La trasformazione isoterma

Un gas compie una trasformazione isoterma quando fa o subisce lavoro di volume ricevendo o dissipando calore in modo da mantenere invariata la temperatura.
Quando un gas compie un'espansione effettuando perciò lavoro di volume, il volume aumenta mentre la pressione e la temperatura diminuiscono.
Fornendo calore dall'esterno si può impedire la variazione della temperatura, ma la pressione cala comunque anche se di una minore entità rispetto al caso in cui la temperatura non viene mantenuta costante.
Quando un gas viene compresso subendo perciò del lavoro di volume, il volume diminuisce mentre la pressione e la temperatura aumentano.
Dissipando calore verso l'esterno si può impedire la variazione della temperatura, ma la pressione cresce comunque anche se di una minore entità rispetto al caso in cui la temperatura non viene mantenuta costante.
In pratica, una trasformazione isoterma con immissione di calore è un'espansione a temperatura costante e al tempo stesso una depressurizzazione a temperatura costante; una trasformazione isoterma con perdita di calore è una compressione a temperatura costante e al tempo stesso una pressurizzazione a temperatura costante.

A parità di calore scambiato, la variazione di volume e di pressione non dipende dal tipo di gas, ma solo dai valori iniziali di P e V e dalla quantità di gas secondo le seguenti relazioni

Variazione di Volume = V_finale - V_iniziale = V_iniziale * { e ^{[ Q / ( n * R * T ) ]} - 1 }

Variazione di Pressione = P_finale - P_iniziale = P_iniziale * { e ^{[ - Q / ( n * R * T ) ]} - 1 }

in cui

V_finale è il volume alla fine della trasformazione espresso in m³
V_iniziale è il volume all'inizio della trasformazione espresso in m³
P_finale è la pressione alla fine della trasformazione espressa in Pa
P_iniziale è la pressione all'inizio della trasformazione espressa in Pa
Q è il calore scambiato espresso in J: un valore di Q positivo indica calore fornito al gas, un valore di Q negativo indica calore ceduto dal gas
n è la quantità di gas espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti (R = 8,314 J mol^-1 K^-1)
T è la temperatura a cui avviene la trasformazione espressa in K

Di seguito sono stati graficati i salti volumetrici e pressori in funzione del calore scambiato.
I valori sono riferiti a 1m³ di gas a T=300K, P=100kPa, n=40,09mol.

I punti in cui il calore scambiato è positivo sono relativi al calore fornito al gas, i punti in cui il calore scambiato è negativo sono relativi al calore perso dal gas.
Il primo grafico evidenzia il fatto che il volume non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale (del tipo y=e^x).
Il secondo grafico evidenzia il fatto che la pressione non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale inverso (del tipo y=e^-x).
I grafici presentati di seguito mostrano i valori effettivi del volume e della pressione.

Il primo grafico evidenzia nuovamente il fatto che il volume non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale (del tipo y=e^x+Costante).
Il secondo grafico evidenzia il fatto che la pressione non varia in modo lineare con il calore scambiato, ma ha invece un andamento di tipo esponenziale inverso (del tipo y=e^-x+Costante).

La trasformazione isoterma in un diagramma P-V è rappresentata da un tratto curvo di tipo iperbolico.
Partendo dall'equazione di stato dei gas perfetti

P * V = n * R * T

si arriva immediatamente a

P = n * R * T / V

dove il termine n * R * T è costante per le trasformazioni isoterme quindi l'equazione assume la forma semplificata

P = costante / V

A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, e a parità di calore scambiato, la lunghezza della curva è indipendente dal tipo di gas.
Di seguito sono state graficate due trasformazioni isoterme.
Quella che si sviluppa dal punto iniziale verso sinistra è una compressione isoterma con cessione di 100kJ di calore; l'altra è una espansione isoterma con assorbimento di 100kJ.

Una considerazione fondamentale è che nella trasformazione isoterma è presente il lavoro di volume (con segno positivo se lavoro fatto dal gas, con segno negativo se lavoro subito dal gas). Il suo valore nel diagramma P-V è rappresentato dall'area sottesa dalla curva di trasformazione (l'area rossa per la compressione isoterma, l'area verde per l'espansione isoterma).

Matematicamente, l'area sottesa da una curva si calcola con l'operazione di integrale e nel caso specifico si scrive come segue

L_{espansione isoterma} = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) = 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 300 K * ln ( 2,718 m ³/1 m ³ ) = 100kJ = Q

L_{compressione isoterma} = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) = 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 300 K * ln ( 0,368 m ³/1 m ³ ) = -100kJ = Q

In una espansione isoterma il calore fornito viene trasformato integralmente in lavoro fatto dal gas.
In una compressione isoterma è il lavoro fatto sul gas che viene convertito integralmente in calore dissipato.
Per quanto sopra deriva che l'energia termica di un gas è costante in una trasformazione isoterma.
L'isoterma è una trasformazione in cui le uniche forme di energia coinvolte sono il calore scambiato e il lavoro di volume.
Nell'espansione isoterma (o anche depressurizzazione isoterma), l'energia fornita al gas sottoforma di calore viene completamente convertita in lavoro di volume.
Nella compressione isoterma (o anche pressurizzazione isoterma), il gas riceve energia sottoforma di lavoro dall'esterno e la dissipa integralmente sottoforma di calore.

La trasformazione isocora

Un gas subisce una trasformazione isocora quando riceve o dissipa calore senza variazione di volume.
Quando il calore viene assorbito dal gas, la sua temperatura aumenta e di conseguenza aumenta la pressione.
Quando il calore viene ceduto dal gas, la sua temperatura diminuisce e di conseguenza diminuisce la pressione.
In pratica una trasformazione isocora con immissione di calore è un riscaldamento a volume costante e al tempo stesso una pressurizzazione a volume costante; una trasformazione isocora con perdita di calore è un raffreddamento a volume costante e al tempo stesso una depressurizzazione a volume costante.

La variazione di temperatura dipende dal tipo di gas e dalla sua quantità secondo la seguente relazione

Variazione di Temperatura = T_finale - T_iniziale = Q / ( n * Cv )

in cui

T_finale è la temperatura alla fine della trasformazione espressa in K
T_iniziale è la temperatura all'inizio della trasformazione espressa in K
Q è il calore scambiato espresso in J: un valore di Q positivo indica calore fornito al gas, un valore di Q negativo indica calore ceduto dal gas
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico ideale, 5*R/2 per il gas biatomico ideale, 7*R/2 per il gas poliatomico ideale con R = 8,314 J mol^-1 K^-1
n è la quantità di gas espressa in moli

Di seguito sono stati graficati i salti termici dei tre tipi di gas in funzione del calore scambiato.
I valori sono riferiti a una quantità di gas pari a 40,09 moli. Tale quantità di gas è contenuta in V=1m³ a P=100kPa e T=300K.

I punti in cui il calore scambiato è positivo sono relativi al calore fornito al gas, i punti in cui il calore scambiato è negativo sono relativi al calore perso dal gas.
Il grafico evidenzia il fatto che a parità di calore scambiato (per esempio 100kJ), la variazione di temperatura è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico, minima col gas poliatomico.
Assumendo che la temperatura iniziale del gas sia pari a 300K, le temperature finali in funzione del calore scambiato per i tre tipi di gas sono quelle graficate di seguito.

Unendo la precedente relazione per il calcolo della variazione di temperatura a quella dei gas perfetti si ottiene l'equazione che lega la variazione di pressione allo scambio di calore.

DeltaP = P_finale - P_iniziale = n * R * DeltaT / V = n * R * Q / (n * Cv * V ) = R * Q / ( Cv * V )

in cui

P_finale è la pressione alla fine della trasformazione espressa in Pa
P_iniziale è la pressione all'inizio della trasformazione espressa in Pa
V è il volume occupato dal gas espresso in m³

Di seguito sono stati graficati i salti di pressione per i tre tipi di gas in funzione del calore scambiato.

Dai grafici si vede che a parità di calore scambiato (per esempio 100kJ), la variazione di pressione è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico, minima col gas poliatomico.

La trasformazione isocora in un diagramma P-V è rappresentata da un segmento verticale la cui lunghezza indica la variazione di pressione.
A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, e a parità di calore scambiato, la lunghezza del segmento cambia in funzione del tipo di gas e, per quanto già visto sopra, la lunghezza è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per quello biatomico, minima per quello poliatomico.

Di seguito sono state graficate le trasformazioni isocore per i tre tipi di gas in cui lo stato iniziale è il medesimo. Il grafico mostra sia le trasformazioni nel caso in cui sono forniti 100kJ al gas, sia le trasformazioni nel caso in cui vengono prelevati 100kJ dal gas.

Una considerazione fondamentale è che nella trasformazione isocora il lavoro di volume è assente perchè non c'è variazione di volume.
In pratica in una trasformazione isocora il calore che viene fornito al gas si accumula integralmente sotto forma di energia termica del gas.
Viceversa, quando il calore viene dissipato è l'energia termica del gas che si riduce e si converte integralmente in calore.
L'isocora è una trasformazione in cui le uniche forme di energia coinvolte sono il calore scambiato e l'energia termica del gas.
Nel raffreddamento isocoro (o anche depressurizzazione isocora), l'energia termica del gas si riduce e il gas cede calore all'esterno.
Nel riscaldamento isocoro (o anche pressurizzazione isocora), il gas assorbe calore e lo accumula sottoforma di energia termica.
Una trasformazione isocora anomala è stata già discussa in precedenza nel post dedicato al rigeneratore di calore.
In tale sede viene trattata una trasformazione isocora in cui lo scambio termico avviene fra il gas e il rigeneratore di calore.

Il trasferimento del calore

Fino a questo punto i motori esotermici sono stati presentati e valutati dal punto di vista termodinamico trascurando completamente l'aspetto cinetico relativo al processo di trasferimento del calore.
Il calore si trasferisce spontaneamente da una zona a temperatura più elevata a una zona a temperatura più bassa.
Il gradiente termico, cioè la presenza di una differenza di temperatura, è la condizione necessaria affinchè avvenga un trasferimento spontaneo di calore e il calore si sposta sempre dalla zona a temperatura più alta alla zona a temperatura più bassa.
In assenza di gradiente termico non può avvenire alcun trasferimento spontaneo di calore.

Dal punto di vista del trasferimento di calore i liquidi e i gas hanno un comportamento analogo mentre i solidi sono un caso a parte.
Nei solidi il trasferimento di calore avviene per conduzione e per irraggiamento, nei liquidi e nei gas è possibile anche la convezione.
Esistono due tipologie di convezione: quella naturale e quella forzata.
La convezione naturale è un fenomeno che si manifesta per effetto della forza di gravità: il gas (o il liquido) caldo, più rarefatto quindi più leggero, tende a salire, il gas (o il liquido) freddo, più denso e quindi più pesante, tende a portarsi in basso.
Si parla invece di convezione forzata quando facendo lavoro meccanico dall'esterno si provoca un flusso di materiale (per esempio con una pompa o una ventola).

La convezione è una modalità opzionale per il trasferimento di calore, nel senso che essa può essere o non essere presente.
Mentre è scontato il motivo della presenza o assenza della convezione forzata, potrebbe non esserlo per quella naturale.
La convenzione naturale è assente quando la temperatura aumenta spostandosi dal basso verso l'alto perchè in questa situazione la forza di gravità non ha effetti sulla posizione del fluido.
In assenza di convezione, i liquidi e i gas trasferiscono calore solo per conduzione e irraggiamento e pertanto assumono un comportamento analogo a quello dei solidi.
La possibilità di impedire la convezione rende significativo il confronto della conducibilità termica fra sostanze in qualunque stato fisico.

La potenza termica trasmessa per conduzione è calcolabile con la seguente relazione

P_t = C_t * S * (T_calda - T_fredda) / L

dove

P_t è la potenza termica espressa in [W]
C_t è la conducibilità termica espressa in [W K^-1 m^-1]
S è la sezione o superficie di conduzione espressa in [m²]
T_calda è la temperatura più calda espressa in [K]
T_fredda è la temperatura più fredda espressa in [K]
L è la distanza fra la temperatura calda e la temperatura fredda espressa in [m]

Mentre per i solidi e i liquidi la C_t dipende solo dalla sostanza, nei gas dipende anche dalla pressione.
Per questo motivo per i gas i valori di conducibilità vengono normalmente riferiti alla pressione di 1 atmosfera.
Nel grafico sono riportati i valori di alcune sostanze.

Concludiamo con una considerazione.
L'elio è un fluido utilizzato molto spesso nei motori a combustione esterna perchè rispetto ad altri gas è caratterizzato da una migliore conducibilità (rispetto all'azoto è circa 6 volte più conduttivo).
Ma l'elio confrontato con i metalli riportati nel grafico fa prepotentemente realizzare che è sempre un gas e in quanto tale un buon isolante (l'elio rispetto al rame conduce 2500 volte peggio).
L'unica scappatoia per migliorare lo scambio termico quando si ha a che fare con i gas (e in generale con tutti i fluidi) è lavorare in presenza di convezione (meglio se forzata).

Ciclo di Brayton: considerazioni su rendimento e lavoro utile

Per quanto già trattato, il rendimento del ciclo Brayton può essere valutato utilizzando la seguente relazione

Rendimento = 1 - (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]}

La formula necessita però di alcune indicazioni per l'uso perchè altrimenti induce a delle conclusioni errate.
Dal punto di vista algebrico il rapporto P_minima/P_massima può assumere un qualunque valore compreso fra 0 e 1.
Il rapporto vale 1 quando P_minima = P_massima e si riduce progressivamente a 0 al crescere di P_massima (o anche al diminuire di P_minima).
In figura è stato stato graficato l'andamento del rendimento in funzione di P_minima/P_massima per i tre tipi di gas.

Le curve mostrano che il rendimento aumenta al diminuire del rapporto P_minima/P_massima.
In pratica, a parità di P_minima, aumentare P_massima significa ottenere rendimenti migliori.
I grafici confermano la considerazione già fatta in precendenza che il miglior rendimento si ha con il gas monoatomico, poi con quello biatomico e a seguire con il poliatomico.
La formula fa erroneamente ritenere accessibili rendimenti prossimi al 100% o almeno di rendere possibili rendimenti superiori a quello di Carnot.
Nessuna delle due possibilità corrisponde a verità.
Vediamo cosa accade al ciclo di Brayton vincolando alcuni parametri operativi e facendo variare esclusivamente il rapporto di pressioni P_minima/P_massima.
Prendiamo come riferimento i parametri utilizzati nell'esempio presentato alla fine del precedente post, e consideriamo costanti

T_A = 300K
T_C = 600K
V_D = 3m³
P_minima = 100kPa

Di seguito sono raccolti nello stesso diagramma PV i cicli di Brayton a diversi rapporti di pressione.

Nel grafico si passa da una situazione estrema in cui

P_minima/P_massima = 1

che è rappresentata dal tratto orizzontale a P = 100kPa (assenza delle trasformazioni adiabatiche e presenza di due trasformazioni isobare sovrapposte) ad un'altra situazione estrema in cui

P_massima = 550kPa

che viene rappresentata dalla linea curva di colore marrone (assenza delle trasformazioni isobare e presenza di due trasformazioni adiabatiche sovrapposte).
Fra queste due situazioni estreme, tre posizioni intermedie in cui è presente il classico ciclo di Brayton.
Il ciclo azzurro che si trova al di sopra della curva marrone è sempre un ciclo Brayton ma sostanzialmente diverso precedenti: il lavoro utile di questo ciclo è negativo.
Si tratta cioè di un esempio in cui il ciclo di Brayton funge da pompa di calore e non da motore termico.

La formula che calcola il rendimento del ciclo Brayton in funzione del rapporto P_minima / P_massima è valida fintantochè il valore di P_minima / P_massima è maggiore del valore a cui si osserva la scomparsa delle trasformazioni isobare.

Tale valore limite dipende dalle condizioni operative e dal tipo di gas.
Per chiarire il concetto, consideriamo un grafico che presenta assieme rendimento e lavoro utile per i tre tipi di gas.

La figura permette di fare alcune importanti considerazioni.
Il lavoro utile ha un andamento diverso da quello del rendimento.
Ha valore nullo quando il rapporto di pressioni ha un valore unitario e aumenta progressivamente fino ad un massimo al diminuire del rapporto di pressioni.
Il valore del rapporto di pressioni a cui corrisponde il massimo del lavoro utile è maggiore del punto in cui avviene la scomparsa delle isobare.
Oltre il massimo, riducendo ancora il rapporto di pressione, il lavoro utile diminuisce rapidamente fino ad annullarsi al raggiungimento del valore del rapporto di pressioni a cui scompaiono le isobare.
E' curioso che la formula del rendimento applicata al caso del ciclo Brayton in cui sono assenti le isobare fornisce come risultato il rendimento di Carnot

Rendimento = 1 - (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]} = 1 - T_A / T_C

Si noti che nel grafico sono presenti tre frecce nere che indicano il punto delle tre curve di rendimento in cui viene raggiunto il 50% (che è pari al rendimento di Carnot alle condizioni operative considerate per l'analisi eseguita in questo post).

DIMOSTRAZIONE
Poichè il ciclo è composto da due adiabatiche sovrapposte vale

P_minima*V_D^gamma = P_minima*V_A^gamma = P_massima*V_C^gamma = P_massima*V_B^gamma

P_minima*V_A^gamma = P_massima*V_C^gamma

V_C^gamma / V_A^gamma = P_minima/P_massima

(V_C / V_A)^gamma = P_minima/P_massima

V_C / V_A = (P_minima/P_massima)^1/gamma

Inoltre

P_minima*V_A^gamma = P_massima*V_C^gamma

P_minima*V_A*V_A^{(gamma - 1)} = P_massima*V_C*V_C^{(gamma - 1)}

n*R*T_A*V_A^{(gamma - 1)} = n*R*T_C*V_C^{(gamma - 1)}

T_A*V_A^{(gamma - 1)} = T_C*V_C^{(gamma - 1)}

T_A/T_C = V_C^{(gamma - 1)} / V_A^{(gamma - 1)} = (V_C / V_A)^{(gamma - 1)}

Per quanto visto sopra

V_C / V_A = (P_minima/P_massima)^1/gamma

quindi

T_A/T_C = [(P_minima/P_massima)^1/gamma]^{(gamma - 1)} = (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]}

Sostituendo quest'ultima relazione in quella per il rendimento si ottiene

Rendimento = 1 - T_A / T_C

che è il rendimento di Carnot dal momento che T_A e T_C sono rispettivamente le temperature minima e massima del ciclo.

APPROFONDIMENTI CONSIGLIATI
Sullo stesso argomento si segnala la discussione intitolata "Ragionamenti sul ciclo di Brayton-Joule" presente sul forum Scienza Laterale.

Il ciclo di Brayton

Il ciclo di Brayton è un ciclo composto da due trasformazioni isobare e da due trasformazioni adiabatiche. Di seguito la sua rappresentazione nei diagrammi P-V e T-V.

Poichè P_A=P_D e P_B=P_C è conveniente riferirsi alle prime con P_minima e alle seconde con P_massima.

FASE	LAVORO DI VOLUME	CALORE SCAMBIATO
Adiabatica AB	n*Cv*(TB-TA)	0
Isobara BC	Pmassima*(VC-VB)	n*Cp*(TC-TB)
Adiabatica CD	n*Cv*(TD-TC)	0
Isobara DA	Pminima*(VA-VD)	n*Cp*(TA-TD)

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e, utilizzando il primo metodo alternativo già discusso, risulta essere

L = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA = n*Cv*(T_B-T_A) + P_massima*(V_C-V_B) + n*Cv*(T_D-T_C) + P_minima*(V_A-V_D)

In effetti, anche se l'equazione si esprime come somma di quattro termini, L_AB e L_DA hanno valori inferiori a zero.
Il lavoro utile può essere calcolato anche come somma dei calori scambiati nelle varie fasi.

L = Q_AB + Q_BC + Q_CD + Q_DA = 0 + Q_BC + 0 + Q_DA = n*Cp*(T_C-T_B) + n*Cp*(T_A-T_D)

Ancora una volta, anche se l'equazione si esprime come somma di due termini (perchè dei quattro iniziali due sono nulli), Q_DA è negativo (è calore che esce dal sistema).
In altre parole, il lavoro è pari alla differenza fra calore fornito e calore dissipato.
Dal momento che il calore fornito al sistema dall'esterno è solo quello relativo all'isobara BC

Q_BC = n*Cp*(T_C-T_B)

il rendimento del ciclo risulta

Rendimento = (Q_BC + Q_DA) / Q_BC =
= 1 + Q_DA / Q_BC =
= 1 + n*Cp*(T_A-T_D) / [ n*Cp*(T_C-T_B) ] =
= 1 + (T_A-T_D) / (T_C-T_B) =
= 1 - (T_A/T_B) * [ (T_D/T_A) - 1 ] / [ (T_C/T_B) - 1 ]

Una caratteristica del ciclo di Brayton è che i volumi e le temperature dei quattro punti che lo individuano non sono arbitrari ma risultano vincolati fra loro dalle seguenti uguaglianze

V_D / V_A = V_C / V_B

T_D / T_A = T_C / T_B

Tenendo conto della seconda relazione nell'equazione del rendimento, il contenuto fra le parentesi quadre risulta uguale a 1 e l'equazione si semplifica in

Rendimento = 1 - (T_A/T_B)

E' importante notare che l'equazione è solo in apparenza uguale a quella di Carnot: T_B NON è la temperatura massima raggiunta dal sistema (che invece è T_C).
Questo significa che il rendimento del ciclo di Brayton è SEMPRE minore del rendimento di Carnot (che rappresenta il rendimento massimo teorico).

Rendimento di Brayton = 1 - (T_A/T_B) < 1 - (T_A/T_C) = Rendimento di Carnot

Un'equazione alternativa per il rendimento di Brayton è la seguente

Rendimento = 1 - (P_minima/P_massima)^{[ (gamma - 1) / gamma ]}

Tipo di gas	gamma = Cp/Cv	(gamma - 1) / gamma
Gas Monoatomico	5/3	2/5 = 0,400
Gas Biatomico	7/5	2/7 = 0,286
Gas Poliatomico	9/7	2/9 = 0,222

Va notato che rendimento e lavoro di volume dipendono dal tipo di gas.
Il rendimento migliore si ottiene nel caso del gas monoatomico. Segue il gas biatomico e poi il poliatomico.
Per quanto riguarda il lavoro utile la generalizzazione è più complessa perchè la graduatoria dipende dalle grandezze fisiche che vengono mantenute costanti per fare il confronto.
Ci sono casi in cui il maggior lavoro di volume si ha con il gas monoatomico, seguito dal quello biatomico e poi da quello poliatomico.
Ma ce ne sono altri in cui il maggior lavoro di volume si ha con il gas poliatomico, seguito dal quello biatomico e poi da quello monoatomico.
Per qualche chiarimento sul coefficiente gamma si rimanda a quanto già scritto.

APPROFONDIMENTI CONSIGLIATI
Sullo stesso argomento si segnala la discussione intitolata "Ragionamenti sul ciclo di Brayton-Joule" presente sul forum Scienza Laterale.

Esaminiamo in dettaglio un esempio con dei numeri.
Nelle prime tre tabelle sono raccolte le coordinate dei 4 punti A,B,C,D per i gas monoatomico, biatomico e poliatomico.
Nella quarta tabella sono riassunte le trasformazioni e le energie scambiate per i tre tipi di gas (monoatomico, biatomico e poliatomico) e poi, nel riepilogo, il lavoro utile, i calori scambiati e il rendimento.
I numeri nella quarta tabella mostrano che a parità di ingombro, cioè a parità di V_D (che è il volume massimo), e di condizioni operative, cioè a parità di T_C, T_A, P_massima e P_minima, il lavoro e rendimento dipendono dal tipo di gas.
Per quanto riguarda il rendimento, esso risulta il più elevato nel caso del gas monoatomico (24,2%), un po' più basso per il biatomico (18%), il più basso per quello poliatomico (14,3%). Per confronto, il rendimento di Carnot fra la temperatura massima T_C=600K e la temperatura minima T_A=300K è pari al 50%.
Per quanto riguarda il lavoro utile, esso risulta il più basso nel caso del gas monoatomico (81kJ), un po' più alto per il biatomico (90kJ), il più elevato per quello poliatomico (94kJ).

GAS MONOATOMICO
PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1,98 m3	300K (27°C)	79,4 mol
B	200kPa	1,31 m3	396K (123°C)	79,4 mol
C	200kPa	1,98 m3	600K (327°C)	79,4 mol
D	100kPa	3,00 m3	455K (182°C)	79,4 mol

GAS BIATOMICO
PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1,83 m3	300K (27°C)	73,3 mol
B	200kPa	1,11 m3	366K (93°C)	73,3 mol
C	200kPa	1,83 m3	600K (327°C)	73,3 mol
D	100kPa	3,00 m3	492K (219°C)	73,3 mol

GAS POLIATOMICO
PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1,75 m3	300K (27°C)	70,2 mol
B	200kPa	1,02 m3	350K (77°C)	70,2 mol
C	200kPa	1,75 m3	600K (327°C)	70,2 mol
D	100kPa	3,00 m3	514K (241°C)	70,2 mol

TRASFORMAZIONE	L,Q MONOATOMICO	L,Q BIATOMICO	L,Q POLIATOMICO
Adiabatica AB	-95kJ, 0kJ	-100kJ, 0kJ	-102kJ, 0kJ
Isobara BC	135kJ, 337kJ	143kJ, 500kJ	146kJ, 656kJ
Adiabatica CD	144kJ, 0kJ	164kJ, 0kJ	175kJ, 0kJ
Isobara DA	-102kJ, -255kJ	-117kJ, -410kJ	-125kJ, -563kJ
RIEPILOGO
Calore fornito (QBC)	337kJ	500kJ	656kJ
Calore dissipato (QDA)	-255kJ	-410kJ	-563kJ
Lavoro Utile	81kJ	90kJ	94kJ
Rendimento	24,2%	18,0%	14,3%

Efficienza del rigeneratore di calore e rendimento del ciclo di Stirling

Il rendimento del ciclo di Stirling uguaglia quello del ciclo di Carnot solo in presenza di una rigenerazione termica ideale, intendendo con questo termine un'efficienza del rigeneratore di calore del 100%.
E' stato già dimostrato che in tale situazione il rendimento risulta indipendente dal tipo di gas.
Riprendiamo per comodità la tabella riepilogativa già presentata in tale occasione per esaminare cosa accade nel caso in cui il rigeneratore presenti delle inefficienze.

PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1m3	300K (27°C)	40,1 mol
B	200kPa	1m3	600K (327°C)	40,1 mol
C	100kPa	2m3	600K (327°C)	40,1 mol
D	50kPa	2m3	300K (27°C)	40,1 mol

TRASFORMAZIONE		L,Q MONOATOMICO	L,Q BIATOMICO	L,Q POLIATOMICO
Isocora AB		0kJ,150kJ	0kJ, 250kJ	0kJ, 350kJ
Isoterma BC		138kJ, 138kJ
Isocora CD		0kJ, -150kJ	0kJ, -250kJ	0kJ, -350kJ
Isoterma DA		-69kJ, -69kJ
RIEPILOGO
Calore netto fornito (QBC)		139kJ
Calore netto dissipato (QDA)		-69kJ
Calore rigenerato (QAB= - QCD)		150kJ	250kJ	350kJ
Lavoro Utile (LBC + LDA)		69kJ
Rendimento		50%

Consideriamo il caso in cui l'efficienza del rigeneratore sia dell'80%.
In pratica, l'80% dell'energia termica scambiata nelle isoterme viene rigenerata mentre il restante 20% viene prelevato dalla parete calda e ceduto alla parete fredda.
Il calore complessivo immesso nel sistema viene individuato ora da due contributi.
Oltre al calore scambiato nell'isoterma alla T_calda

Q_ideale = n*R*T_calda*ln(V_massimo/V_minimo)

compare il contributo dovuto all'inefficienza del rigeneratore pari a

Q_{per inefficienza rigenerazione} = (1-0,8) * calore rigenerato = (1-0,8) * n*Cv*(T_calda-T_fredda)

Q = Q_ideale + Q_{per inefficienza rigenerazione}

In tabella sono raccolti i valori per i tre casi e i rendimenti corretti.

	Gas Monoatomico	Gas Biatomico	Gas Poliatomico
Lavoro utile	69kJ
Qideale	138kJ
Rendimentoideale	50%
Qper inefficienza rigeneratore	30kJ	50kJ	70kJ
Rendimentocorretto	41,1%	36,7%	33,2%

La casistica completa delle efficienze del rigeneratore dallo 0% al 100% e i corrispondenti rendimenti del ciclo sono stati rappresentati nel grafico di seguito.

Il grafico mostra che a parità di efficienza di rigenerazione il maggior rendimento del ciclo di Stirling compete al gas monoatomico, seguito dal gas biatomico e poi dal gas poliatomico.
Concludiamo puntualizzando che, mentre i numeri e le curve sono relativi ad una situazione specifica (i parametri operativi sono indicati nella prima tabella del post), la considerazione che il gas monoatomico permette migliori prestazioni rispetto agli altri tipi di gas ha validità generale.

Il ciclo di Stirling

Il ciclo di Stirling è un ciclo composto da due trasformazioni isoterme e da due trasformazioni isocore in presenza di rigenerazione termica. Di seguito le sue rappresentazioni nei diagrammi P-V e T-V.

Poichè T_A=T_D e T_B=T_C è conveniente riferirsi alle prime con T_fredda e alle seconde con T_calda.
Inoltre, poichè V_A=V_B e V_C=V_D è conveniente riferirsi ai primi con V_minimo e ai secondi con V_massimo.

FASE	LAVORO DI VOLUME	CALORE SCAMBIATO
Isocora AB	0	n*Cv*(Tcalda-Tfredda)
Isoterma BC	n*R*Tcalda*ln(Vmassimo/Vminimo)
Isocora CD	0	n*Cv*(Tfredda-Tcalda)
Isoterma DA	n*R*Tfredda*ln(Vminimo/Vmassimo)

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e, utilizzando il primo metodo alternativo già discusso, risulta essere

L = L_BC + L_DA = n*R*T_calda*ln(V_massimo/V_minimo) + n*R*T_fredda*ln(V_minimo/V_massimo)

In effetti, anche se l'equazione si esprime come somma di due termini, L_DA ha un valore inferiore a zero.
Sfruttando una delle proprietà dell'operatore logaritmo, ovvero

ln(A/B) = - ln(B/A)

l'equazione del lavoro può essere riscritta come

L = n*R*T_calda*ln(V_massimo/V_minimo) + n*R*T_fredda*ln(V_minimo/V_massimo) =
= n*R*T_calda*ln(V_massimo/V_minimo) - n*R*T_fredda*ln(V_massimo/V_minimo) =
= n*R*ln(V_massimo/V_minimo)*(T_calda-T_fredda)

Per quanto riguarda gli scambi termici, il gas assorbe calore nell'isocora AB e nell'isoterma BC mentre cede calore nell'isocora CD e nell'isoterma DA.
Essendo

Q_AB = n*Cv*(T_Calda-T_Fredda) = - n*Cv*(T_Fredda-T_Calda) = - Q_CD

cioè il calore assorbito dal gas nell'isocora AB è uguale a quello ceduto nell'isocora CD, la rigenerazione termica fa in modo che questi due contributi si elidano a vicenda e pertanto il calore fornito al sistema dall'esterno è solo quello relativo all'isoterma BC

Q_BC = n*R*T_calda*ln(V_massimo/V_minimo)

Il rendimento del ciclo risulta

Rendimento = L/Q_BC = n*R*ln(V_massimo/V_minimo)*(T_calda-T_fredda) / n*R*T_calda*ln(V_massimo/V_minimo) = 1 - T_fredda / T_calda

Il rendimento del ciclo di Stirling in presenza di rigenerazione coincide con quello del ciclo di Carnot. Come il ciclo di Carnot, anche il ciclo di Stirling in presenza di rigenerazione termica ottiene il rendimento massimo ottenibile scambiando calore fra T_calda e T_fredda.
Va notato che sia il rendimento che il lavoro di volume sono indipendenti dal tipo di gas.

Esaminiamo in dettaglio un esempio con dei numeri.
Nella prima tabella sono raccolte le coordinate dei 4 punti A,B,C,D.
Nella seconda tabella sono riassunte le trasformazioni e le energie scambiate per i tre tipi di gas (monoatomico, biatomico e poliatomico) e poi, nel riepilogo, il lavoro utile, i calori scambiati e il rendimento.
I numeri in tabella mostrano che a parità di macchina, cioè a parità di V_A,V_B,V_C e V_D, e di condizioni operative, cioè a parità di n, T_fredda, T_calda (e quindi anche a parità di pressioni), il lavoro e rendimento sono invariati, mentre cambia il calore scambiato nelle isocore AB e CD.
Tale calore non ha effetti sul rendimento per la presenza della rigenerazione termica (rigenerazione termica ideale cioè con efficienza del 100%); il calore scambiato risulta massimo per il gas poliatomico e minimo per il monoatomico e questo naturalmente comporta una crescente sollecitazione del rigeneratore nel passare dal gas monoatomico al gas biatomico e dal gas biatomico al gas poliatomico.

PUNTO	Pressione	Volume	Temperatura	Quantità di gas
A	100kPa	1m3	300K (27°C)	40,1 mol
B	200kPa	1m3	600K (327°C)	40,1 mol
C	100kPa	2m3	600K (327°C)	40,1 mol
D	50kPa	2m3	300K (27°C)	40,1 mol

TRASFORMAZIONE		L,Q MONOATOMICO	L,Q BIATOMICO	L,Q POLIATOMICO
Isocora AB		0kJ,150kJ	0kJ, 250kJ	0kJ, 350kJ
Isoterma BC		138kJ, 138kJ
Isocora CD		0kJ, -150kJ	0kJ, -250kJ	0kJ, -350kJ
Isoterma DA		-69kJ, -69kJ
RIEPILOGO
Calore netto fornito (QBC)		139kJ
Calore netto dissipato (QDA)		-69kJ
Calore rigenerato (QAB= - QCD)		150kJ	250kJ	350kJ
Lavoro Utile (LBC + LDA)		69kJ
Rendimento		50%

Il rigeneratore di calore - Parte seconda

Completiamo il quadro iniziato con il precedente post considerando il caso in cui agendo dall'esterno si fa in modo di mantenere costante la temperatura nelle due camere.
Per simulare questa situazione ipotizziamo di avere un contenitore cilindrico al cui interno viene fatto scorrere un pistone di materiale isolante forato in modo da mettere in comunicazione le due camere (per ulteriori dettagli si rimanda al post introduttivo) in cui le pareti opposte del cilindro sono termicamente conduttive e riescono a mantenere costante la temperatura del gas nella camera relativa.
Scegliamo di avere la parete sinistra alla temperatura calda, quindi il gas nella camera di sinistra viene mantenuto alla stessa temperatura calda, e la parete destra alla temperatura fredda, quindi il gas nella camera destra viene mantenuto alla stessa temperatura fredda.
Nell'animazione vengono rappresentati gli scambi termici con delle frecce gialle che indicano il verso di spostamento del calore.

L'animazione mostra che per mantenere costante la temperatura delle due camere è necessario un flusso di calore che conserva sempre lo stesso verso.
Nella camera sinistra le frecce puntano dalla parete calda verso il gas, cioè la parete cede calore al gas.
Nella camera destra, le frecce puntano dal gas verso la parete fredda, cioè il gas cede calore alla parete fredda.
L'effetto termico netto è perciò uno spostamento di calore dalla parete calda alla parete fredda.
Inoltre, mentre nella situazione adiabatica la pressione risulta indipentedente dalla posizione del pistone, ora, in condizioni di isotermia in ciascuna delle due camere, la pressione dipende dalla posizione del pistone: risulta massima con il pistone tutto a destra, minima con il pistone tutto a sinistra.
Vediamo ora cosa accade inserendo il rigeneratore.
Come nell'ultima animazione gli scambi termici sono rappresentati con delle frecce gialle che indicano il verso di spostamento del calore.

L'animazione mostra che per mantenere costante la temperatura delle due camere è necessario un flusso di calore dalle pareti verso il gas quando il pistone si muove da destra verso sinistra, cioè le pareti cedono energia termica al gas.
Invece, quando il pistone si muove da sinistra verso destra il flusso di calore è invertito, il calore passa dal gas verso le pareti conduttive, cioè le pareti acquistano energia termica.
L'effetto termico netto è nullo.
Non c'è nessun trasporto termico dalla parete calda alla parete fredda.
Per metà ciclo le pareti cedono energia ma la riacquistano nella restante metà ciclo.
Come nella situazione adiabatica la pressione risulta dipentedente dalla posizione del pistone e risulta massima con il pistone tutto a destra, minima con il pistone tutto a sinistra.
Concludiamo sottolineando il fatto che, rispetto all'esempio di rigenerazione in condizioni adiabatiche, il mantenimento delle temperatura massima a sinistra e della temperatura fredda a destra (isotermia) provoca una maggiore sollecitazione del rigeneratore di calore in quanto risulta maggiore il quantitativo di energia termica da accumulare e cedere.
Questa informazione viene mostrata nell'animazione colorando il rigeneratore di un rosa più intenso (rispetto al caso adiabatico) quando il pistone è tutto a sinistra, e di un azzurro più intenso (rispetto al caso adiabatico) quando il pistone è tutto a destra.
Il rigeneratore impedisce lo scambio termico fra parete calda e parete fredda, agisce cioè da separatore.
Quando il pistone si muove da destra verso sinistra, il calore che passa dalla parete calda al gas nella camera sinistra, poi viene accumulato nel rigeneratore.
Nella camera di destra la temperatura si abbassa e la parete fredda cede calore al gas.
Quando il pistone si muove da sinistra a destra, il rigeneratore cede calore al gas che lo attraversa, il gas nella camera sinistra diventa più caldo della parete calda e cede calore alla parete (nella stessa quantità che era stata ceduta in precedenza dalla parete al gas).
Nella camera di destra la temperatura aumenta e il gas cede calore alla parete fredda (nella stessa quantità che era stata ceduta dalla parete fredda al gas).

Il rigeneratore di calore

Analizziamo ora un'idea che risale all'anno 1816 e la cui paternità spetta al reverendo scozzese Robert Stirling.
Consideriamo inizialmente un sistema in cui non è presente il rigeneratore di calore.
Ipotizziamo di avere un contenitore cilindrico chiuso con pareti perfettamente isolanti.
Al suo interno un pistone in materiale isolante forato al centro in modo da mettere in comunicazione le camere create ai due lati del pistone.
Se il pistone è fermo e se il foro è sufficientemente piccolo da rendere trascurabile lo scambio termico fra le due camere, ma sufficientemente grande da ritenere istantaneo il raggiungimento dell'equilibrio pressorio, è possibile indurre una differenza di temperatura fra le due camere pur avendo la stessa pressione.
Quando dall'esterno si fa muovere avanti e indietro il pistone, l'equilibrio termico viene raggiunto rapidamente (cioè la temperatura ritorna ad essere la stessa nelle due camere).

Una curiosità da notare e su cui riflettere: la pressione durante tutto il processo non varia.
A primo avviso questo comportamento potrebbe apparire in contrasto con le variazioni termiche.
Vediamo insieme perchè deve essere necessariamente così.
Nelle fasi in cui il pistone è in movimento, l'energia termica del sistema è costante in quanto non sono possibili scambi di calore con l'esterno (il sistema è termicamente isolato) e neppure scambi di energia sotto forma di lavoro di volume (perchè il volume è fisso).
Raggiunto l'equilibrio termico, viene ripristinato lo squilibrio termico fornendo una certa quantità di calore alla camera sinistra e dissipando la stessa quantità di calore dalla camera destra. L'energia termica non varia.
Quindi durante tutto il ciclo l'energia termica è costante.
A questo punto è necessaria una considerazione teorica: se la quantità di gas e il volume sono costanti, T e P sono due diverse manifestazioni macroscopiche dell'energia termica posseduta dal gas (E_gas=n*Cv*T). Tale affermazione si dimostra direttamente utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti in cui n e V vengono posti costanti:

P = n*R*T/V = costante * T

Inoltre poichè

E_gas=n*Cv*T

si ha

T = E_gas / (n*Cv)

e quindi anche

P = costante * T = costante * E_gas / (n*Cv)

Se all'interno del foro vengono introdotti una serie di elementi in materiale termicamente conduttivo di capacità termica adeguata (per esempio una serie di placchette di rame o di alluminio) si manifesta il fenomeno della rigenerazione termica. L'insieme delle placchette può essere identificato con il nome di rigeneratore di calore. Anche in questo caso il movimento del pistone viene provocato dall'esterno.

L'animazione mostra un sensibile cambio di comportamento rispetto al caso precedente.
Una delle differenze è la variazione della pressione durante il ciclo.
La pressione cambia perchè viene scambiata energia termica fra il gas e le placchette di materiale conduttivo.
Quando il pistone è tutto a sinistra il rigeneratore è prevalentemente rosa, mentre quando il pistone è tutto a destra il rigeneratore è prevalentemente azzurro.
I due colori sono indice di due diverse temperature: il rosa indica una temperatura più elevata rispetto all'azzurro. L'energia termica presente nel rigeneratore prevalentemente rosa è superiore a quella del rigeneratore prevalentemente azzurro.
Poichè la pressione di un gas dipende dalla sua energia termica, se questa cambia perchè c'è scambio di calore con il rigeneratore, anche la pressione deve variare.
Il rigeneratore si comporta come accumulatore termico: si carica di energia termica quando viene attraversato dal gas caldo (movimento del pistone da destra a sinistra) e si scarica quando viene attraversato dal gas freddo (movimento del pistone da sinistra a destra).
A livello teorico la presenza del rigeneratore di calore di fatto impedisce il raggiungimento dell'equilibrio termico al gas.
In casi reali la cosa ovviamente non è mai possibile e la presenza del rigeneratore ritarda ma non impedisce il raggiungimento dell'equilibrio termico.

Per concludere, focalizziamo l'attenzione su un altro particolare interessante.
Quando il pistone è tutto a destra, il gas nella camera destra è azzurro, quello nella camera sinistra è rosso. Con lo spostamento del pistone verso sinistra il colore del gas nella camera destra si sposta progressivamente verso il blu (si raffredda), mentre il colore del gas nella camera sinistra sbiadisce verso il rosa (si raffredda).
Questo comportamento è dovuto al fatto che quando il pistone viene spostato, il gas che passa per il foro cede calore al rigeneratore, l'energia termica complessiva del gas si riduce perchè una parte viene ceduta al rigeneratore, quindi la pressione del sistema si abbassa. Se la pressione si abbassa significa che anche le temperature nelle due camere si abbassano.
Il ragionamento si inverte quando il pistone si trova tutto a sinistra e viene spostato verso destra.
Quando il pistone è tutto a sinistra, il gas nella camera destra è blu, quello nella camera sinistra è rosa. Con lo spostamento del pistone verso destra il colore del gas nella camera destra sbiadisce verso l'azzurro (si riscalda), mentre il colore del gas nella camera sinistra si sposta progressivamente verso il rosso (si riscalda).
Questo comportamento è dovuto al fatto che quando il pistone viene spostato, il gas che passa per il foro preleva calore dal rigeneratore, l'energia termica complessiva del gas aumenta perchè una parte viene prelevata al rigeneratore, quindi la pressione del sistema aumenta. Se la pressione aumenta significa che anche le temperature nelle due camere si alzano.

Il ciclo di Carnot

Dal momento che in un diagramma PV l'isoterma è una curva meno pendente della curva che rappresenta l'adiabatica, con due isoterme e due adiabatiche è possibile definire un ciclo conosciuto con il nome di ciclo di Carnot.
La sua importanza deriva dal fatto che esso definisce il limite superiore per il rendimento di conversione termomeccanica.
Quello in figura è relativo al gas monoatomico.

Poichè T_A=T_D e T_B=T_C è conveniente riferirsi alla prima con T_fredda e alla seconda con T_calda.

FASE	LAVORO DI VOLUME	CALORE SCAMBIATO
Adiabatica AB	n*Cv*(Tfredda-Tcalda)	0
Isoterma BC	n*R*Tcalda*ln(VC/VB)
Adiabatica CD	n*Cv*(Tcalda-Tfredda)	0
Isoterma DA	n*R*Tfredda*ln(VA/VD)

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e, utilizzando il primo metodo alternativo già discusso, risulta essere:

L = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA

In effetti, anche se l'equazione è espressa come somma di quattro termini, L_AB e L_DA hanno valori inferiori a zero.

Poichè

L_CD = n*Cv*(T_fredda-T_calda) = - n*Cv*(T_calda-T_fredda) = - L_AB

l'equazione del lavoro utile si semplifica in

L = L_BC + L_DA = n*R*T_calda*ln(V_C/V_B) + n*R*T_fredda*ln(V_A/V_D)

Per quanto riguarda gli scambi termici, l'unico calore introdotto nel sistema è quello relativo all'isoterma BC

Q_BC = n*R*T_calda*ln(V_C/V_B)

pertanto il rendimento del ciclo risulta:

Rendimento = L/Q_BC = [ n*R*T_calda*ln(V_C/V_B) + n*R*T_fredda*ln(V_A/V_D) ] / n*R*T_calda*ln(V_C/V_B)=
= 1 + T_fredda*ln(V_A/V_D) / T_calda*ln(V_C/V_B) = 1 + [ T_fredda/T_calda ] * ln(V_A/V_D) / ln(V_C/V_B)

Si può dimostrare che ln(V_A/V_D) / ln(V_C/V_B) = -1, quindi l'ultima equazione si semplifica in

Rendimento = L/Q_BC = 1 - T_fredda/T_calda

Questa formula ha validità generale e, per qualsiasi ciclo termico che lavori fra T_fredda e T_calda, essa rappresenta il limite superiore per il rendimento.


Esaminiamo in dettaglio un paio di esempi con i numeri.

Nella prima tabella sono riassunti per i tre tipi di gas (monoatomico, biatomico e poliatomico) prima le coordinate dei 4 punti A,B,C,D e poi, nel riepilogo, il lavoro utile, i calori scambiati e il rendimento.
I numeri in tabella mostrano che a parità di T_fredda, T_calda, V_B e V_D per i tre casi, per i punti A, e C cambiano i valori di V e P.
A queste condizioni il rendimento è indipendente dal tipo di gas, ma risulta che il gas monoatomico consente di ottenere il maggior lavoro di volume e il gas poliatomico il minor lavoro di volume.
Naturalmente, poichè il rendimento è lo stesso, questo vuol dire che il gas monoatomico trasferisce una quantità di calore maggiore dalla sorgente a T_calda al serbatoio a T_fredda.

PUNTO	Temperatura	P,V MONOATOMICO	P,V BIATOMICO	P,V POLIATOMICO
A	303K (30°C)	1,31m3, 229kPa	1,57m3, 191kPa	1,88m3, 159kPa
B	363K (90°C)	1m3, 359kPa
C	363K (90°C)	2,29m3, 157kPa	1,91m3, 188kPa	1,59m3, 225kPa
D	303K (30°C)	3m3, 100kPa
RIEPILOGO
Calore fornito		297kJ	232kJ	168kJ
Calore dissipato		-248kJ	-194kJ	-140kJ
Lavoro Utile		49kJ	38kJ	28kJ
Rendimento		16,5%

I numeri nella prossima tabella mostrano che a parità di volume nei quattro punti A,B,C,D del ciclo (cioè a parità di macchina termica) e con l'isoterma DA in comune per i tre casi, cambiano i valori di P e T per i punti B,C.
Quest'ultima in particolare è la T_calda e risulta la più alta nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico e la più bassa per quello poliatomico.
E infatti il rendimento aumenta passando dal gas poliatomico, al gas biatomico, al gas monoatomico.
Oltre ad un migliore rendimento, il gas monoatomico consente di ottenere anche un maggior lavoro utile per ciclo.

PUNTO	Volume	P,T MONOATOMICO	P,T BIATOMICO	P,T POLIATOMICO
A	1,31m3	229kPa, 303K (30°C)
B	1m3	359kPa, 363K (90°C)	334kPa, 338K (65°C)	324kPa, 328K (54°C)
C	2,29m3	157kPa, 363K (90°C)	146kPa, 338K (65°C)	142kPa, 328K (54°C)
D	3m3	100kPa, 303K (30°C)
RIEPILOGO
Calore fornito		297kJ	277kJ	268kJ
Calore dissipato		-248kJ
Lavoro Utile		49kJ	28kJ	20kJ
Rendimento		16,5%	10,3%	7,4%

Trasformazioni isoterme e trasformazioni adiabatiche: considerazioni sugli scambi energetici

Nella tabella che segue viene confrontata la trasformazione isoterma con la trasformazione adiabatica.
Nell'isoterma la quantità di calore scambiato coincide con il lavoro di volume.
Nell'adiabatica lo scambio termico è nullo per definizione.
Mentre il lavoro compiuto da un gas in una trasformazione isoterma è indipendente dal tipo di gas, nel caso di una trasformazione adiabatica il lavoro di volume dipende dal tipo di gas attraverso il valore di Cv.
L'energia termica del gas (E_gas=n*Cv*T) non varia durante una trasformazione isotermica, quindi tutti i punti della curva isoterma sono isoenergetici.
In una trasformazione adiabatica l'energia termica del gas cambia e la sua variazione è pari al lavoro di volume cambiato di segno.

TRASFORMAZIONE ISOTERMA	TRASFORMAZIONE ADIABATICA
P*V=costante, T=costante, P e V variabili	P*VCp/Cv=costante, P, V e T variabili
Q = n*R*T*ln(Vfinale/Viniziale)	Q = 0
L = n*R*T*ln(Vfinale/Viniziale)	L = n*Cv*(Tiniziale-Tfinale)
Indipendente dal tipo di gas	Dipendente dal tipo di gas
Egas = costante	Egas,finale - Egas,iniziale = - L

E' pratica comune far riferimento al rapporto Cp/Cv come costante gamma.
Di seguito sono confrontate la curva che descrive l'isoterma e le tre curve adiabatiche nei piani P-V e T-V.

Una cosa importante da notare è che la minore variazione di pressione (temperatura) per una stessa variazione di volume si ha con l'isoterma, mentre la maggiore variazione di pressione (temperatura) si ha con l'adiabatica del gas monoatomico.
Nel caso di espansione questo significa che:

P_{Finale Isoterma} > P_{Finale Adiabatica Poliatomica} > P_{Finale Adiabatica Biatomica} > P_{Finale Adiabatica Monoatomica}
T_{Finale Isoterma} > T_{Finale Adiabatica Poliatomica} > T_{Finale Adiabatica Biatomica} > T_{Finale Adiabatica Monoatomica}

Nel caso di compressione questo significa che:

P_{Finale Isoterma} < P_{Finale Adiabatica Poliatomica} < P_{Finale Adiabatica Biatomica} < P_{Finale Adiabatica Monoatomica}
T_{Finale Isoterma} < T_{Finale Adiabatica Poliatomica} < T_{Finale Adiabatica Biatomica} < T_{Finale Adiabatica Monoatomica}

Spostando l'attenzione al lavoro di volume (rappresentato nel diagramma PV dall'area sottesa dalla curva di trasformazione) e limitando la discussione al caso dell'espansione:

L_Isoterma > L_{Adiabatica Gas Poliatomico} > L_{Adiabatica Gas Biatomico} > L_{Adiabatica Gas Monoatomico}

Quanto appena detto si può esprimere in un'altra chiave di lettura con questa considerazione: poichè il tipo di gas è caratterizzato da una particolare curva adiabatica, se determino la curva adiabatica individuo il tipo di gas.

Il gas che nella trasformazione adiabatica genera più lavoro (il poliatomico) è anche quello che varia meno di pressione e temperatura. Questo risultato apparentemente paradossale trova la sua spiegazione nel fatto che, a parità di temperatura, il gas poliatomico accumula una maggiore quantità di energia termica (Cv_{gas poliatomico} > Cv_{gas biatomico} > Cv_{gas monoatomico}).

P*V=n*R*T: considerazioni laterali

I due termini dell'equazione di stato dei gas perfetti, P*V da un lato ed n*R*T dall'altro, dal punto di vista dimensionale sono delle energie, e come già visto, scegliendo opportunamente le unità di misura delle singole grandezze, risultano espressi in Joule.
Tuttavia, anche se dal punto di vista dimensionale i due termini sono un'energia, non possono essere identificati nè con l'energia potenziale meccanica del gas, nè con l'energia termica del gas. Di seguito trovate un ragionamento geometrico volto ad attribuire un significato fisico ai due termini.
Un punto sul piano PV definisce lo stato di un gas in maniera parziale.
Per completarne la definizione è necessario specificare anche la temperatura o la quantità di gas.
Quindi per rappresentare correttamente lo stato di un gas servono tre grandezze e quindi un diagramma tridimensionale.
Se questa osservazione è certamente vera da un lato, dall'altro limitare la discussione sul solo piano PV è conveniente.
Per esempio, quando si analizzano i cicli termodinamici, la rappresentazione del lavoro di volume avviene in modo immediato in quanto è l'area sottesa dai tratti che rappresentano le trasformazioni che compongono il ciclo.

Dal punto di vista fisico i punti che compongono gli assi cartesiani non sono accessibili perchè con n diverso da 0, avere P=0 o V=0, implica T=0K cioè il raggiungimento dello zero assoluto.
A livello teorico invece, i punti sugli assi cartesiani diventano accessibili e hanno una proprietà interessante.
Infatti ad uno spostamento sugli assi l'energia del sistema non cambia: il calore scambiato è sempre nullo perchè la temperatura non varia (T è sempre nulla), il lavoro di volume lungo l'asse della pressione è nullo perchè non varia il volume (V è sempre nullo) e il lavoro di volume lungo l'asse dei volumi è nullo perchè la pressione è nulla.
I punti sugli assi hanno la proprietà di essere isoenergetici (energia di punto zero).
In altre parole, per variare il volume con P=0 oppure la pressione con V=0 il sistema non assorbe e non produce alcuna forma di energia.

Per quanto riguarda l'energia che va fornita al sistema gas per raggiungere il punto di coordinate P_A, V_A, T_A sono mostrati due percorsi alternativi: la trasformazione isocora (che inizia nel punto V=V_A, P=0, T=0) e la trasformazione isobara (che inizia nel punto V=0, P=P_A, T=0).
E' stato già detto che per l'isocora l'unica forma di energia scambiata fra sistema e ambiente esterno è l'energia termica (calore) ed è pari a Q=n*Cv*T_A.
E' ragionevole considerare questa relazione come definizione per l'energia termica del sistema gas:

E_gas = n * Cv * T

Per l'isobara il calore fornito al sistema è pari a Q=n*Cp*T_A ma durante la trasformazione avviene una perdita di energia sotto forma di lavoro di volume L=P_A*V_A (che corrisponde all'area di colore verde).
Il termine P*V è pertanto il lavoro di volume associato alla trasformazione isobara dallo stato con V=0, P=P_A, T=0 allo stato con V=V_A, P=P_A, T=T_A.
Dall'equazione di stato P_A*V_A=n*R*T_A e pertanto anche il termine n*R*T assume lo stesso significato del termine P*V.
A seguito della trasformazione isobara l'energia del sistema è espressa perciò dalla seguente relazione:

E_gas = n * Cp * T - n * R * T

e poichè lo stato raggiunto dall'isobara coincide con lo stato raggiunto dall'isocora

n * Cp * T_A - n * R * T_A = n * Cv * T_A

da cui

Cp - R = Cv

La tabella dei calori specifici già vista col post precedente viene riproposta per agevolare la verifica dell'ultima relazione.

Tipo di gas	Cp	Cv
Monoatomico	5R/2	3R/2
Biatomico	7R/2	5R/2
Poliatomico	9R/2	7R/2

Come ultimo spunto, consideriamo un particolarissimo ciclo isobaro/isocoro. Nella tabella che segue ne trovate la definizione assieme ai calori scambiati, al lavoro utile e al rendimento.

FASE	CALORE SCAMBIATO	LAVORO DI VOLUME
Isobara a P=PA da V=0 a V=VA	n*Cp*TA	PA*VA=n*R*TA
Isocora a V=VA da P=PA a P=0	n*Cv*(-TA)	0
Isobara a P=0 da V=VA a V=0	0	0
Isocora a V=0 da P=0 a P=PA	0	0

RIEPILOGO
Calore fornito	n*Cp*TA
Calore dissipato	n*Cv*TA
Lavoro Utile	n*R*TA
Rendimento	R/Cp

Per questo particolarissimo ciclo risulta che il rendimento dipende dal tipo di gas, e vale 2/5 per il gas monoatomico, 2/7 per il gas biatomico, 2/9 per il gas poliatomico.
E' curioso il fatto che per questo ciclo il rendimento è indipendente dalla temperatura T_A.

Trasformazioni isocore e trasformazioni isobare: considerazioni sugli scambi energetici

Nella tabella che segue viene confrontata la trasformazione isobara con la trasformazione isocora.
Per entrambi i processi il calore scambiato è direttamente proporzionale al salto termico e alla quantità di gas. La costante di proporzionalità prende il nome di calore specifico a pressione costante (Cp) per l'isobara e calore specifico a volume costante (Cv) per l'isocora.
Una differenza sostanziale tra le due trasformazioni è che all'isobara risulta associato un lavoro di volume (L) mentre nell'isocora il lavoro di volume è sempre nullo.

TRASFORMAZIONE ISOBARA	TRASFORMAZIONE ISOCORA
P=costante, V e T variabili	V=costante, P e T variabili
Linea orizzontale in un diagramma P-V	Linea verticale in un diagramma P-V
Q = n * Cp * (Tfinale - Tiniziale)	Q = n * Cv * (Tfinale - Tiniziale)
L = P * (Vfinale - Viniziale)	L = 0

Cp e Cv cambiano con il numero di atomi che compongono la particella elementare del gas. Limitando la discussione al livello teorico si distinguono tre casi limite: gas monoatomico, gas biatomico e gas poliatomico.

Tipo di gas	Cp	Cv
Monoatomico	5R/2	3R/2
Biatomico	7R/2	5R/2
Poliatomico	9R/2	7R/2

RAGIONIAMO INSIEME

Con due isocore e due isobare è possibile definire un ciclo.
La sua rappresentazione in un diagramma P-V è un rettangolo in cui i lati verticali costituiscono le isocore e quelli orizzontali le isobare.
Lo stesso ciclo rappresentato sul piano T-V è costituito da 2 tratti verticali che rappresentano le isocore e da due tratti obliqui che rappresentano le isobare.

Il ciclo in figura è senza dubbio un ciclo curioso.
L'inizio è nel punto A. Quando il gas è nello stato rappresentato dal punto A ha la temperatura T_A.
Al punto B la pressione raddoppia rispetto al punto A e lo stesso è vero per la temperatura: T_B = 2 * T_A.
Nel punto C rispetto al punto B è il volume che raddoppia e di conseguenza raddoppia pure la temperatura: T_C = 2 * T_B.
In D la pressione dimezza rispetto al punto C e ovviamente dimezza anche la temperatura: T_D = T_C / 2.
Nel ritorno al punto A dal punto D il volume si riduce alla metà e la temperatura fa lo stesso: T_A = T_D / 2.

Il lavoro utile che compie il gas è rappresentato dall'area verde e vale:

DeltaP * DeltaV = (200.000Pa-100.000Pa) * (2m³-1m³) = 100.000J = 100kJ

Il valore è di per se elevato, ma va considerato che i volumi coinvolti sono molto grandi (1-2m³).
Il calcolo dell'area verde può essere effettuato anche in altri due modi che torneranno utili in altre occasioni.
Il primo metodo alternativo è quello di sottrarre l'area gialla dall'area del rettangolo formato dalla zona gialla e dalla zona verde.
Il secondo metodo alternativo è quello di sottrarre l'area rossa dall'area del rettangolo formato dalla zona rossa e dalla zona verde.

Per valutare il rendimento termico del ciclo bisogna vanno calcolati i calori scambiati nelle varie fasi del ciclo.
Per stabilire le temperature nei punti A,B,C,D e la quantità di gas (n) è sufficiente definire una temperatura di riferimento oppure la quantità di gas.

Ipotizzando T_A = 298,15K (30°C)

si trova:

n=40,36mol

T_B=T_D=596,3K (323,15°C)

T_C=1192,6K (919,45°C)

A questo punto la valutazione delle energie scambiate è immediata.
Nella tabella di seguito vengono riportati i risultati per i tre casi limite: gas monoatomico, gas biatomico, gas poliatomico.

FASE	MONOATOMICO	BIATOMICO	POLIATOMICO
Riscaldamento isocoro	150kJ	250kJ	350kJ
Riscaldamento isobaro	500kJ	700kJ	900kJ
Raffreddamento isocoro	-300kJ	-500kJ	-700kJ
Raffreddamento isobaro	-250kJ	-350kJ	-450kJ
RIEPILOGO
Calore fornito	650kJ	950kJ	1250kJ
Calore dissipato	-550kJ	-850kJ	-1150kJ
Lavoro Utile	100kJ	100kJ	100kJ
Rendimento	15,4%	10,5%	8,0%

I numeri in tabella mostrano che variando il tipo di gas il lavoro utile non cambia mentre invece variano i calori scambiati e di conseguenza il rendimento del ciclo. L'efficienza massima si ha con il gas monoatomico (15,4%) mentre quella minima si ha con il gas poliatomico (8,0%).