Il motore di Cayley free piston - Episodio 05

La seconda modifica introdotta nel precedente post, cioè l'aggiunta del collegamento a U che consente lo scarico di gas freddo e la completa rigenerazione termica, ha permesso di migliorare sensibilmente il rendimento del motore di Cayley free piston.
L'efficienza termomeccanica è salita al 32,5% ed è indipendente dal tipo di gas.

Forse è passato inosservato che le valutazioni fatte fino a questo punto sono state riferite al caso particolare in cui il rapporto fra superficie del pistone caldo e superficie del pistone freddo è pari a 1,5.
Abbiamo già visto che per il funzionamento di questo motore bisogna rispettare il vincolo

S_calda / S_fredda < T_calda / T_fredda

in cui

S_calda è la superficie del pistone caldo espressa in m²
S_fredda è la superficie del pistone freddo espressa in m²
T_calda è la temperatura del cilindro caldo espressa in K
T_fredda è la temperatura del cilindro freddo espressa in K

Poichè le temperature operative adottate per l'analisi erano

T_calda = 600K
T_fredda = 300K

un qualunque valore compreso fra 1 e T_calda/T_fredda = 600K/300K = 2 sarebbe stato accettabile.
La scelta di utilizzare il valore di 1,5 per le valutazioni non è stata casuale: in questo post ne scopriremo il motivo.

Come prima cosa consideriamo i due casi estremi: S_calda/S_fredda = 1 e S_calda/S_fredda = 2.
Quando S_calda/S_fredda = 1 il gas compie una trasformazione isocora.
Il lavoro è nullo perchè non c'è variazione di volume.
Nel secondo caso, quando il rapporto fra le superfici vale 2, ovvero quando uguaglia il rapporto delle temperature, l'area del ciclo scompare (il lavoro utile si annulla) e il gas compie una trasformazione isobara con la stessa pressione sia all'andata che al ritorno.
All'apertura delle valvole non accade nulla perchè non c'è differenza di pressione fra l'interno e l'esterno del motore.
Il diagramma P-V aiuta meglio a chiarire il concetto.

Nel grafico il tratto verticale di colore rosso rappresenta il caso isocoro (S_calda/S_fredda = 1) e il tratto orizzontale di colore verde il caso isobaro (S_calda/S_fredda = 2).
Per completezza è stato riportato in colore azzurro anche il ciclo di Cayley analizzato nei precedenti episodi (S_calda/S_fredda = 1,5).

Ora vediamo cosa accade al ciclo quando i valori di S_calda/S_fredda sono compresi fra 1 e 2.
Nel grafico sono riportati i cicli relativi a rapporti fra le superfici che vanno da 1 a 2 per salti di 0,1.

I grafici in figura mostrano che all'aumentare del rapporto fra le superfici, diminuisce la pressione massima e aumenta la pressione minima. Abbiamo già detto che quando S_calda/S_fredda è pari a 2 la pressione massima uguaglia la pressione minima.

Nel grafico che segue sono riportati gli andamenti del rendimento e del lavoro utile in funzione del rapporto S_calda/S_fredda.

Il grafico mostra due cose estremamente importanti.
La prima è che il rendimento è nullo quando S_calda/S_fredda = 1.
La seconda è che il rendimento migliora all'aumentare del rapporto S_calda/S_fredda e al limite uguaglia quello di Carnot (pari al 50% alle temperature adottate) quando S_calda/S_fredda = T_calda/T_fredda.
Il lavoro utile ha invece un andamento crescente per S_calda/S_fredda che varia da 0 fino a circa 1,45 e decrescente fino ad annullarsi per S_calda/S_fredda che varia da 1,45 a 2. L'annullamento del lavoro utile al raggiungimento del rendimento di Carnot è una caratteristica che il ciclo Cayley ha in comune con il ciclo Brayton.

Nei calcoli dei precedenti episodi è stato adottato il valore di S_calda/S_fredda pari a 1,5 per massimizzare il lavoro utile.
Perchè se da un lato è importante il rendimento, dall'altro è fondamentale che il motore sviluppi una potenza specifica significativa: un motore che sviluppa un basso lavoro utile potrebbe perfino non muoversi perchè non riesce a vincere gli attriti fra le sue parti mobili.

In questo post è stato mostrato che con il motore Cayley è possibile incrementare il rendimento fino a valori estremamente elevati spingendo il rapporto S_calda/S_fredda a valori prossimi a T_calda/T_fredda.
Va comunque sempre tenuto presente che avvicinarsi a tale limite comporta sempre una perdita di potenza specifica.

Nel prossimo post verrà aggiunto un altro tassello per comprendere più a fondo le potenzialità di questo motore.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 04

La prima modifica costruttiva introdotta nel precedente post, cioè la rigenerazione termica sulla frazione di gas non scaricata attraverso la luce calda, ha permesso di migliorare sensibilmente il rendimento del motore di Cayley free piston.
L'efficienza termomeccanica in caso di gas monoatomico è passata dal 5,3% al 12,8%, quella del gas biatomico dal 3,8% al 10,4% e quella del gas poliatomico dal 3,0% all'8,8%.

In questo post discutiamo una seconda modifica che permette di innalzare il rendimento a un livello di tutto rispetto.
L'animazione di seguito illustra una variante che permette di scaricare gas freddo invece di gas caldo.

Come nella versione precendente, la camera calda scambia gas con la camera fredda attraverso il collegamento presente sulla sinistra.
Lo scarico freddo è permesso grazie al tubo a U in basso a destra che genera il by-pass del pistone.
Il volume nei due tubi di collegamento non viene spazzato da nessuno dei due pistoni e nei motori a combustione esterna viene classificato come spazio morto.
Assumendolo trascurabile rispetto al volume delle due camere, questa nuova versione presentata è termodinamicamente equivalente a quelle già viste nell'episodio 01, nell'episodio 02 e nell'episodio 03.
L'equivalenza termodinamica deriva dal fatto che il ciclo nel diagramma P-V è lo stesso; invariati sono anche i calori scambiati nelle varie fasi.

Nella versione con rigeneratore di calore presentata nell'episodio 03 veniva scaricato gas alla temperatura calda; solo il gas non scaricato passava attraverso il rigeneratore di calore.
In questa nuova versione viene scaricato gas freddo e tutto il gas passa attraverso il rigeneratore di calore.
In pratica nel rigeneratore si scambia una quantità di energia termica pari a

E = n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) + ( Q_BC - L_perso ) - L_CD

in cui

E è l'energia termica scambiata nel rigeneratore espressa in J
n è la quantità di gas che passa attraverso il rigeneratore di calore espressa in moli
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico, 5*R/2 per il gas biatomico, 7*R/2 per il gas poliatomico con R pari a 8,314 J mol^-1 K^-1
T_calda è la temperatura calda espressa in K
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K
Q_BC è il calore scambiato durante il processo di depressurizzazione isocora mediante scarico di gas verso l'esterno (fase BC) espresso in J
L_perso è il lavoro che sarebbe stato possibile estrarre sfruttando la differenza di pressione presente un istante prima dell'apertura del by-pass sul cilindro freddo espresso in J
L_CD è il lavoro di volume durante il processo di compressione con depressurizzazione (fase CD) espresso in J

L'unica grandezza non ancora quantificata per il ciclo in esame è L_perso.
Il suo valore è indipendente dal tipo di gas e risulta pari a

L_perso = 29kJ

L'energia termica scambiata nel rigeneratore cambia in funzione del tipo di gas e risulta più elevata nel caso del gas poliatomico, intermedia per il gas biatomico, più bassa con il gas monoatomico.
Il calore netto assorbito per ciclo risulta quindi ridotto della quantità di calore calcolata con la precedente relazione.
Naturalmente questo è il caso di rigenerazione termica ideale (efficienza del 100%).
In caso di rigenerazione non ideale (efficienza inferiore al 100%) il valore da sottrarre viene ridimensionato.
Nella tabella che segue sono stati raccolti i risultati nel caso di rigenerazione termica ideale.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
QCD	- 43kJ - 112,5kJ	- 43kJ - 187,5kJ	- 43kJ - 262,5kJ
QDA	- 22kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Lperso	29kJ
Calore rigenerato	150kJ + ( 58kJ - 29kJ ) + 43kJ	250kJ + ( 58kJ - 29kJ ) + 43kJ	350kJ + ( 58kJ - 29kJ ) + 43kJ
Calore netto fornito	43kJ
Rendimento	32,5%

I dati in tabella mostrano che il rendimento di questa versione è indipendente dal tipo di gas e pari al 32,5%, un risultato notevole considerata la semplicità costruttiva di questa macchina.
L'aver modificato il motore in modo da poter scaricare gas freddo ha aperto la strada alla completa rigenerazione del gas, consentendo di ottenere un decisivo incremento di rendimento rispetto alla versione con rigenerazione parziale vista nell'episodio 03.
A questo punto è importante far notare che anche se il calore assorbito durante la fase di depressurizzazione isocora mediante scarico di gas, cioè Q_BC, era stato calcolato con una procedura che forniva un dato certamente sovrastimato (si rimanda all'episodio 02 per i dettagli) il suo effetto penalizzante sul rendimento viene azzerato nella valutazione corrente.

Le sorprese non sono terminate. C'è un altro modo per incrementare ancora il rendimento, ma lo vedremo nel prossimo post.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 03

La prima versione proposta nei precedenti capitoli dedicati al motore di Cayley free piston si è rivelata di rendimento piuttosto modesto: 5,3% con il gas monoatomico, 3,8% con il gas biatomico, 3,0% con il gas poliatomico.
Iniziamo con questo post ad introdurre alcune modifiche costruttive che permettono di ottenere rendimenti decisamente superiori.
Valuteremo l'effetto della rigenerazione di calore sugli scambi termici e sulla resa del ciclo.
Come primo passo presentiamo una versione diversa ma equivalente a quella già vista

In questa versione la camera calda scambia gas con la camera fredda attraverso il collegamento presente sulla sinistra.
Il volume del tubo di collegamento non viene spazzato da nessuno dei due pistoni e nei motori a combustione esterna viene classificato come spazio morto.
Assumendolo trascurabile rispetto al volume delle due camere, questa nuova versione presentata è termodinamicamente equivalente a quella già vista nell'episodio 01 e nell'episodio 02.
L'equivalenza termodinamica deriva dal fatto che il ciclo nel diagramma P-V è lo stesso; invariati sono anche i calori scambiati nelle varie fasi.
Questa versione si differenzia dalla precedente solo perchè la pressione e il volume aumentano quando il pistone scende, diminuiscono quando il pistone sale.

Dall'episodio 01 sappiamo che al ciclo mostrato in figura risulta associato un lavoro utile pari a

L = 14kJ

Per quanto concerne gli scambi termici, il gas assorbe calore dall'esterno nelle trasformazioni dal punto A al punto B e dal punto B al punto C mentre nelle restanti due trasformazioni il gas cede calore verso l'esterno.
Abbiamo già valutato i calori scambiati nelle prime due trasformazioni.
Focalizzeremo ora l'attenzione sui restanti due processi per stimare il calore ceduto dal gas al serbatoio freddo.

Nella fase che va dal punto C al punto D, cioè nel processo di compressione con depressurizzazione, viene ceduto calore all'esterno e la sua quantità è calcolabile usando la seguente relazione

Q_CD = L_CD + n * Cv * ( T_fredda - T_calda )

in cui

Q_CD è il calore scambiato dal gas durante la trasformazione CD espresso in J
L_CD è il lavoro durante la trasformazione CD espresso in J
n è la quantità di gas contenuta nel motore espressa in moli
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico, 5*R/2 per il gas biatomico, 7*R/2 per il gas poliatomico con R pari a 8,314 J mol^-1 K^-1
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K
T_calda è la temperatura calda espressa in K

Il calore scambiato dal gas durante la fase CD è dato dalla somma del lavoro con la variazione di energia termica del gas.
Il suo valore è inferiore a zero e infatti è calore ceduto dal gas.
Nel grafico sopra, il valore di L_CD corrisponde all'area sottesa alla curva di trasformazione CD.
Il valore di L_CD è indipendente dal tipo di gas e per la trasformazione rappresentata vale

L_CD = -43kJ

Il segno meno indica che si tratta di lavoro subito dal gas.

Il secondo termine invece dipende dal tipo di gas.

Per il gas monoatomico vale

n * Cv * ( T_fredda - T_calda ) = 30,07mol * 3*R/2 * (300K-600K) = -112,5kJ

Per il gas biatomico vale

n * Cv * ( T_fredda - T_calda ) = 30,07mol * 5*R/2 * (300K-600K) = -187,5kJ

Per il gas poliatomico vale

n * Cv * ( T_fredda - T_calda ) = 30,07mol * 7*R/2 * (300K-600K) = -262,5kJ

I valori sono tutti e tre negativi e indicano pertanto un abbassamento dell'energia termica.

Analizziamo ora l'ultima trasformazione che va dal punto D al punto A, cioè la pressurizzazione isocora mediante aspirazione del gas dall'esterno.
Il calore scambiato durante questo processo è uguale a quello relativo al processo di compressione isotermica alla temperatura fredda. La quantità di gas compressa isotermicamente è quella contenuta nel motore un istante prima dell'apertura della valvola di aspirazione.
Tale processo inizia nel punto D e finisce quando la pressione raggiunge il valore di 100kPa (che è il valore della pressione all'esterno del motore).

Abbiamo già visto che in una trasformazione isoterma il calore scambiato è uguale al lavoro di volume quindi

Q_DA = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) =
= n * R * T * ln ( V_finale / V_D ) =
= n * R * T * ln [ T_fredda*V_C / (T_calda * V_D ) ] =
= 30,07 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 300 K * ln [ 300K * 1,5 m³ / ( 600 K * 1m³ ) ] =
= -22kJ

Ancora una volta il calore scambiato risulta negativo quindi si tratta di calore perso dal sistema.

Nella tabella che segue sono stati raccolti i dati relativi alle quattro trasformazioni per i tre tipi di gas.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
QCD	- 43kJ - 112,5kJ	- 43kJ - 187,5kJ	- 43kJ - 262,5kJ
QDA	- 22kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Rendimento	5,3%	3,8%	3,0%

Ora interveniamo per ottenere un primo miglioramento delle prestazioni.

Nel tubo che collega la camera fredda con la camera calda, gas freddo si sposta dal basso verso l'alto quando il pistone scende, gas caldo si sposta dall'alto verso il basso quando il pistone sale.
Inserendo un rigeneratore di calore nel tubo di collegamento il motore si presenta come segue

Prima di tutto è importante osservare che la quantità di gas che risale lungo il tubo è maggiore di quella che lo discende. Pertanto non tutto il gas che risale il condotto viene rigenerato alla temperatura calda, ma solo una quantità pari a quella che era discesa durante la precedente fase di compressione con depressurizzazione.
In pratica nel rigeneratore si scambia una quantità di energia termica pari a

E = - Q_CD

in cui

E è l'energia termica scambiata nel rigeneratore espressa in J
Q_CD è il calore scambiato durante il processo di compressione con depressurizzazione (fase CD) espresso in J

Questa quantità di calore cambia in funzione del tipo di gas e risulta più elevata nel caso del gas poliatomico, intermedia per il gas biatomico, più bassa con il gas monoatomico.

Il calore netto assorbito per ciclo risulta quindi ridotto della quantità di calore calcolata con la precedente relazione.
Naturalmente questo è il caso di rigenerazione termica ideale (efficienza del 100%).
In caso di rigenerazione non ideale (efficienza inferiore al 100%) il valore da sottrarre viene ridimensionato.
Nella tabella che segue sono stati raccolti i risultati nel caso di rigenerazione termica ideale.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
QCD	- 43kJ - 112,5kJ	- 43kJ - 187,5kJ	- 43kJ - 262,5kJ
QDA	- 22kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Calore rigenerato	43kJ + 112,5kJ	43kJ + 187,5kJ	43kJ + 262,5kJ
Calore netto fornito	109,5kJ	134,5kJ	159,5kJ
Rendimento	12,8%	10,4%	8,8%

I dati in tabella mostrano che il miglior rendimento si ottiene con il gas monoatomico (12,8%), intermedio con il gas biatomico (10,4%), il peggiore con quello poliatomico (8,8%).
L'inserimento della rigenerazione termica permette di ottenere un'apprezzabile innalzamento del rendimento del motore.
Un passo è stato fatto ma è solo il primo.
Varianti dello stesso motore, ma con rendimenti ancora superiori, saranno l'oggetto dei prossimi post.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 02

Continua la trattazione del motore di Cayley free piston iniziata qualche giorno fa con l'Episodio 01.
In questo post verranno discussi gli scambi termici della prima versione di cui riportiamo di seguito per comodità l'animazione e il diagramma P-V già proposti

Dall'Episodio 01 sappiamo che al ciclo mostrato in figura risulta associato un lavoro utile pari a

L = 14kJ

Per quanto concerne gli scambi termici, calore viene assorbito dall'esterno nelle trasformazioni dal punto A al punto B e dal punto B al punto C mentre nelle restanti due trasformazioni è il gas che cede calore all'esterno.
Focalizzeremo pertanto l'attenzione sui primi due processi per stimare il calore fornito al sistema e quindi stabilire l'efficienza termomeccanica di questa variante costruttiva.

Nella fase che va dal punto A al punto B, cioè nel processo di espansione con pressurizzazione, viene assorbito calore dall'esterno e la sua quantità è calcolabile usando la seguente relazione

Q_AB = L_AB + n * Cv * ( T_calda - T_fredda )

in cui

Q_AB è il calore assorbito dal gas durante la trasformazione AB espresso in J
L_AB è il lavoro fatto dal gas durante la trasformazione AB espresso in J
n è la quantità di gas contenuta nel motore espressa in moli
Cv è il calore specifico a volume costante e vale 3*R/2 per il gas monoatomico, 5*R/2 per il gas biatomico, 7*R/2 per il gas poliatomico con R pari a 8,314 J mol^-1 K^-1
T_calda è la temperatura calda espressa in K
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K

Il calore assorbito dal gas durante la fase AB è dato dalla somma del lavoro fatto dal gas con la sua variazione di energia termica.
Nel grafico sopra, il valore di L_AB corrisponde all'area sottesa alla curva di trasformazione AB.
Il valore di L_AB è indipendente dal tipo di gas e per la trasformazione rappresentata vale

L_AB = 57kJ

Il secondo termine invece dipende dal tipo di gas.

Per il gas monoatomico vale

n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) = 40,09 * 3*R/2 * (600K-300K) = 150kJ

Per il gas biatomico vale

n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) = 40,09 * 5*R/2 * (600K-300K) = 250kJ

Per il gas poliatomico vale

n * Cv * ( T_calda - T_fredda ) = 40,09 * 7*R/2 * (600K-300K) = 350kJ

Analizziamo ora la seconda trasformazione che va dal punto B al punto C, cioè la depressurizzazione isocora mediante scarico del gas verso l'esterno.
Il calore scambiato durante questo processo è molto difficile da determinare in modo esatto, ma è possibile stabilire un valore che è sempre sicuramente superiore a quello effettivo e per gli scopi attuali è più che adeguato.
Tale valore è quello valutato su un processo di espansione isotermica alla temperatura calda che inizia nel punto B e finisce quando la pressione raggiunge il valore di 100kPa (che è il valore della pressione all'esterno del motore).
Abbiamo già visto che in una trasformazione isoterma il calore scambiato è uguale al lavoro di volume quindi

Q_{espansione isoterma} = n * R * T * ln ( V_finale / V_iniziale ) =
= n * R * T * ln ( V_finale / V_B ) =
= n * R * T * ln [ T_calda*V_A / (T_fredda * V_B ) ] =
= 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^-1 * 600 K * ln [ 600K * 1 m³ / ( 300 K * 1,5m³ ) ] =
= 58kJ

Il calore complessivo fornito al sistema risulta

Q_fornito = Q_AB + Q_BC

e assumendo

Q_BC = Q_{espansione isoterma}

si trovano i risultati raccolti in tabella.

Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
QAB	57kJ + 150kJ	57kJ + 250kJ	57kJ + 350kJ
QBC	58kJ
Lavoro utile	14kJ
Calore fornito	265kJ	365kJ	465kJ
Rendimento	5,3%	3,8%	3,0%

I dati in tabella mostrano che il miglior rendimento si ottiene con il gas monoatomico (5,3%), intermedio con il gas biatomico (3,8%), il peggiore con quello poliatomico (3,0%).
Questi rendimenti se confrontati con il rendimento di Carnot, che alle temperature considerate è pari al 50%, costringono ad ammettere che questa prima versione offre delle prestazioni piuttosto scarse.
Tuttavia, considerata la semplicità costruttiva, un rendimento anche di pochi punti percentuali è un buon punto di partenza.
Infatti il rendimento di questa prima versione analizzata risulta fortemente penalizzato dallo scarico del gas caldo e dalla mancanza di rigenerazione di calore e di recupero termico.

Nei prossimi post verranno presentate versioni con rendimenti nettamente superiori.

Il motore di Cayley free piston - Episodio 01

La storia del motore di Cayley inizia nel 1807 per merito di Sir George Cayley.
Nella sua versione originale costituisce un esempio di motore a combustione interna.

In questo e nei successivi post non verrà discussa tale versione, ma delle varianti a combustione esterna di tipo free piston decisamente più interessanti e che potrebbero essere addirittura inedite.
I motori presentati sono frutto di innumerevoli ragionamenti fatti assieme alla persona che mi ha fatto avvicinare al mondo dei motori a combustione esterna.
Verranno presentate versioni di crescente complessità teorica (ma non costruttiva) per poter discutere i principi di funzionamento in maniera più agevole.
A dire il vero non ho la certezza che la catalogazione come motore di Cayley sia corretta perchè in effetti è presente una certa somiglianza anche con il motore di Ericsson.
Se qualcuno se la sente di sciogliere il dilemma può farlo scrivendo nei commenti al post.

Una caratteristica comune dei motori di Cayley è la presenza di due pistoni di diverso diametro che si muovono in sincronia e per questo motivo normalmente uniti fra loro in modo da costituire un corpo unico.

In figura è presentata l'animazione della prima variante.

Il motore è costituito da due pistoni solidali di diverso diametro.
Il pistone con il diametro inferiore si muove in un cilindro le cui pareti vengono mantenute fredde (indicate di colore azzurro). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone freddo.
Il pistone con il diametro maggiore lavora in un cilindro le cui pareti vengono mantenute calde (indicate di colore rosso). In seguito si farà riferimento a questo pistone chiamandolo pistone caldo.
Per effetto dei diversi diametri il movimento del pistone verso l'alto determina un incremento del volume, il movimento verso il basso ne determina una riduzione.
Per un dato spostamento del pistone la variazione di volume caldo e di volume freddo possono essere espressi come

DeltaV_caldo = S_calda * x
DeltaV_freddo = S_freddo * (-x)

in cui

DeltaV_caldo è la variazione di volume caldo espressa in m³
S_calda è la superficie del pistone caldo espressa in m²
DeltaV_freddo è la variazione di volume freddo espressa in m³
S_fredda è la superficie del pistone freddo espressa in m²
x è lo spostamento espresso in m

Per semplicità di trattazione si assume che il gas si trovi a due diverse temperature.
Il gas nella camera superiore alla temperatura calda, il gas nella camera inferiore alla temperatura fredda.
La pressione è la stessa in ogni punto fra i due pistoni in quanto le due camere sono in comunicazione fra loro ed è data dalla seguente relazione:

P = n * R / [ ( V_caldo / T_calda ) + ( V_freddo / T_fredda) ]

in cui

P è la pressione espressa in Pa
n è la quantità di gas contenuta nel motore durante la trasformazione espressa in moli
R è la costante dei gas e vale 8,314 J mol^-1 K^-1
V_caldo è il volume di gas contenuto nel cilindro caldo espresso in m³
V_freddo è il volume di gas contenuto nel cilindro freddo espresso in m³
T_calda è la temperatura del cilindro caldo espressa in K
T_fredda è la temperatura del cilindro freddo espressa in K

Affinchè il motore possa funzionare è necessario che durante l'espansione, cioè quando il pistone sale, la pressione aumenti.
Viceversa, durante la compressione, cioè quando il pistone scende, la pressione deve diminuire.
Per garantire questo comportamento è sufficiente rispettare la condizione che segue

S_calda / S_fredda < T_calda / T_fredda

In pratica il movimento del pistone dal basso verso l'alto deve generare una espansione con pressurizzazione (aumenta sia il volume che la pressione), mentre il movimento inverso deve produrre una compressione con depressurizzazione (diminuisce sia il volume che la pressione).
I due processi non sono sovrapposti nel piano P-V perchè avvengono con quantità di gas diverse.
Nel motore è contenuta una quantità maggiore di gas quando effettua il movimento verso l'alto, minore quando si muove verso il basso.
Di seguito è stato riportato il ciclo nel diagramma P-V relativo ad un motore in cui il rapporto fra la superficie calda e la superficie fredda è pari ad 1,5 e le temperature operative sono T_fredda=300K e T_calda=600K.
Subito sotto è stata graficata la quantità di gas in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.

Il ciclo si compone di 4 fasi.
Fase AB: espansione con pressurizzazione
Fase BC: depressurizzazione isocora mediante scarico del gas verso l'esterno
Fase CD: compressione con depressurizzazione
Fase DA: pressurizzazione isocora mediante aspirazione di gas dall'esterno

Per quanto riguarda la temperatura è interessante vedere cosa succede al suo valore medio calcolato come segue

T_media = ( n_calde * T_calda + n_fredde * T_fredda ) / n

in cui

T_media è la temperatura media del gas all'interno del motore espressa in K
n_calde è la quantità di gas alla temperatura calda espressa in moli
n_fredde è la quantità di gas alla temperatura fredda espressa in moli
T_calda è la temperatura calda espressa in K
T_fredda è la temperatura fredda espressa in K
n è la quantità di gas all'interno del motore espressa in moli

Nella figura seguente è riportato l'andamento della temperatura in funzione del volume del motore nelle varie fasi del ciclo.

Il grafico mostra che in realtà la temperatura non genera un vero e proprio ciclo nel piano T-V.
La temperatura media nel punto B coincide con la temperatura media nel punto C, la temperatura media nel punto A coincide con la temperatura media nel punto D e l'andamento della temperatura media in funzione del volume passando dal punto A al punto B coincide con l'andamento della temperatura media dal punto C al punto D.

Come ultima considerazione riporto il valore del lavoro utile per il ciclo illustrato più sopra (in pratica il valore dell'area delimitata dal ciclo nel piano P-V).

Lavoro utile: 14 kJ

Il valore in sé è ovviamente quasi sterile in mancanza del dato relativo al calore assorbito dalla macchina per ottenerlo.
Ma il calcolo dei calori scambiati è piuttosto laborioso e verrà affrontato appositamente nel prossimo post.
A titolo di confronto, riporto il lavoro utile per un ciclo Stirling operante fra le stesse temperature calda e fredda e con gli stessi volumi minimo e massimo:

L_Stirling = n * R * ( T_calda - T_fredda ) * ln ( V_massimo / V_minimo ) =
= 40,09 mol * 8,314 J mol^-1 K^1 * ( 600K - 300K) * ln ( 1,5 m³ / 1 m³ ) = 40,5 kJ

Il motore di Cayley free piston è in svantaggio rispetto al ciclo di Stirling teorico. Non bisogna però dimenticare che le macchine Stirling reali non riescono a far compiere al gas il ciclo ideale e in pratica il lavoro utile risulta sensibilmente inferiore a quello teorico.
Pertanto in un confronto fra motori reali, lo svantaggio del Cayley rispetto allo Stirling diventa molto meno marcato.

La trasformazione adiabatica

Un gas compie una trasformazione adiabatica quando fa o subisce lavoro di volume senza scambiare calore con l'esterno.
Quando un gas compie un'espansione adiabatica effettua lavoro di volume, il volume aumenta mentre la pressione e la temperatura diminuiscono.
Quando un gas viene compresso adiabaticamente subisce lavoro di volume, il volume diminuisce mentre la pressione e la temperatura aumentano.

Nella trasformazione adiabatica, pressione e volume sono legati fra loro dalla seguente relazione

P * V^gamma = costante = P_iniziale * ( V_iniziale )^gamma

in cui

P è la pressione
V è il volume
P_iniziale è la pressione all'inizio della trasformazione
V_iniziale è il volume all'inizio della trasformazione
gamma è il rapporto fra il calore specifico a pressione costante (Cp) e il calore specifico a volume costante (Cv) e vale 5/3 per il gas monoatomico ideale, 7/5 per il gas biatomico ideale, 9/7 per il gas poliatomico ideale

Dall'equazione precedente si arriva immediatamente a

P = costante / V^gamma

La trasformazione adiabatica in un diagramma P-V è rappresentata da un tratto curvo di tipo iperbolico.
A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, l'andamento della curva dipende dal tipo di gas.
Di seguito sono state graficate le trasformazioni adiabatiche di compressione e di espansione per i tre tipi di gas.

Il grafico mostra che partendo dallo stesso stato iniziale, l'espansione adiabatica fa ridurre la pressione più rapidamente nel caso del gas monotomico, un po' meno rapidamente nel caso del biatomico e ancora meno nel caso poliatomico.
Sempre nel grafico, partendo dallo stesso stato iniziale ma seguendo i processi di compressione adiabatica, si vede che la pressione sale più rapidamente nel caso del gas monoatomico, un po' meno rapidamente nel caso del gas biatomico e ancora meno nel caso del gas poliatomico.
Unendo la relazione precedente con l'equazione di stato dei gas perfetti si trova la funzione che lega la temperatura al volume

T = P*V/(n*R) =
= ( P_iniziale * ( V_iniziale )^gamma / V^gamma ) * V / ( n * R ) =
= [ P_iniziale * ( V_iniziale )^gamma / ( n * R ) ] * V^(1-gamma)

e poichè il termine fra parentesi quadre per una data trasformazione è costante, l'espressione sopra è della forma

T = costante * V^(1-gamma)

Poichè gamma è sempre maggiore di 1 e quindi 1-gamma è negativo, la trasformazione adiabatica in un diagramma T-V è rappresentata da un tratto curvo di tipo iperbolico.
A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, l'andamento della curva dipende dal tipo di gas.
Di seguito sono state graficate le trasformazioni adiabatiche di compressione e di espansione per i tre tipi di gas.

Il grafico mostra che partendo dallo stesso stato iniziale, l'espansione adiabatica fa ridurre la temperatura più rapidamente nel caso del gas monoatomico, un po' meno rapidamente nel caso del biatomico e ancora meno nel caso poliatomico.
Sempre nel grafico, partendo dallo stesso stato iniziale ma seguendo i processi di compressione adiabatica, si vede che la temperatura sale più rapidamente nel caso del gas monoatomico, un po' meno rapidamente nel caso del gas biatomico e ancora meno nel caso del gas poliatomico.

Una considerazione fondamentale è che nella trasformazione adiabatica è presente il lavoro di volume (con segno positivo se lavoro fatto dal gas, con segno negativo se lavoro subito dal gas). Il suo valore nel diagramma P-V è rappresentato dall'area sottesa dalla curva di trasformazione.

Matematicamente, l'area sottesa da una curva si calcola con l'operazione di integrale e nel caso specifico si scrive come segue

Di seguito sono stati raccolti in tabelle distinte i dati relativi ai processi di espansione e di compressione adiabatica per i quali era stato presentato il diagramma P-V.

PROCESSO DI ESPANSIONE ADIABATICA
Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
Viniziale	1 m3
Piniziale	100 kPa
Tiniziale	300 K
Vfinale	2 m3
Pfinale	32 kPa	38 kPa	41 kPa
Tfinale	189 K	227 K	246 K
gamma	5/3	7/5	9/7
Lavoro di volume	55,5 kJ	60,5 kJ	62,9 kJ
Variazione di Egas = n*Cv*(Tfinale-Tiniziale)	-55,5 kJ	-60,5 kJ	-62,9 kJ

PROCESSO DI COMPRESSIONE ADIABATICA
Tipo di gas	Monoatomico	Biatomico	Poliatomico
Viniziale	1 m3
Piniziale	100 kPa
Tiniziale	300 K
Vfinale	0,5 m3
Pfinale	317 kPa	264 kPa	244 kPa
Tfinale	476 K	396 K	366 K
gamma	5/3	7/5	9/7
Lavoro di volume	-88,1 kJ	-79,9 kJ	-76,7 kJ
Variazione di Egas = n*Cv*(Tfinale-Tiniziale)	88,1 kJ	79,9 kJ	76,7 kJ

Guardando le ultime due righe delle tabelle appare evidente che il lavoro di volume è uguale alla variazione di energia termica del gas cambiata di segno. Per chiarimenti sulla definizione di energia termica del gas si rimanda a quanto già scritto.
L'adiabatica è una trasformazione in cui le uniche forme di energia coinvolte sono l'energia termica del gas e il lavoro di volume.
Nell'espansione adiabatica l'energia termica del gas viene trasformata in lavoro fatto dal gas.
Nella compressione adiabatica è il lavoro fatto sul gas che viene convertito in energia termica del gas.

La trasformazione isobara

Un gas compie una trasformazione isobara quando nell'espansione e nella compressione viene scambiata una quantità di calore tale da mantenere inalterata la pressione.
Nell'espansione isobara, il gas compie lavoro assorbendo calore e la sua temperatura aumenta.
Nella compressione isobara, il gas subisce lavoro perdendo calore e la sua temperatura diminuisce.
In pratica una trasformazione isobara con immissione di calore è un riscaldamento a pressione costante e un'espansione a pressione costante (il gas fa lavoro); una trasformazione isobara con perdita di calore è un raffreddamento a pressione costante e una compressione a pressione costante (il gas subisce lavoro).
La variazione di temperatura dipende dal tipo di gas e dalla sua quantità secondo la seguente relazione

Variazione di Temperatura = T_finale - T_iniziale = Q / ( n * Cp )

in cui

T_finale è la temperatura alla fine della trasformazione espressa in K
T_iniziale è la temperatura all'inizio della trasformazione espressa in K
Q è il calore scambiato espresso in J: un valore di Q positivo indica calore fornito al gas, un valore di Q negativo indica calore perso dal gas
Cp è il calore specifico a pressione costante e vale 5*R/2 per il gas monoatomico ideale, 7*R/2 per il gas biatomico ideale, 9*R/2 per il gas poliatomico ideale con R = 8,314 J mol^-1 K^-1
n è la quantità di gas espressa in moli

Di seguito sono stati graficati i salti termici dei tre tipi di gas in funzione del calore scambiato.
I valori sono riferiti a una quantità di gas pari a 40,09 moli. Tale quantità di gas è contenuta in V=1m³ a P=100kPa e T=300K.

I punti in cui il calore scambiato è positivo sono relativi al calore fornito al gas, i punti in cui il calore scambiato è negativo sono relativi al calore perso dal gas.
Il grafico evidenzia il fatto che a parità di calore scambiato (per esempio 100kJ), la variazione di temperatura è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico, minima col gas poliatomico.

Assumendo che la temperatura iniziale del gas sia pari a 300K, le temperature finali in funzione del calore scambiato per i tre tipi di gas sono quelle graficate di seguito.

Unendo la precedente relazione per il calcolo della variazione di temperatura a quella dei gas perfetti si ottiene l'equazione che lega la variazione di volume allo scambio di calore.

DeltaV = V_finale - V_iniziale = n * R * DeltaT / P = n * R * Q / (n * Cv * P ) = R * Q / ( Cp * P )

in cui

V_finale è il volume alla fine della trasformazione espresso in m³
V_iniziale è il volume all'inizio della trasformazione espresso in m³
P è la pressione del gas espressa in Pa

Di seguito sono stati graficati gli andamenti del volume per i tre tipi di gas in funzione del calore scambiato.

Dai grafici si vede che a parità di calore scambiato (per esempio 100kJ), la variazione di volume è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per il gas biatomico, minima col gas poliatomico.

La trasformazione isobara in un diagramma P-V è rappresentata da un segmento orizzontale la cui lunghezza indica la variazione di volume.
A parità di stato iniziale, cioè a parità di P, V, n e T, e a parità di calore scambiato, la lunghezza del segmento cambia in funzione del tipo di gas e, per quanto già visto sopra, la lunghezza è massima nel caso del gas monoatomico, intermedia per quello biatomico, minima per quello poliatomico.

Di seguito sono state graficate le trasformazioni isobare per i tre tipi di gas in cui lo stato iniziale è il medesimo. Il grafico mostra sia le trasformazioni nel caso in cui sono forniti 100kJ al gas, sia le trasformazioni nel caso in cui vengono prelevati 100kJ dal gas.

Una considerazione fondamentale è che nella trasformazione isobara è presente il lavoro di volume.
In pratica, in una espansione isobara il calore che viene fornito al gas si accumula in parte sotto forma di energia termica del gas e in parte viene convertito in lavoro di volume.
Viceversa, quando il gas viene compresso a pressione costante, il calore da dissipare deriva sia dalla perdita di energia termica del gas sia dalla conversione in calore del lavoro subito dal gas.
L'isobara è una trasformazione in cui sono coinvolte tre forme di energia: il calore scambiato, l'energia termica del gas e il lavoro di volume.
Nel raffreddamento isobaro (o anche compressione isobara), l'energia termica del gas si riduce e determina una parte del calore ceduto all'esterno. L'altra parte del calore ceduto all'esterno proviene dalla conversione integrale del lavoro subito dal gas.
Nel riscaldamento isobaro (o anche espansione isobara), il gas assorbe calore e una parte viene accumulata sottoforma di energia termica mentre la restante viene convertita in lavoro di volume.
Il lavoro di volume in una trasformazione isobara è dato da

L = P * DeltaV = P * ( V_finale - V_iniziale )

quindi usando la relazione scritta sopra per il calcolo del DeltaV si arriva a

L = P * R * Q / ( Cp * P ) = R * Q / Cp

Il lavoro di volume dipende perciò dal tipo di gas.
Considerando i casi in cui il calore viene fornito (quindi Q>0), il lavoro è massimo nel caso del gas monoatomico (il 40% del calore fornito), intermedio in quello biatomico (il 28,6% del calore fornito), minimo in quello poliatomico (il 22,2% del calore fornito).