nel punto A espresso in m³

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C )

dove

L_CD è il lavoro di volume nel tratto CD espresso in J
P_condensatore è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_D è il volume nel punto D espresso in m³
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Con l'area sottesa dal tratto di curva di espansione adiabatica (L_B'C) il calcolo si limita all'applicazione della formula che segue:

L_B'C = P_caldaia * V_B'^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B^(1-gamma) ] / ( 1 - gamma )

dove

L_B'C è il lavoro di volume nel tratto B'C espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B' è il volume nel punto B' espresso in m³
gamma è una costante pari a 9/7 (coefficiente di espansione adiabatica del gas ideale poliatomico)
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Per quanto riguarda il lavoro consumato per il pompaggio il calcolo è il seguente

L_pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * V_liquido

dove

L_pompa è il lavoro utilizzato per ciclo espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
P_condensatore è la pressione nel condensatore espressa in Pa
V_liquido è il volume del liquido pompato espresso in m³

Il lavoro utile per ciclo è dato dalla seguente equazione

L = L_motore - L_pompa

Per valutare il calore fornito al sistema è utile ed istruttivo separare il calcolo in tre stadi.

PRIMO STADIO
Riscaldamento del liquido in caldaia dalla temperatura di condensazione alla temperatura di ebollizione

Il processo avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q1 = Cp_medio * n * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} )

dove

Q1 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{condensazione} e T_{vaporizzazione} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di liquido espressa in moli
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K
T_{condensazione} è la temperatura di condensazione espressa in K

SECONDO STADIO
Vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione

Questo è un processo di tipo isotermo e contemporaneamente anche di tipo isobaro.
Per quanto già visto il calore fornito per la transizione di fase liquido-vapore è valutabile come segue

Q2 = n * ΔH_vap(T_{vaporizzazione})

dove

Q2 è il calore scambiato nel processo espresso in J
n è la quantità vaporizzata espressa in moli
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}) è l'entalpia molare di vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione espressa in J mol^-1

TERZO STADIO
Surriscaldamento del vapore in caldaia dalla temperatura di vaporizzazione alla temperatura di surriscaldamento

Il processo avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q3 = Cp_medio * n * ( T_{surriscaldamento} - T_{vaporizzazione} )

dove

Q3 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{vaporizzazione} e T_{surriscaldamento} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di vapore espressa in moli
T_{surriscaldamento} è la temperatura di surriscaldamento espressa in K
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K

Nell'esempio numerico che segue viene proposto il confronto fra ciclo Rankine con il vapore saturo e ciclo Rankine con il vapore surriscaldato su due motori di pari cilindrata e alle stesse pressioni operative. Per il dettaglio sui calcoli relativi al ciclo Rankine con vapore saturo si rimanda all'esempio riportato alla fine del post dedicato a quel ciclo.

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ESEMPIO NUMERICO

DATI IN INGRESSO
Fluido di lavoro: acqua

V_A: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)
V_B': 0,1718 dm³ = 0,0001718 m³
V_C: 1 dm³ = 0,001 m³
V_D: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)

Densità del liquido a T_{condensazione} e 1 bar = 958,63 kg m^-3 = 0,95863 g cm^-3
Pressione nel condensatore: P_condensatore = 100.000Pa = 1bar
Temperatura di condensazione: 99,6°C = 372,75K

Cp_{medio,liquido}: 77,4 J mol^-1 K^-1 = 4,297 J g^-1 K^-1

Pressione in caldaia: P_caldaia = 1.000.000Pa = 10bar
Temperatura di vaporizzazione: 179,9°C = 453,05K
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}): 34.278 J mol^-1 = 2.014,6 J g^-1

Temperatura di surriscaldamento: 370°C = 643,15K
Cp_medio,vapore: 40,11 J mol^-1 K^-1 = 2,228 J g^-1 K^-1
Densità vapore a T_{surriscaldamento} e 10bar (vapore surriscaldato): 3,4225 kg m^-3 = 3,4225 g dm^-3

DATI IN USCITA

Massa di vapore consumata per ciclo = m_{surriscaldato} =
= V_B' * densità vapore surriscaldato =
= 0,1718 dm³ * 3,4225 g dm^-3 =
= 0,588g

Calore di riscaldamento del liquido da T_{condensazione} a T_{vaporizzazione} = Q1 =
= massa * Cp_medio * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} ) =
= 0,588g * 4,297 J g^-1 K^-1 * ( 453,05K - 372,75K ) =
= 202,9J

Calore latente di vaporizzazione = Q2 =
= massa * ΔH_vap =
= 0,588g * 2014,6 J g^-1 =
= 1.184,6J

Calore per il surriscaldamento del vapore da T_{vaporizzazione} a T_{surriscaldamento} = Q3 =
= massa * Cp_medio * ( T_{surriscaldamento} - T_{vaporizzazione} ) =
= 0,588g * 2,228 J g^-1 K^-1 * ( 643,15K - 453,05K ) =
= 249,0J

Calore fornito = Q1 + Q2 + Q3 = 202,9J + 1.184,6J + 249,0J = 1.636,5J

L_AB' = P_caldaia * ( V_B - V_A ) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001718m³ - 0m³ ) =
= 171,8J

L_B'C = P_caldaia * V_B'^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B'^(1-gamma) ] / (1 - gamma) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001718 m³ )^9/7 * [ ( 0,001 m³ )^{( 1 - 9/7 )} - ( 0,0001718 m³ )^{( 1 - 9/7 )} ] / ( 1 - 9/7 ) =
= 237,8J

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C ) =
= 100.000Pa * ( 0m³ - 0,001m³ ) =
= -100,0J

L_DA = 0J

Lavoro motore =
= L_AB + L_BC + L_CD + L_DA =
= 171,8J + 237,8J + (-100J) + 0J =
= 309,6J

Volume di liquido da pompare = massa / densità del liquido =
= 0,588g / 0,95863 g dm^-3 =
= 0,564cm³ = 0,000000564 m³

Lavoro pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * Volume di liquido da pompare =
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * 0,000000564 m³ =
= 0,5J

Lavoro utile = Lavoro motore - Lavoro pompa = 309,6J - 0,5J = 309,1J

Rendimento = Lavoro utile / Calore fornito = 309,1J / 1.636,5J = 0,189 (18,9%)

Frazione condensata = 0%

TABELLA RIASSUNTIVA
PARAMETRO	Ciclo Rankine con vapore saturo a 10 bar	Ciclo Rankine con vapore surriscaldato a 370°C e 10bar
Cilindrata motore	1 dm3
Lavoro motore	264,3 J	309,6 J
Massa vapore consumato	0,677 g	0,588 g
Lavoro pompa	0,6 J	0,5 J
Lavoro utile	263,7 J	309,1 J
Riscaldamento del liquido = Q1	233,5 J	202,9 J
Vaporizzazione = Q2	1.363,5 J	1.184,6 J
Surriscaldamento vapore = Q3	-	249,0 J
Calore fornito	1.597,0 J	1.636,5 J
Rendimento	16,5%	18,8%
Frazione Condensata	12,8%	0%

OSSERVAZIONI

Rispetto al ciclo Rankine con vapore saturo, il Rankine con vapore surriscaldato risulta di potenza maggiore: a parità di cilindrata di motore il lavoro utile passa da 263,7J a 309,1J (+17%).
Oltre ad un aumento della potenza si osserva anche un contenuto aumento di rendimento: dal 16,5% del vapore saturo si arriva al 18,9% del vapore surriscaldato a 370°C.
Tenendo conto che a 370°C il rendimento di Carnot è pari al 42%, il rendimento offerto dal ciclo Rankine a vapore surriscaldato si discosta notevolmente dal massimo teorico ottenibile. In pratica, il surriscaldamento non permette di mantenersi in prossimità del rendimento di Carnot.
A livello tecnologico, non va inoltre dimenticato che l'operatività a temperature più elevate richiede materiali termicamente più resistenti (e quindi verosimilmente più costosi). Inoltre, per mantenere le perdite di calore allo stesso livello di una situazione operativa a minore temperatura, è necessaria una maggiore coibentazione dell'impianto (con ulteriore aggravio dei costi).

Il ciclo Rankine del vapore saturo

Quando nel ciclo isobaro-isocoro del vapore l'espansione isobara ad alta pressione viene seguita da un'espansione adiabatica che fa abbassare la pressione fino al valore presente nel condensatore si riesce a ricavare altro lavoro di volume e il rendimento aumenta.
Si segnala che un ciclo così definito non corrisponde esattamente al ciclo Rankine, ma nel post corrente verrà comunque identificato con questo nome per l'estrema somiglianza con esso.
L'importanza del ciclo Rankine deriva dal fatto che esso stabilisce il massimo rendimento termomeccanico per i cicli realizzabili con un sistema liquido-vapore.

Nell'animazione proposta di seguito è schematizzato un motore a vapore che funziona con il ciclo Rankine.

Sulla destra ci sono il condensatore, la pompa e la caldaia. Sulla sinistra c'è il motore di cui sono stati rappresentati il cilindro, il pistone e due valvole pilotate.
La pompa trasferisce il liquido dal condensatore alla caldaia.
In caldaia viene fornito il calore per la vaporizzazione ed eventualmente per il surriscaldamento del vapore.
Per quanto già visto, la pressione in caldaia è determinata dalla temperatura del liquido.
Quando il pistone è completamente a destra, la valvola inferiore (valvola di scarico) si chiude mentre la valvola superiore (valvola di immissione) si apre. Il vapore in pressione entra nel motore e spinge il pistone verso sinistra.
La pressione in caldaia durante la fase di espansione resta costante se viene fornito calore sufficiente per generare la quantità di vapore che entra nel motore.
Quando è avvenuta la prima parte di corsa, la valvola di immissione si chiude e il vapore all'interno del motore inizia l'espansione adiabatica.
Al punto morto superiore (pistone completamente a sinistra), la pressione all'interno del motore è diminuita fino ad eguagliare la pressione all'interno del condensatore e si apre la valvola di scarico.
Il pistone si muove verso destra e scarica il vapore. All'interno del condensatore il vapore cambia di fase e diventa liquido. La pressione all'interno del radiatore freddo è determinata dalla temperatura della parete più fredda del condensatore. Se la dissipazione termica è sufficiente a mantenere costante la temperatura della parete più fredda, la pressione all'interno del condensatore non varia.
Al punto morto inferiore (pistone completamente a destra), la valvola di scarico si chiude, poi si apre la valvola di immissione e il vapore ad alta pressione inizia di nuovo ad entrare in camera.
Il ciclo si completa con il pompaggio in caldaia del liquido che si forma nel condensatore.

Nello schema animato proposto si individuano quattro elementi distinti ciascuno con la propria funzione:
1) la caldaia è lo scambiatore caldo
2) il motore è la parte attiva che converte l'energia potenziale del vapore generato in caldaia in lavoro
3) il condensatore è lo scambiatore freddo
4) la pompa è la parte passiva che ripristina il liquido in caldaia consumando lavoro per incrementare l'energia potenziale del liquido

Il lavoro prodotto dal motore corrisponde all'area del ciclo cioè alla zona di colore giallo nell'immagine che segue. Il ciclo rappresentato è quello relativo all'esempio numerico proposto alla fine del post.

Si noti che in figura è rappresentato il caso molto particolare (e in pratica mai realizzabile) in cui V_A e V_D sono nulli.

Per la valutazione dell'area è conveniente suddividere il calcolo in quattro blocchi: area sottesa dal tratto AB, area sottesa dal tratto BC, area sottesa dal tratto CD e area sottesa dal tratto DA.
Il primo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione isobara, il secondo blocco è il lavoro di volume durante l'espansione adiabatica, il terzo blocco è il lavoro di volume durante la fase di scarico, il quarto blocco è nullo perchè non c'è variazione di volume.
Il lavoro del motore sarà poi dato dalla somma dei quattro contributi

L_motore = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA

in cui il termine L_CD ha segno negativo e il termine L_DA è nullo.
Per il primo ed il terzo contributo le formule da applicare sono le seguenti

L_AB = P_caldaia * ( V_B - V_A )

dove

L_AB è il lavoro di volume nel tratto AB espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B è il volume nel punto B espresso in m³
V_A è il volume nel punto A espresso in m³

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C )

dove

L_CD è il lavoro di volume nel tratto CD espresso in J
P_condensatore è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_D è il volume nel punto D espresso in m³
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Con l'area sottesa dal tratto di curva di espansione adiabatica (L_BC) il calcolo è più complesso ed è necessario conoscere la curva di trasformazione.
Abbiamo già visto il metodo generale per risolvere il problema e nel caso dell'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar la curva di trasformazione può essere descritta con buona approssimazione dall'equazione P*V^gamma=costante con gamma=1,138.
Conoscendo il valore di gamma per l'espansione adiabatica del vapore, l'equazione che permette il calcolo dell'area è la seguente:

L_BC = P_caldaia * V_B^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B^(1-gamma) ] / ( 1 - gamma )

dove

L_BC è il lavoro di volume nel tratto BC espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
V_B è il volume nel punto B espresso in m³
gamma è un numero (che viene ottenuto dall'interpolazione della curva di espansione reale con un'equazione del tipo P*V^gamma=costante)
V_C è il volume nel punto C espresso in m³

Per quanto riguarda il lavoro consumato per il pompaggio il calcolo è il seguente

L_pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * V_liquido

dove

L_pompa è il lavoro utilizzato per ciclo espresso in J
P_caldaia è la pressione in caldaia espressa in Pa
P_condensatore è la pressione nel condensatore espressa in Pa
V_liquido è il volume del liquido pompato espresso in m³

Il lavoro utile per ciclo è dato dalla seguente equazione

L = L_motore - L_pompa

Per valutare il calore fornito al sistema è utile ed istruttivo separare il calcolo in due stadi.

PRIMO STADIO
Riscaldamento del liquido in caldaia dalla temperatura di condensazione alla temperatura di ebollizione

Il processo avviene a pressione costante e in base a quanto già discusso il calore scambiato può essere determinato applicando l'equazione semplificata

Q1 = Cp_medio * n * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} )

dove

Q1 è il calore scambiato espresso in J
Cp_medio è il calore specifico medio a pressione costante nell'intervallo di temperatura compreso fra T_{condensazione} e T_{vaporizzazione} espresso in J mol^-1 K^-1
n è la quantità di liquido espressa in moli
T_{vaporizzazione} è la temperatura di vaporizzazione espressa in K
T_{condensazione} è la temperatura di condensazione espressa in K

SECONDO STADIO
Vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione

Questo è un processo di tipo isotermo e contemporaneamente anche di tipo isobaro.
Per quanto già visto il calore fornito per la transizione di fase liquido-vapore è valutabile come segue

Q2 = n * ΔH_vap(T_{vaporizzazione})

dove

Q2 è il calore scambiato nel processo espresso in J
n è la quantità vaporizzata espressa in moli
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}) è l'entalpia molare di vaporizzazione alla temperatura di vaporizzazione espressa in J mol^-1

Nell'esempio numerico che segue viene proposto il confronto fra ciclo Rankine e ciclo isobaro-isocoro su due motori di pari cilindrata e alle stesse temperature e pressioni operative. Per il dettaglio sui calcoli relativi al ciclo isobaro-isocoro si rimanda all'esempio riportato alla fine del post dedicato a quel ciclo.

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ESEMPIO NUMERICO

DATI IN INGRESSO
Fluido di lavoro: acqua

V_A: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)
V_B: 0,1315 dm³ = 0,0001315 m³
V_C: 1 dm³ = 0,001 m³
V_D: 0 dm³ = 0 m³ (CASO IDEALE)

Densità del liquido a T_{condensazione} e 1 bar = 958,63 kg m^-3 = 0,95863 g cm^-3
Pressione nel condensatore: P_condensatore = 100.000Pa = 1bar
Temperatura di condensazione: 99,6°C = 372,75K

Cp_{medio,liquido}: 77,4 J mol^-1 K^-1 = 4,297 J g^-1 K^-1

Pressione in caldaia: P_caldaia = 1.000.000Pa = 10bar
Temperatura di vaporizzazione: 179,9°C = 453,05K
ΔH_vap(T_{vaporizzazione}): 34.278 J mol^-1 = 2.014,6 J g^-1
Densità vapore a T_{vaporizzazione} e 10bar (vapore saturo): 5,1451 kg m^-3 = 5,1451 g dm^-3

DATI IN USCITA

Massa di vapore consumata per ciclo = m_saturo =
= V_B * densità vapore saturo =
= 0,1315 dm³ * 5,1451 g dm^-3 =
= 0,677g

Calore di riscaldamento del liquido da T_{condensazione} a T_{vaporizzazione} = Q1 =
= massa * Cp_medio * ( T_{vaporizzazione} - T_{condensazione} ) =
= 0,677g * 4,297 J g^-1 K^-1 * ( 453,05K - 372,75K ) =
= 233,5J

Calore latente di vaporizzazione = Q2 =
= massa * ΔH_vap =
= 0,677g * 2014,6 J g^-1 =
= 1.363,5J

Calore fornito = Q1 + Q2 = 233,5J + 1.363,5J = 1.597,0J

L_AB = P_caldaia * ( V_B - V_A ) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001315m³ - 0m³ ) =
= 131,5J

L_BC = P_caldaia * V_B^gamma * [ V_C^(1-gamma) - V_B^(1-gamma) ] / (1 - gamma) =
= 1.000.000Pa * ( 0,0001315 m³ )^1,138 * [ ( 0,001 m³ )^{( 1 - 1,138 )} - ( 0,0001315 m³ )^{( 1 - 1,138 )} ] / ( 1 - 1,138 ) =
= 232,7J

L_CD = P_condensatore * ( V_D - V_C ) =
= 100.000Pa * ( 0m³ - 0,001m³ ) =
= -100,0J

L_DA = 0J

Lavoro motore =
= L_AB + L_BC + L_CD + L_DA =
= 131,5J + 232,7J + (-100J) + 0J =
= 264,3J

Volume di liquido da pompare = massa / densità del liquido =
= 0,677g / 0,95863 g dm^-3 =
= 0,706cm³ = 0,000000706 m³

Lavoro pompa = ( P_caldaia - P_condensatore ) * Volume di liquido da pompare =
= ( 1.000.000Pa - 100.000Pa ) * 0,000000706 m³ =
= 0,6J

Lavoro utile = Lavoro motore - Lavoro pompa = 264,3J - 0,6J = 263,7J

Rendimento = Lavoro utile / Calore fornito = 263,7J / 1.597,0J = 0,165 (16,5%)

Frazione condensata = 12,8% (per il calcolo di questo valore si rimanda al post intitolato "L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 02")

TABELLA RIASSUNTIVA
PARAMETRO	Ciclo Rankine	Ciclo isobaro-isocoro
Cilindrata motore	1 dm3
Lavoro motore	264,3 J	900,0 J
Massa vapore consumato	0,677 g	5,5 g
Lavoro pompa	0,6 J	4,8 J
Lavoro utile	263,7 J	895,2 J
Riscaldamento del liquido = Q1	233,5 J	1.775,3 J
Vaporizzazione = Q2	1.363,5 J	10.365,3 J
Calore fornito	1.597,0 J	12.140,6 J
Rendimento	16,5%	7,4%
Frazione Condensata	12,8%	0%

OSSERVAZIONI

Rispetto al ciclo isobaro-isocoro, il Rankine risulta depotenziato: a parità di cilindrata di motore il lavoro utile scende da 895,2J a 263,7J.
Ma se da un lato la potenza viene penalizzata, dall'altro il rendimento teorico del ciclo Rankine si alza al 16,5% contro il 7,4% del ciclo isobaro-isocoro. Tale valore apparentemente modesto, in realtà è estremamente vicino a quello massimo teorico stabilito dal rendimento di Carnot che alle temperature operative considerate nell'esempio risulta essere del 17,7%.

L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 02

Nel post precedente è stato presentato e discusso il metodo per risolvere numericamente il problema dell'espansione adiabatica del vapore saturo.
In questo post verrà applicata la metodologia suddividendo l'espansione in un numero crescente di step (1, 2, 3, 9 e 20). Vedremo che all'aumentare delle suddivisioni la frazione condensata e il lavoro di volume tendono progressivamente a diminuire convergendo comunque rapidamente ad un valore asintotico.
Per snellire la trattazione vengono mostrati direttamente i grafici che rappresentano l'espansione nel piano P-V e delle tabelle che raccolgono i valori numerici delle grandezze fisiche coinvolte.

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 1 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	24,8%
Volume vapore	0,19436 m3	1,27451 m3
Volume liquido	0 m3	0,00026 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,27477 m3
Lavoro di volume	594,2 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 2 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	16,1%
Volume vapore	0,19436 m3	1,42152 m3
Volume liquido	0 m3	0,00017 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,42169 m3
Lavoro di volume	413,0 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 3 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	14,5%
Volume vapore	0,19436 m3	1,44838 m3
Volume liquido	0 m3	0,00015 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,44853 m3
Lavoro di volume	379,9 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 9 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	13,0%
Volume vapore	0,19436 m3	1,47407 m3
Volume liquido	0 m3	0,00013 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,47420 m3
Lavoro di volume	348,2 kJ

ESPANSIONE ADIABATICA DI 1 kg DI VAPORE SATURO (valutazione a 20 step)
GRANDEZZA FISICA	VALORE INIZIALE	VALORE FINALE
Pressione	10 bar	1 bar
Temperatura	179,9°C	99,6°C
Frazione condensata	0%	12,8%
Volume vapore	0,19436 m3	1,47665 m3
Volume liquido	0 m3	0,00013 m3
Volume complessivo	0,19436 m3	1,47678 m3
Lavoro di volume	345,1 kJ

Le immagini e le tabelle mostrano che nel passaggio da 9 a 20 step le variazioni sull'andamento sono estremamente limitate. Il lavoro di volume varia da 348,2kJ a 345,1kJ (-0,9%) e la frazione condensata si abbassa dal 13,0% al 12,8%.
Per questo motivo i 20 step possono essere considerati sufficientemente precisi da ritenersi rappresentativi del processo.
A questo punto il passo successivo è l'interpolazione dei punti individuati nel grafico a 20 step con una curva. Trattandosi di un'espansione adiabatica, l'equazione scelta per l'interpolazione ha la forma P*V^gamma=costante.

Il miglior valore di gamma per l'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar risulta essere pari a 1,138.

Nell'immagine che segue sono mostrati i punti del grafico a 20 step e l'interpolata.

Abbiamo già visto che la formula che permette di calcolare l'area sottesa da una curva della forma P=costante/V^gamma è la seguente:

Per l'esempio proposto il lavoro di volume risulta uguale a 343,8kJ (in perfetto accordo con quello riportato nell'ultima tabella che è pari a 345,1kJ).
In questo post è stato dimostrato che l'espansione abiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar nel piano P-V può essere rappresentata con ottima approssimazione da una curva di equazione P*V^gamma=costante con gamma=1,138.
Si segnala che tale interpolazione è valida solo per un'espansione che inizia a 10bar e termina a 1 bar ed estenderla a trasformazioni con pressione inziale o finale diverse può portare a errori di valutazione.

L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 01

Il primo post dedicato al mondo dei motori a transizione di fase liquido-vapore è stato quello relativo alla tensione di vapore dell'acqua.
Il grafico P-T mostrato in quel frangente può essere utilizzato per stabilire se il vapore acqueo si trova nel suo stato di saturazione: il vapore è saturo quando la sua temperatura e la sua pressione sono quelle di un punto appartenente alla curva della tensione di vapore in funzione della temperatura.
Per comodità viene riportato di seguito il grafico citato.

Per quanto già visto, l'espansione adiabatica di un gas ideale provoca un abbassamento della sua pressione e della sua temperatura.
Il vapore saturo ha un comportamento similare in quanto pressione e temperatura diminuiscono nell'espansione adiabatica, ma presenta una differenza fondamentale: al processo di espansione adiabatica del vapore saturo si accompagna una condensazione parziale del vapore.
Questo fenomeno libera calore e fa in modo che la pressione e la temperatura diminuiscano meno rapidamente rispetto ad un'analoga espansione di un gas.
In questo post viene presentato un approccio numerico/sperimentale che permette di stabilire l'andamento della pressione e della frazione condensata in funzione del grado di espansione del vapore.

STATO INIZIALE
Lo stato di partenza da cui comincia l'espansione è noto ed è costituito da una certa quantità di vapore saturo a pressione e temperatura definiti (P_iniziale e T_iniziale).
Le equazioni riportate di seguito sono valide per il caso più generale in cui siano presenti entrambe le fasi (liquido e vapore) e vengono poi riportate al caso specifico in cui la frazione condensata sia assente nello stato iniziale.

m = m_{vapore saturo iniziale} + m_{liquido iniziale}
m_{vapore saturo iniziale} = ( 1 - Frazione condensata_iniziale ) * m = ( 1 - FC_in ) * m
m_{liquido iniziale} = Frazione condensata_iniziale * m = FC_in * m

H_{vapore saturo} @P_iniziale(T_iniziale) = H_{vap sat in} = TABULATO
ρ_{vapore saturo} @P_iniziale(T_iniziale) = ρ_{vap sat in} = TABULATO
H_liquido @P_iniziale(T_iniziale) = H_{liq in} = TABULATO
ρ_liquido @P_iniziale(T_iniziale) = ρ_{liq in} = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale risultano essere

H_in = H_{vap sat in} * m_{vapore saturo iniziale} + H_{liq in} * m_{liquido iniziale} =
= H_{vap sat in} * m * ( 1 - FC_in ) + H_{liq in} * m * FC_in

U_in = H_in + P_in * V_in =
= H_in + P_in * ( m_{vapore saturo iniziale} / ρ_{vap sat in} + m_{liquido iniziale} / ρ_{liq in} ) =
= H_in + P_in * [ ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat in} + FC_in * m / ρ_{liq in} ]

Nel caso in cui lo stato iniziale sia costituito solo da vapore, la frazione condensata è nulla e le equazioni generali riportate appena incontrate si semplificano in

H_in = H_{vap sat in} * m

U_in = H_in + P_in * V_in = H_in + P * m / ρ_{vap sat in}

STATO FINALE
Per effetto del processo di espansione adiabatica una parte del vapore si condensa. Il liquido formato si va ad aggiungere all'eventuale frazione condensata già presente nello stato iniziale. Lo stato finale può quindi essere rappresentato come segue.

m = m_{vapore saturo iniziale} + m_{liquido finale}
m_{vapore saturo finale} = ( 1 - Frazione condensata_finale ) * m = ( 1 - FC_fin ) * m
m_{liquido finale} = Frazione condensata_finale * m = FC_fin * m

H_{vapore saturo} @P_finale(T_finale) = H_{vap sat fin} = TABULATO
ρ_{vapore saturo} @P_finale(T_finale) = ρ_{vap sat fin} = TABULATO
H_liquido @P_finale(T_finale) = H_{liq fin} = TABULATO
ρ_liquido @P_finale(T_finale) = ρ_{liq fin} = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato finale diventano

H_fin = H_{vap sat fin} * m * ( 1 - FC_fin) + H_{liq fin} * m * FC_fin

U_fin = H_fin + P_fin * V_fin =
= H_fin + P_fin * ( m_{vap sat fin} / ρ_{vap sat fin} + m_{liq fin} / ρ_{liq fin} ) =
= H_fin + P_fin * [ ( 1 - FC_finale ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} ]

Poichè in un'espansione adiabatica vale la relazione

L = -ΔU = - ( U_fin - U_in ) = U_in - U_fin

conoscendo il valore del lavoro diventa possibile determinare l'ammontare della frazione condensata.

Dal punto di vista matematico è conveniente adottare l'approssimazione lineare che consiste nell'assumere la curva di trasformazione sul piano P-V uguale ad un segmento che congiunge lo stato iniziale a quello finale. In questo caso il lavoro di volume è l'area di un trapezio rettangolo in cui l'altezza è data dalla variazione di volume, la base maggiore dalla pressione iniziale e la base minore dalla pressione finale

L = ( P_in + P_fin ) * ( V_fin - V_in ) / 2 =
= ( P_in + P_fin ) * [ ( m_{vap sat fin} / ρ_{vap sat fin} + m_{liq fin} / ρ_{liq fin} ) - ( m_{vap sat in} / ρ_{vap sat in} + m_{liq in} / ρ_{liq in} ) ] / 2 =
= ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat in} + FC_in * m / ρ_{liq in} ] / 2

Unendo quest'ultima equazione alle precedenti e con alcuni passaggi algebrici è possibile ottenere l'equazione per calcolare la frazione condensata

Di seguito viene proposto un esempio in cui vengono applicate le equazioni discusse.

ESEMPIO NUMERICO

STATO INIZIALE: 1kg di vapore saturo a 10bar (179,9°C)

m = m_vapore = 1kg
m_liquido = 0kg (la fase liquida è assente)
FC_in = 0

L'entalpia specifica e la densità tabulati risultano essere

H_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} = 2.777,1 kJ kg^-1
ρ_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} = 5,1451 kg m^-3

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale diventano

H_in = H_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} * m =
= 2.777,1 kJ kg^-1 * 1kg =
= 2.777,1kJ

U_in = H_in - P_in * m / ρ_{vapore saturo, @10bar(179,9°C)} =
2.777,1 kJ kg^-1 * 1kg - 1.000kPa * 1kg / ( 5,1451 kg m^-3 ) =
= 2.777,1kJ - 194,4kJ =
= 2.582,7kJ

STATO FINALE: Vapore saturo a 1 bar (99,6°C) e liquido a 1 bar e 99,6°C per una massa complessiva pari a 1kg

Le entalpie specifiche e le densità tabulate risultano essere

H_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} = 2.674,9 kJ kg^-1
ρ_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} = 0,5904 kg m^-3

H_{liquido, @1bar e 99,6°C} = 417,50 kJ kg^-1
ρ_{liquido, @1bar e 99,6°C} = 958,63 kg m^-3

Applicando l'equazione riportata sopra per il calcolo della frazione condensata si ottiene

Frazione condensata finale = FC_fin = 0,2476 (24,76%)

da cui a cascata è possibile calcolare tutti gli altri valori

H_fin = H_{vap saturo, @1bar(99,6°C)} * ( 1 - Frazione condensata ) * m + H_{liquido, @1bar e 99,6°C} * Frazione condensata * m =
= 2.674,9 kJ kg^-1 * ( 1 - 0,2476 ) * 1kg + 417,50 kJ kg^-1 * 0,2476 * 1kg =
= 2.116,0kJ

U_fin = H_fin - P * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vapore saturo, @1bar(99,6°C)} + FC_finale * m / ρ_{vapore saturo, @1bar e 99,6°C} ] =
= 2.116,0 kJ - 100kPa * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m^-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m^-3 ) ] =
= 1.988,5kJ

L = ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - ( 1 - FC_in ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} ] / 2

Poichè lo stato iniziale è costituito solo da vapore, la frazione condensata iniziale è nulla e l'equazione generale sopra riportata si semplifica in

L = ( P_in + P_fin ) * [ ( 1 - FC_fin ) * m / ρ_{vap sat fin} + FC_fin * m / ρ_{liq fin} - m / ρ_{vap sat fin} ] / 2 =
= ( 1.000kPa + 100kPa ) * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m^-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m^-3 ) - 1kg / ( 5,1451 kg m^-3 ) ] / 2 =
= 594,2kJ

Il lavoro risulta ovviamente identico alla variazione di energia interna

L = -ΔU = - ( U_fin - U_in ) = U_in - U_fin =
= 2.582,7kJ - 1.988,5kJ = 594,2kJ

Il diagramma P-V che segue rappresenta i punti relativi agli stati iniziale e finale della trasformazione e l'approssimazione lineare adottata per il calcolo del lavoro di volume. Il valore di quest'ultimo corrisponde a quello dell'area di colore verde.

Si segnala che l'esempio numerico proposto ha una funzione dimostrativa/didattica della metodologia ma non deve essere considerato la soluzione definitiva. In tal senso si anticipa che il metodo proposto è tanto più preciso quanto minore è la differenza di pressione fra lo stato iniziale e quello finale e quindi per migliorare l'attendibilità dei risultati è necessario suddividere l'espansione in più passaggi (step).
Nel prossimo post scopriremo che valutare un'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar in un solo step come fatto nell'esempio genera una stima errata per eccesso sia sul lavoro (+73%) che sulla frazione condensata (+93%) e che per ottenere un risultato più realistico è indispensabile suddividere l'espansione in più step.